機(jī)械臂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非奇異快速終端滑?？刂?/h1>
2018-03-13 03:52:16吳愛國(guó)劉海亭
農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào) 2018年2期
吳愛國(guó) 劉海亭 董 娜
(天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院， 天津 300072)
0 引言
近些年來，機(jī)械臂在自動(dòng)化領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。隨著現(xiàn)代工業(yè)的快速發(fā)展，它們已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，其中許多任務(wù)需要高速度和高精度的軌跡跟蹤控制。然而機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型普遍存在許多不確定性和外部擾動(dòng)，難以建立精確數(shù)學(xué)模型，給機(jī)械臂的精確控制帶來一定的困難，所以研究機(jī)械臂高速度、高精度的軌跡跟蹤控制具有重要意義。
針對(duì)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問題已經(jīng)提出了許多控制方法，比如PID控制[1]、迭代學(xué)習(xí)控制[2]、魯棒控制[3]、自適應(yīng)控制[4]、反饋線性化控制[5]以及模糊控制[6]等方法，其中終端滑模控制由于其有限時(shí)間收斂特性、對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)的強(qiáng)魯棒性，已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂軌跡跟蹤控制中。MAN等[7]首次提出終端滑模面的概念，相比線性滑模面，提高了系統(tǒng)在接近平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，但該方法存在奇異性問題。為解決該問題，F(xiàn)ENG等[8]提出非奇異終端滑模(NTSM)控制方法，并應(yīng)用于機(jī)械臂軌跡跟蹤控制，證明其有效性。李升波等[9]在此基礎(chǔ)上提出了NFTSM控制方法，相比NTSM，提高了系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，實(shí)現(xiàn)全局有限時(shí)間快速收斂。最近，XIAO等[10]提出了一種基于觀測(cè)器的串聯(lián)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法，采用2個(gè)滑模觀測(cè)器分別估計(jì)不確定運(yùn)動(dòng)學(xué)和未知?jiǎng)恿W(xué)，但其動(dòng)力學(xué)觀測(cè)器是基于估計(jì)誤差的，導(dǎo)致該方法在實(shí)際工程中難以實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[11-12]采用RBFNN在線學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)建模誤差，結(jié)合自適應(yīng)邊界技術(shù)估計(jì)學(xué)習(xí)誤差和外部擾動(dòng)的邊界值，提高了控制精度。但以上這兩種方法都需要依賴于機(jī)械臂的模型，限制了其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[13-14]研究了一種基于模型局部逼近的自適應(yīng)終端滑?？刂品椒ǎ捎肦BFNN逼近被控對(duì)象模型矩陣的各個(gè)元素，實(shí)現(xiàn)無模型控制。但隨著機(jī)械臂自由度的增加，控制器計(jì)算量將會(huì)急劇增加，不利于系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制，并且控制律存在不連續(xù)項(xiàng)，容易引起抖振。GUO等[15]提出自由漂浮空間機(jī)械臂約束自適應(yīng)RBF-NTSM控制方法，考慮致動(dòng)器的實(shí)際物理約束，采用RBFNN補(bǔ)償有限的輸入，實(shí)現(xiàn)空間機(jī)械臂在軌操作。WANG等[16]提出了基于時(shí)延估計(jì)的機(jī)械臂連續(xù)分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑模控制方法，相比邊界層技術(shù)獲得更好的控制性能。但是該方法未考慮對(duì)估計(jì)誤差的補(bǔ)償，而是通過魯棒項(xiàng)加以抑制，這就使得所設(shè)計(jì)的控制器具有一定的保守性，需要更大的切換
控制力矩，容易引起抖振。
針對(duì)上述問題，本文提出一種基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBFNN的非奇異快速終端滑模(NFTSM)自適應(yīng)軌跡跟蹤控制方法。
1 模型描述
基于拉格朗日方程的N關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型表示為
(1)
M(q)——對(duì)稱正定有界慣性矩陣，M(q)∈Rn×n
G(q)——重力項(xiàng)矢量，G(q)∈Rn
τd——外部擾動(dòng)信號(hào)，τd∈Rn
τ——控制力矩矢量，τ∈Rn
假設(shè)1：假設(shè)期望軌跡qd∈Rn是一個(gè)二次連續(xù)可微的函數(shù)。
控制目標(biāo)：設(shè)計(jì)合適的控制器，使關(guān)節(jié)輸出q在有限的時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡qd。
定義系統(tǒng)跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為
(2)
2 控制器設(shè)計(jì)
