（泰州職業(yè)技術(shù)學院，泰州 225300）

0 引言

近年來，一些新型的硬脆材料如C/SiC、光學玻璃、藍寶石、人造水晶、高溫合金等在航空航天、汽車、能源等領(lǐng)域得到了越來越多的應(yīng)用，而這些硬脆材料卻不如傳統(tǒng)材料容易加工，而采用傳統(tǒng)機械加工方法時容易出現(xiàn)纖維絲裂、微裂紋、毛刺等缺陷，且道具磨損嚴重哦國內(nèi)，效率低。超聲振動加工技術(shù)被認為是最適合加工硬脆材料的加工方法之一，將在原有機械加工的刀具上施加超聲振動，與傳統(tǒng)加工相比，具有加工作用力小、加工溫度低、排泄效果好、加工質(zhì)量與加工效率高等優(yōu)點[1～7]。

目前，國內(nèi)外對變幅桿的設(shè)計，主要設(shè)計方法有解析法、機電等效法、表面彈觀法、有限元法。其中有限元法是目前應(yīng)用較廣泛的數(shù)值分析技術(shù)之一，其求解基本思想是將問題的求解區(qū)域劃分為一系列單元，各單元之間通過節(jié)點連接，由平衡關(guān)系或者能量關(guān)系建立節(jié)點間的方程組，通過邊界條件即可求解，該方法能滿足工程設(shè)計要求[8～14]。

本文設(shè)計一種高速旋轉(zhuǎn)超聲振動主軸，而變幅桿作為振動系統(tǒng)的一個重要部件，其結(jié)構(gòu)直接影響高速旋轉(zhuǎn)超聲主軸的結(jié)構(gòu)。本文基于超聲理論，解析法和有限元法相結(jié)合，設(shè)計1/4波長，頻率為20kHz，帶中心孔的復(fù)合型變幅桿。首先進行變幅桿各部分尺寸理論計算，然后在此基礎(chǔ)上進行有限元分析和優(yōu)化設(shè)計，理論計算與優(yōu)化設(shè)計相結(jié)合，指導(dǎo)變幅桿的制造，減少設(shè)計周期和設(shè)計成本。

1 縱向振動的波動方程

圖1為一變截面桿，其對稱軸為坐標軸x，作用在小體積元（x，x+dx）所限定的區(qū)間上的張應(yīng)力為在對模型做必要的簡化后，根據(jù)牛頓定律可以寫出動力學方程[15]。

圖1 變截面棒的縱振示意圖

在簡諧振動情況下，式(1)可以寫為：

對等截面桿：

對圓錐形截面桿：

式中，An，Bn分別為待定常數(shù)，α為錐度系數(shù)，D2分別為圓錐變幅桿大端、小端的直徑，l為其長度。

2 變幅桿的理論計算

常用的變幅桿有圓錐形、階梯型、指數(shù)型等，其中，階梯形變幅桿獲得的放大系數(shù)較大，但存在應(yīng)力集中的不足，圓錐形變幅桿的放大系數(shù)較小，但是其共振頻率和放大系數(shù)受負載的影響相對較小，因而結(jié)合上述兩種變幅桿的特點，設(shè)計圓錐階梯復(fù)合形變幅桿。為提高變幅桿回轉(zhuǎn)精度，減小體積，并便于加工制作和安裝，設(shè)計圖2所示的1/4波長復(fù)合型變幅桿，波長按λ=c/f計算，徑向直徑小于該波長的四分之一，并將變幅桿的節(jié)面位置在x=0處。

圖2 變幅桿結(jié)構(gòu)示意圖

為了計算簡便，分別對每個元件建立坐標系，在不考慮工具的影響下，變幅桿一端固定，一端自由，由等截面桿及圓錐界面桿的波動方程式(4)、式(5)、式(7)、式(8)以及函數(shù)在臨界面處的連續(xù)性，可以得到方程組式(9)。

解方程組(9)可以得到關(guān)于l5、l6、l7和l8的等式，其中l(wèi)6，l7，l8是要進行設(shè)計的值。所設(shè)計的是1/4波長變幅桿，l6，l7，l8的取值范圍不能超過1/8波長?；趌6，l7的值便可求出相對應(yīng)的l8的值，利用MATLAB進行求解[16]，結(jié)果如表1所示。

從表中數(shù)據(jù)分析可知，隨著l6的增長，l8逐漸減小，而隨著l7的增長，l8也是逐漸減小的，在兩者變化當中，l7的增長對l8的減小比較明顯，這為后續(xù)變幅桿有限元分析和優(yōu)化設(shè)計的有限元模型的建立提供基礎(chǔ)，并且在后續(xù)的變幅桿制作過程中，有關(guān)頻率的調(diào)整、尺寸的調(diào)整提供指導(dǎo)。

3 超聲變幅桿的有限元分析

在得到變幅桿的理論尺寸范圍的前提下，可以直接對變幅桿進行優(yōu)化設(shè)計，其有限元分析過程包括模態(tài)分析、諧響應(yīng)分析與優(yōu)化設(shè)計[17,18]。