控制器的設(shè)計(jì)分為：①確定NFTSM滑模面，根據(jù)Lyapunov理論設(shè)計(jì)控制律。②設(shè)計(jì)合適的RBFNN逼近機(jī)械臂未知非線性動(dòng)力學(xué)?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。
圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of control system
2.1 控制律設(shè)計(jì)
為簡(jiǎn)化表達(dá)式，定義
(3)
設(shè)計(jì)滑?？刂葡到y(tǒng)，首先需要建立合適的滑模面，以確保產(chǎn)生理想的滑動(dòng)模態(tài)，然后設(shè)計(jì)滑模控制律驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)到達(dá)滑模面。定義NFTSM滑模面為
(4)
其中
α=diag(α1,α2,…,αn) (αi>0)
β=diag(β1,β2,…,βn) (βi>0)
式中r1、r2、r3、r4——正奇數(shù)，1r1/r2
李升波等[9]對(duì)式(4)進(jìn)行了定量分析，從理論上證明其有限時(shí)間收斂性，本文在此只進(jìn)行定性分析。當(dāng)跟蹤誤差靠近平衡點(diǎn)時(shí)，即誤差|ei|≤1時(shí)，忽略e的高次項(xiàng)，式(4)近似為
(5)
當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面，即s=0時(shí)，式(5)可表示為
(6)
由于式(6)中e的指數(shù)小于1，則誤差導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大于相同參數(shù)的線性滑模面，克服后者收斂速度慢的問題。
同理當(dāng)跟蹤誤差遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，即誤差|ei|>1時(shí)，e的高次項(xiàng)起主要作用，此時(shí)式(4)近似為
(7)
由于式(7)中e的指數(shù)大于1，故收斂速度高于線性滑模面。
建立了合適的滑模面，下一步是設(shè)計(jì)控制律驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)到達(dá)該滑模面。式(4)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
(8)
由式(1)和式(2)可知跟蹤誤差的二階導(dǎo)數(shù)可被重新表示為
(9)
式中f——機(jī)械臂未知非線性函數(shù)
將式(9)代入式(8)，可得
(10)
如果機(jī)械臂未知非線性函數(shù)f精確已知，可設(shè)計(jì)控制律為
τ=-f+τeq+τsmc
(11)
式中τeq——等效控制項(xiàng)τsmc——切換控制項(xiàng)
設(shè)計(jì)等效控制為
(12)
滑?？刂葡到y(tǒng)利用切換控制律保證滑動(dòng)模態(tài)的發(fā)生，傳統(tǒng)切換控制采用不連續(xù)控制項(xiàng)ksmcsign(s)，但需要不確定性和外部擾動(dòng)的上界先驗(yàn)知識(shí)。由于滑模系統(tǒng)只在滑動(dòng)階段才對(duì)模型不確定性和外部擾動(dòng)具有不變性，為加快趨近階段的速度，增強(qiáng)魯棒性，本文提出快速連續(xù)終端切換控制律即
τsmc=-β(r2/r1)(λ1s+λ2sr5/r6+λ3sr7/r8)
(13)
其中
r5/r6>1 0
λ2=diag(λ21,λ22,…,λ2n)
λ3=diag(λ31,λ32,…,λ3n)
式中λ1i、λ2i、λ3i——正常數(shù)
2.2 RBFNN設(shè)計(jì)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有學(xué)習(xí)和逼近任意非線性函數(shù)的能力，是控制許多復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的有力工具之一。相比多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，RBFNN是一種特殊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、快速學(xué)習(xí)和更好的逼近能力，不僅可以減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)調(diào)整的數(shù)目，還可以避免局部極小問題，滿足實(shí)時(shí)控制的要求。因此，為解決控制器依賴機(jī)械臂模型的問題，利用RBFNN逼近未知非線性函數(shù)。
(14)
(15)
其中
wi=[wi1wi2…wiL]T
σi=[σi1σi2…σiL]T
式中fi——機(jī)械臂第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出
σi——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)
L——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)
高斯基函數(shù)表達(dá)式為
(16)
ci=[ci1ci2…ciL]
bi=[bi1bi2…biL]T
式中xi——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量
ci——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的中心矩陣
bi——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基寬向量
由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在逼近誤差，傳統(tǒng)方法是增大切換增益加以抑制，但這種方法具有一定的保守性，容易引起抖振。本文設(shè)計(jì)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差自適應(yīng)補(bǔ)償項(xiàng)，進(jìn)一步減小逼近誤差對(duì)系統(tǒng)的影響。
因此控制量的輸入可以被重新表示為
(17)
(18)
(19)
其中
式中Γwi、ηwi、Γεi、ηεi——正常數(shù)
3 穩(wěn)定性分析
定理1：針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)式(1)，當(dāng)選用式(4)所示的NFTSM滑模面，式(17)的控制律和式(18)、式(19)的自適應(yīng)更新律，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和誤差補(bǔ)償有界，閉環(huán)系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。
證明：取Lyapunov函數(shù)為
(20)
V對(duì)時(shí)間t求微分可得
(21)
將式(10)和式(17)～(19)代入到式(21)可得
(22)
其中
根據(jù)F-范數(shù)的性質(zhì)可以得到
(23)
此時(shí)分以下3種情況考慮：
(24)
(25)
(26)
4 有限時(shí)間收斂性分析
證明：取Lyapunov函數(shù)為
(27)
Vs對(duì)時(shí)間t求微分可得
(28)
假設(shè)以下不等式成立
|ξi|≤βi(r2/r1)Kσi|si|
(29)
(30)
式中Kσi、Kεi——正常數(shù)
當(dāng)滿足以下不等式時(shí)，可保證式(29)、(30)成立
(31)
(32)
由式(31)、(32)可知，取滑模函數(shù)s滿足
‖s‖≥max(Δ1,Δ2)=Δ3
(33)
將式(29)、(30)代入式(28)可得
(34)
其中
λ1i>Kσi+Kεi
由文獻(xiàn)[17]可得
(35)
將式(27)、(35)代入式(34)可得
(36)
其中
υ=(r7/r8+1)/2
由文獻(xiàn)[17]可得有限收斂時(shí)間滿足
(37)
由式(37)可知，滑模函數(shù)s將在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到鄰域Δ3內(nèi)。由式(31)、(32)可知，增大βi與r2的值或減小r1的值可使Δ3減小，Δ3越小跟蹤效果越好。
5 仿真
為了驗(yàn)證本文所提的控制算法的有效性，選取6-DOF Denso 串聯(lián)機(jī)械臂的前3個(gè)關(guān)節(jié)作為控制對(duì)象，其余3個(gè)關(guān)節(jié)鎖死，并利用拉格朗日方程[18]建立該機(jī)械臂前3個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型，由于該模型方程比較復(fù)雜，在此沒有具體列出。通過Matlab軟件進(jìn)行仿真研究，仿真采用式(17)控制律，記為NFT-T-RBF，采用式(18)、(19)自適應(yīng)律，仿真參數(shù)如表1所示。
表1 NFT-T-RBF仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of NFT-T-RBF
為對(duì)比說明本文所提控制器的有效性，與以下3種控制方法的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。
控制器1：相比本文所提控制器，切換控制項(xiàng)采用不連續(xù)魯棒項(xiàng)，記為NFT-S-RBF，控制律為
(38)
控制器1的仿真參數(shù)如表2所示。
表2 NFT-S-RBF仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters of NFT-S-RBF
控制器2：相比控制器1，不再引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)未知非線性動(dòng)力學(xué)，記為NFT-S，控制律為
(39)
控制器2的仿真參數(shù)如表3所示。
表3 NFT-S仿真參數(shù)Tab.3 Simulation parameters of NFT-S
控制器3：相比控制器2，采用線性滑模面，記為SMC-S，該控制器的滑模面和控制律分別為
(40)
τ3=-k1s-k2sign(s)
(41)
控制器3的仿真參數(shù)如表4所示。
表4 SMC-S仿真參數(shù)Tab.4 Simulation parameters of SMC-S
機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)的期望軌跡分別為
(42)
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)L=7。
為驗(yàn)證所提控制算法的抗擾動(dòng)性能，分別在3個(gè)關(guān)節(jié)通道的1、2、3 s時(shí)刻施加擾動(dòng)，持續(xù)時(shí)間均為0.5 s，擾動(dòng)值為對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)控制量的限幅值的0.8倍，如圖2所示。圖3表示RBFNN對(duì)未知非線性函數(shù)的估計(jì)。圖4為3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤曲線，期望軌跡均為正弦信號(hào)，其中前2個(gè)關(guān)節(jié)的期望軌跡的幅值為2π/3，第3個(gè)關(guān)節(jié)的幅值為5π/18。圖5為3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差曲線。圖6為各個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸出力矩。由圖4和圖5可以看出，4種控制器最終都能實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，但每個(gè)控制器的收斂速度、魯棒性等又各有不同。
圖2 外部擾動(dòng)Fig.2 External disturbance