3.1 超聲變幅桿的模態(tài)分析

為了減小尺寸過大，質(zhì)量過重給整個超聲振動系統(tǒng)帶來的不便，超聲變幅桿尺寸盡可能的小。從表1中任意選取一組變幅桿的數(shù)據(jù)來進行分析，而在實際中，考慮到變幅桿將通過ER11螺母來連接工具，因此將仿真的幾何模型盡可能逼近實際變幅桿模型，首先選取l6=16mm，l7=26mm，l8=28mm，為了方便變幅桿冷卻，內(nèi)部設(shè)置Ф5㎜通液流道，如圖3所示，這里，l8=l'8+l9，而l5作為一個法蘭盤厚度，取5mm。對變幅桿進行模態(tài)分析，得到變幅桿的縱向振動的頻率以及位移分布，如圖4所示。需要說明的問題是，在位移分布中，僅僅表征了位移沿縱向的分布情況。此時頻率為21227Hz，接近所設(shè)計的頻率2000Hz，可以作為優(yōu)化目標進行后續(xù)分析，提取該頻率，并設(shè)為F，為后續(xù)的變幅桿優(yōu)化設(shè)計提供參數(shù)。

圖3 變幅桿示意圖

3.2 超聲變幅桿的諧響應(yīng)分析

變幅桿的諧響應(yīng)分析的主要是針對變幅桿的固有頻率在外加頻率下的振幅和受力情況。在模態(tài)分析結(jié)果中，所得到的縱向振動頻率為21227Hz，設(shè)置搜索頻率區(qū)間為19227Hz～22227Hz，迭代步為10，變幅桿大端加載振幅為5μm的輸入響應(yīng)，得到變幅桿在有激勵輸入的情況下末端的振幅大小以及變幅桿的應(yīng)力分布情況，如圖5、圖6所示。

圖4 超聲變幅桿一階縱向振動f=21227Hz

諧響應(yīng)分析結(jié)果中，頻率為19827Hz最靠近設(shè)計頻率，更容易發(fā)生共振，故查看該頻率下的振幅及應(yīng)力分布云圖，從圖中可以看出，變幅桿小端處的振幅最大，為59μm，變幅桿截面突變處最大應(yīng)力為286MPa。選取最大應(yīng)力為參數(shù)Str_max，為后續(xù)的變幅桿優(yōu)化設(shè)計提供參數(shù)。

圖5 19827Hz振幅分布云圖

圖6 19827Hz應(yīng)力分布云圖

3.3 超聲變幅桿的優(yōu)化設(shè)計

對所建立的模型分別進行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析后，提取應(yīng)力函數(shù)STRESS_MAX作為優(yōu)化的狀態(tài)變量（SV），以l6、l7和l8為設(shè)計變量（DV），而目標函數(shù)為頻率函數(shù)，作為最優(yōu)值，其評價指標是越接近20000Hz為最佳，因此，以設(shè)計頻率與模態(tài)分析頻率F之差的絕對值FREQ為目標函數(shù)（OBJ），進行優(yōu)化設(shè)計，其優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

最后對優(yōu)化所得到的長度進行圓整，并進行模態(tài)和諧響應(yīng)分析，其仿真結(jié)果頻率為19913Hz，該變幅桿軸向位移分布如圖7所示，沿變幅桿軸向長度變化，振幅逐漸變大，輸出端的位移為75μm。

表2 變幅桿優(yōu)化結(jié)果

圖7 變幅桿軸向位移分布圖

最后根據(jù)理論計算結(jié)果的復(fù)合型變幅桿的各尺寸的分布情況以及變幅桿優(yōu)化設(shè)計的結(jié)果進行了變幅桿的制作與調(diào)試，結(jié)果表明，通過優(yōu)化設(shè)計能夠快速的設(shè)計出變幅桿的基本模型，但該基本模型不一定能滿足設(shè)計要求，因此，結(jié)合理論計算結(jié)果，調(diào)整變幅桿的各尺寸的大小，能快速的制作出滿足設(shè)計要求的變幅桿，最后設(shè)計的變幅桿如圖8所示。

圖8 超聲變幅桿實物圖

4 結(jié)論

本文進行了高速旋轉(zhuǎn)超聲主軸中振動系統(tǒng)中變幅桿的開發(fā)?；诔暲碚摵陀邢拊碚摚瑑?yōu)化設(shè)計了頻率為20kHz，1/4波長復(fù)合型變幅桿。首先基于波動方程，進行了變幅桿的理論計算，得到了1/4波長變幅桿的最初幾何模型的范圍以及各尺寸的分布情況，在此基礎(chǔ)上，利用有限元軟件ANSYS對1/4波長變幅桿進行了模態(tài)分析，諧響應(yīng)分析，最后基于以上的分析進行了優(yōu)化設(shè)計，得到了變幅桿優(yōu)化結(jié)果。但由于仿真所設(shè)置的參數(shù)與實際材料的參數(shù)具有一定的偏差以及ANSYS軟件本身存在的誤差，其仿真結(jié)果也會與實體頻率有一定偏差，因而將理論分析與有限元分析之結(jié)果綜合起來用于指導(dǎo)變幅桿的設(shè)計與制作，結(jié)果表明，這樣能夠減少變幅桿的設(shè)計與制作的時間和成本。

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