圖3 不確定項(xiàng)估計(jì)Fig.3 Estimation of uncertainty
圖4 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線(仿真)Fig.4 Trajectory tracking curves of joints
圖5 關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線(仿真)Fig.5 Tracking error curves of joints
圖6 關(guān)節(jié)控制力矩(仿真)Fig.6 Control torques of joints
對(duì)比圖4、5中的NFT-S與SMC-S，兩者的主要區(qū)別是采用的滑模面不同，NFT-S控制器采用非奇異快速終端滑模面，SMC-S采用線性滑模面。由圖4可以看出，對(duì)于在1、2、3 s時(shí)刻施加的外部擾動(dòng)，SMC-S控制器對(duì)擾動(dòng)更為敏感。由圖5可看出，對(duì)于SMC-S控制器，外部擾動(dòng)使3個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生的跟蹤誤差的峰值分別為1.8、0.4、0.2 rad，而對(duì)于NFT-S控制器，擾動(dòng)產(chǎn)生的誤差均在0.1 rad以內(nèi)，誤差峰值分別降低了94%、75%和50%。由圖5可以看出，SMC-S控制器的調(diào)整時(shí)間約為2 s，而NFT-S控制器的調(diào)整時(shí)間為1 s，相比前者降低了50%。以上分析表明，非奇異快速終端滑模控制方法提高了滑模運(yùn)動(dòng)階段的收斂速度，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。
對(duì)比控制器1與控制器2，即圖4～6中的NFT-S-RBF與NFT-S，NFT-S-RBF控制器利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)未知非線性函數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償。由圖4和圖5可以看出，NFT-S-RBF控制器的抗擾動(dòng)性能和系統(tǒng)收斂速度均略優(yōu)于NFT-S控制器。由圖6可以看出，NFT-S控制器的控制力矩輸出產(chǎn)生了劇烈的抖振，這是由于切換控制項(xiàng)中的符號(hào)函數(shù)k2sign(s)造成的，而NFT-S-RBF控制器的輸出力矩則更為平滑。以上分析表明，引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)能夠有效地削弱系統(tǒng)抖振。
對(duì)比本文所提控制器與控制器1，即圖4、5中的NFT-T-RBF與NFT-S-RBF，NFT-T-RBF控制器的切換控制項(xiàng)引入終端吸引子代替符號(hào)函數(shù)，使控制力矩輸出連續(xù)。由圖4和圖5中可以看出，NFT-T-RBF控制器的調(diào)整時(shí)間均在0.3 s以內(nèi)，降低了系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，并且進(jìn)一步提高系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。因此切換控制項(xiàng)引入終端吸引子能夠提高滑模趨近速度，增強(qiáng)魯棒性。
仿真結(jié)果表明，本文所提出的基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非奇異快速終端滑?？刂品椒軌蛴行У奶岣呦到y(tǒng)控制性能，加快收斂速度，增強(qiáng)魯棒性，抑制系統(tǒng)抖振。
6 實(shí)驗(yàn)
為了驗(yàn)證本文所提的控制算法在實(shí)際應(yīng)用中的控制性能，在Denso 6-DOF機(jī)械臂的前3個(gè)關(guān)節(jié)上進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，其余關(guān)節(jié)鎖死，該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是Quanser公司開發(fā)的Denso 6-DOF機(jī)械臂控制系統(tǒng)，如圖7所示。其硬件系統(tǒng)主要包括Denso VP-6242G機(jī)械臂，伺服控制器，控制計(jì)算機(jī)。軟件系統(tǒng)為Quanser公司開發(fā)的能完全兼容Matlab的實(shí)時(shí)控制軟件Quarc，用戶可以在Simulink環(huán)境下調(diào)整內(nèi)部控制器也可以獨(dú)立設(shè)計(jì)控制器，通過該軟件自動(dòng)生成可執(zhí)行文件。系統(tǒng)控制過程：編碼器測(cè)量6個(gè)關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)的角度位置，通過專用電纜傳送到伺服控制器的數(shù)據(jù)采集模塊，再通過以太網(wǎng)傳輸?shù)接?jì)算機(jī)，通過上位機(jī)控制器計(jì)算輸出控制力矩，經(jīng)數(shù)據(jù)采集模塊送到伺服驅(qū)動(dòng)器，驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)，完成機(jī)械臂控制任務(wù)。
圖7 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.7 Experiment platform
機(jī)械臂控制系統(tǒng)的關(guān)鍵運(yùn)行參數(shù)如表5所示。
表5 關(guān)鍵運(yùn)行參數(shù)Tab.5 Critical operating parameters
該實(shí)驗(yàn)是依據(jù)本文所提的控制算法以及仿真研究，獨(dú)立設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制。由于實(shí)際系統(tǒng)中存在信號(hào)傳輸延時(shí)問題，該系統(tǒng)延時(shí)為6個(gè)采樣時(shí)刻，但在仿真中是不存在這種問題的，因此需要考慮系統(tǒng)延時(shí)對(duì)控制性能的影響，分析控制律式(17)可知，若滑模面的參數(shù)確定，其中等效控制τeq則為不可控的量。定義
(43)
設(shè)某一次采樣時(shí)刻為t0時(shí)刻，則該時(shí)刻所需要的等效控制量為
τeq(t0)=-βΘ(t0)
(44)
然而由于傳輸延時(shí)的影響，控制量τeq(t0)將在t1時(shí)刻作用于機(jī)械臂，但t1時(shí)刻機(jī)械臂真正需要的控制量為
τeq(t1)=-βΘ(t1)
(45)
如果機(jī)械臂控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則滿足
|τeq(t0)|>|τeq(t1)| (t1>t0)
(46)
這將會(huì)導(dǎo)致在t1時(shí)刻作用于機(jī)械臂的控制量的絕對(duì)值偏大，偏差量為
Δu=|τeq(t0)|-|τeq(t1)|=β[|Θ(t0)|-|Θ(t1)|]
(47)
偏差量Δu增大將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面附近抖振，由式(47)可知，β與Δu成正比，但β與提高系統(tǒng)收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度也成正比，使得減小偏差量與提高系統(tǒng)性能相悖，為了減小每個(gè)采樣時(shí)刻的偏差量，削弱抖振，在實(shí)驗(yàn)中將式(12)修改為
(48)
其中
φ=diag(φ1,φ2…,φn)(φi<βi)
實(shí)驗(yàn)采用式(17)控制律記為NFT-T-RBF，式(18)、(19)自適應(yīng)律，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表6所示。
表6 NFT-T-RBF實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.6 Experimental parameters of NFT-T-RBF
為對(duì)比驗(yàn)證本文所提控制方法的有效性，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與WAN等[19]所提出的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑?？刂品椒?PD-ESO-SMC)進(jìn)行對(duì)比。PD-ESO-SMC控制方法采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行實(shí)時(shí)的估計(jì)和補(bǔ)償；滑模面采用線性滑模面，系統(tǒng)收斂速度慢，穩(wěn)態(tài)精度低；切換控制引入sal函數(shù)，但該函數(shù)只能在滑模函數(shù)小于1時(shí)加快趨近速度，不能實(shí)現(xiàn)全局快速趨近。
PD-ESO-SMC方法所采用的滑模面和控制律分別為
(49)
τ=k2s+k3diag(|s|k4)sign(s)
(50)
PD-ESO-SMC方法的實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表7所示。
3個(gè)關(guān)節(jié)的期望軌跡分別為
(51)
表7 PD-ESO-SMC實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.7 Experimental parameters of PD-ESO-SMC
圖8為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線。圖9為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差曲線。圖10為各個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸出力矩。圖11表示機(jī)械臂啟動(dòng)的初始化時(shí)間為2.85 s，在初始化完成以后采用用戶獨(dú)立設(shè)計(jì)的控制器完成各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤任務(wù)。由圖8可以看出，本文所提的控制方法比PD-ESO-SMC方法具有更快的收斂速度。由圖9可以看出，PD-ESO-SMC控制方法的誤差穩(wěn)態(tài)精度在0.02 rad左右，而NFT-T-RBF控制方法的穩(wěn)態(tài)精度在0.005 rad左右，顯著地提高了系統(tǒng)跟蹤精度。由圖10可以看出，輸出控制量有輕微的抖振，但是在允許的范圍之內(nèi)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提控制方法在實(shí)際應(yīng)用中能夠提高系統(tǒng)收斂速度和跟蹤精度。
圖8 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.8 Trajectory tracking curves of joints
圖9 關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.9 Tracking error curves of joints
圖10 關(guān)節(jié)控制力矩(實(shí)驗(yàn))Fig.10 Control torques of joints
圖11 系統(tǒng)初始化時(shí)間Fig.11 System initialization time
為衡量整個(gè)控制系統(tǒng)的平均跟蹤精度，引入均方差的指標(biāo)[20]比較兩者的控制性能，即
(52)
式中Nf——系統(tǒng)初始化完成以后的總采樣數(shù)
則系統(tǒng)均方差指標(biāo)如表8所示。
由表8可以看出，NFT-T-RBF控制方法在3個(gè)關(guān)節(jié)的均方差比PD-ESO-SMC的均方差分別降低了51.2%、41.0%和70.3%，表明本文所提的控制方法能夠有效提高跟蹤精度。
表8 均方差Tab.8 Mean square deviation rad
7 結(jié)論
(1)針對(duì)具有不確定性和外部擾動(dòng)的機(jī)械臂系統(tǒng)存在收斂速度慢、跟蹤精度低的問題，分析比較NFTSM和線性滑模的收斂性能，并結(jié)合RBFNN對(duì)系統(tǒng)未知非線性函數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)無模型控制，以及切換控制項(xiàng)引入快速連續(xù)終端吸引子，提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非奇異快速終端滑?？刂品椒?，并證明了系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定性和有限時(shí)間收斂特性。
(2)仿真結(jié)果表明，相比線性滑模，NFTSM使滑模運(yùn)動(dòng)階段收斂速度提升約50%，3個(gè)關(guān)節(jié)的擾動(dòng)誤差峰值分別降低了94%、75%和50%，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性。RBFNN補(bǔ)償控制器在增強(qiáng)系統(tǒng)控制性能的同時(shí)有效地降低了系統(tǒng)抖振，使控制量輸出更平滑。快速連續(xù)終端吸引子縮短了滑模趨近階段的時(shí)間，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。
(3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比PD-ESO-SMC控制方法，本文控制方法的均方差分別降低了51.2%、41.0%和70.3%，有效地提高了系統(tǒng)跟蹤精度。
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吳愛國(guó) 劉海亭 董 娜
(天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院， 天津 300072)
0 引言
近些年來，機(jī)械臂在自動(dòng)化領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。隨著現(xiàn)代工業(yè)的快速發(fā)展，它們已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，其中許多任務(wù)需要高速度和高精度的軌跡跟蹤控制。然而機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型普遍存在許多不確定性和外部擾動(dòng)，難以建立精確數(shù)學(xué)模型，給機(jī)械臂的精確控制帶來一定的困難，所以研究機(jī)械臂高速度、高精度的軌跡跟蹤控制具有重要意義。
針對(duì)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問題已經(jīng)提出了許多控制方法，比如PID控制[1]、迭代學(xué)習(xí)控制[2]、魯棒控制[3]、自適應(yīng)控制[4]、反饋線性化控制[5]以及模糊控制[6]等方法，其中終端滑模控制由于其有限時(shí)間收斂特性、對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)的強(qiáng)魯棒性，已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂軌跡跟蹤控制中。MAN等[7]首次提出終端滑模面的概念，相比線性滑模面，提高了系統(tǒng)在接近平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，但該方法存在奇異性問題。為解決該問題，F(xiàn)ENG等[8]提出非奇異終端滑模(NTSM)控制方法，并應(yīng)用于機(jī)械臂軌跡跟蹤控制，證明其有效性。李升波等[9]在此基礎(chǔ)上提出了NFTSM控制方法，相比NTSM，提高了系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，實(shí)現(xiàn)全局有限時(shí)間快速收斂。最近，XIAO等[10]提出了一種基于觀測(cè)器的串聯(lián)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法，采用2個(gè)滑模觀測(cè)器分別估計(jì)不確定運(yùn)動(dòng)學(xué)和未知?jiǎng)恿W(xué)，但其動(dòng)力學(xué)觀測(cè)器是基于估計(jì)誤差的，導(dǎo)致該方法在實(shí)際工程中難以實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[11-12]采用RBFNN在線學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)建模誤差，結(jié)合自適應(yīng)邊界技術(shù)估計(jì)學(xué)習(xí)誤差和外部擾動(dòng)的邊界值，提高了控制精度。但以上這兩種方法都需要依賴于機(jī)械臂的模型，限制了其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[13-14]研究了一種基于模型局部逼近的自適應(yīng)終端滑?？刂品椒ǎ捎肦BFNN逼近被控對(duì)象模型矩陣的各個(gè)元素，實(shí)現(xiàn)無模型控制。但隨著機(jī)械臂自由度的增加，控制器計(jì)算量將會(huì)急劇增加，不利于系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制，并且控制律存在不連續(xù)項(xiàng)，容易引起抖振。GUO等[15]提出自由漂浮空間機(jī)械臂約束自適應(yīng)RBF-NTSM控制方法，考慮致動(dòng)器的實(shí)際物理約束，采用RBFNN補(bǔ)償有限的輸入，實(shí)現(xiàn)空間機(jī)械臂在軌操作。WANG等[16]提出了基于時(shí)延估計(jì)的機(jī)械臂連續(xù)分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑模控制方法，相比邊界層技術(shù)獲得更好的控制性能。但是該方法未考慮對(duì)估計(jì)誤差的補(bǔ)償，而是通過魯棒項(xiàng)加以抑制，這就使得所設(shè)計(jì)的控制器具有一定的保守性，需要更大的切換
控制力矩，容易引起抖振。
針對(duì)上述問題，本文提出一種基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBFNN的非奇異快速終端滑模(NFTSM)自適應(yīng)軌跡跟蹤控制方法。
1 模型描述
基于拉格朗日方程的N關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型表示為
(1)
M(q)——對(duì)稱正定有界慣性矩陣，M(q)∈Rn×n
G(q)——重力項(xiàng)矢量，G(q)∈Rn
τd——外部擾動(dòng)信號(hào)，τd∈Rn
τ——控制力矩矢量，τ∈Rn
假設(shè)1：假設(shè)期望軌跡qd∈Rn是一個(gè)二次連續(xù)可微的函數(shù)。
控制目標(biāo)：設(shè)計(jì)合適的控制器，使關(guān)節(jié)輸出q在有限的時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡qd。
定義系統(tǒng)跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為
(2)
2 控制器設(shè)計(jì)
控制器的設(shè)計(jì)分為：①確定NFTSM滑模面，根據(jù)Lyapunov理論設(shè)計(jì)控制律。②設(shè)計(jì)合適的RBFNN逼近機(jī)械臂未知非線性動(dòng)力學(xué)?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。
圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of control system
2.1 控制律設(shè)計(jì)
為簡(jiǎn)化表達(dá)式，定義
(3)
設(shè)計(jì)滑?？刂葡到y(tǒng)，首先需要建立合適的滑模面，以確保產(chǎn)生理想的滑動(dòng)模態(tài)，然后設(shè)計(jì)滑模控制律驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)到達(dá)滑模面。定義NFTSM滑模面為
(4)
其中
α=diag(α1,α2,…,αn) (αi>0)
β=diag(β1,β2,…,βn) (βi>0)
式中r1、r2、r3、r4——正奇數(shù)，1
李升波等[9]對(duì)式(4)進(jìn)行了定量分析，從理論上證明其有限時(shí)間收斂性，本文在此只進(jìn)行定性分析。當(dāng)跟蹤誤差靠近平衡點(diǎn)時(shí)，即誤差|ei|≤1時(shí)，忽略e的高次項(xiàng)，式(4)近似為
(5)
當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面，即s=0時(shí)，式(5)可表示為
(6)
由于式(6)中e的指數(shù)小于1，則誤差導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大于相同參數(shù)的線性滑模面，克服后者收斂速度慢的問題。
同理當(dāng)跟蹤誤差遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，即誤差|ei|>1時(shí)，e的高次項(xiàng)起主要作用，此時(shí)式(4)近似為
(7)
由于式(7)中e的指數(shù)大于1，故收斂速度高于線性滑模面。
建立了合適的滑模面，下一步是設(shè)計(jì)控制律驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)到達(dá)該滑模面。式(4)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
(8)
由式(1)和式(2)可知跟蹤誤差的二階導(dǎo)數(shù)可被重新表示為
(9)
式中f——機(jī)械臂未知非線性函數(shù)
將式(9)代入式(8)，可得
(10)
如果機(jī)械臂未知非線性函數(shù)f精確已知，可設(shè)計(jì)控制律為
τ=-f+τeq+τsmc
(11)
式中τeq——等效控制項(xiàng)τsmc——切換控制項(xiàng)
設(shè)計(jì)等效控制為
(12)
滑?？刂葡到y(tǒng)利用切換控制律保證滑動(dòng)模態(tài)的發(fā)生，傳統(tǒng)切換控制采用不連續(xù)控制項(xiàng)ksmcsign(s)，但需要不確定性和外部擾動(dòng)的上界先驗(yàn)知識(shí)。由于滑模系統(tǒng)只在滑動(dòng)階段才對(duì)模型不確定性和外部擾動(dòng)具有不變性，為加快趨近階段的速度，增強(qiáng)魯棒性，本文提出快速連續(xù)終端切換控制律即
τsmc=-β(r2/r1)(λ1s+λ2sr5/r6+λ3sr7/r8)
(13)
其中
r5/r6>1 0
λ2=diag(λ21,λ22,…,λ2n)
λ3=diag(λ31,λ32,…,λ3n)
式中λ1i、λ2i、λ3i——正常數(shù)
2.2 RBFNN設(shè)計(jì)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有學(xué)習(xí)和逼近任意非線性函數(shù)的能力，是控制許多復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的有力工具之一。相比多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，RBFNN是一種特殊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、快速學(xué)習(xí)和更好的逼近能力，不僅可以減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)調(diào)整的數(shù)目，還可以避免局部極小問題，滿足實(shí)時(shí)控制的要求。因此，為解決控制器依賴機(jī)械臂模型的問題，利用RBFNN逼近未知非線性函數(shù)。
(14)
(15)
其中
wi=[wi1wi2…wiL]T
σi=[σi1σi2…σiL]T
式中fi——機(jī)械臂第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出
σi——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)
L——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)
高斯基函數(shù)表達(dá)式為
(16)
ci=[ci1ci2…ciL]
bi=[bi1bi2…biL]T
式中xi——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量
ci——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的中心矩陣
bi——第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基寬向量
由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在逼近誤差，傳統(tǒng)方法是增大切換增益加以抑制，但這種方法具有一定的保守性，容易引起抖振。本文設(shè)計(jì)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差自適應(yīng)補(bǔ)償項(xiàng)，進(jìn)一步減小逼近誤差對(duì)系統(tǒng)的影響。
因此控制量的輸入可以被重新表示為
(17)
(18)
(19)
其中
式中Γwi、ηwi、Γεi、ηεi——正常數(shù)
3 穩(wěn)定性分析
定理1：針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)式(1)，當(dāng)選用式(4)所示的NFTSM滑模面，式(17)的控制律和式(18)、式(19)的自適應(yīng)更新律，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和誤差補(bǔ)償有界，閉環(huán)系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。
證明：取Lyapunov函數(shù)為
(20)
V對(duì)時(shí)間t求微分可得
(21)
將式(10)和式(17)～(19)代入到式(21)可得
(22)
其中
根據(jù)F-范數(shù)的性質(zhì)可以得到
(23)
此時(shí)分以下3種情況考慮：
(24)
(25)
(26)
4 有限時(shí)間收斂性分析
證明：取Lyapunov函數(shù)為
(27)
Vs對(duì)時(shí)間t求微分可得
(28)
假設(shè)以下不等式成立
|ξi|≤βi(r2/r1)Kσi|si|
(29)
(30)
式中Kσi、Kεi——正常數(shù)
當(dāng)滿足以下不等式時(shí)，可保證式(29)、(30)成立
(31)
(32)
由式(31)、(32)可知，取滑模函數(shù)s滿足
‖s‖≥max(Δ1,Δ2)=Δ3
(33)
將式(29)、(30)代入式(28)可得
(34)
其中
λ1i>Kσi+Kεi
由文獻(xiàn)[17]可得
(35)
將式(27)、(35)代入式(34)可得
(36)
其中
υ=(r7/r8+1)/2
由文獻(xiàn)[17]可得有限收斂時(shí)間滿足
(37)
由式(37)可知，滑模函數(shù)s將在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到鄰域Δ3內(nèi)。由式(31)、(32)可知，增大βi與r2的值或減小r1的值可使Δ3減小，Δ3越小跟蹤效果越好。
5 仿真
為了驗(yàn)證本文所提的控制算法的有效性，選取6-DOF Denso 串聯(lián)機(jī)械臂的前3個(gè)關(guān)節(jié)作為控制對(duì)象，其余3個(gè)關(guān)節(jié)鎖死，并利用拉格朗日方程[18]建立該機(jī)械臂前3個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型，由于該模型方程比較復(fù)雜，在此沒有具體列出。通過Matlab軟件進(jìn)行仿真研究，仿真采用式(17)控制律，記為NFT-T-RBF，采用式(18)、(19)自適應(yīng)律，仿真參數(shù)如表1所示。
表1 NFT-T-RBF仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of NFT-T-RBF
為對(duì)比說明本文所提控制器的有效性，與以下3種控制方法的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。
控制器1：相比本文所提控制器，切換控制項(xiàng)采用不連續(xù)魯棒項(xiàng)，記為NFT-S-RBF，控制律為
(38)
控制器1的仿真參數(shù)如表2所示。
表2 NFT-S-RBF仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters of NFT-S-RBF
控制器2：相比控制器1，不再引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)未知非線性動(dòng)力學(xué)，記為NFT-S，控制律為
(39)
控制器2的仿真參數(shù)如表3所示。
表3 NFT-S仿真參數(shù)Tab.3 Simulation parameters of NFT-S
控制器3：相比控制器2，采用線性滑模面，記為SMC-S，該控制器的滑模面和控制律分別為
(40)
τ3=-k1s-k2sign(s)
(41)
控制器3的仿真參數(shù)如表4所示。
表4 SMC-S仿真參數(shù)Tab.4 Simulation parameters of SMC-S
機(jī)械臂3個(gè)關(guān)節(jié)的期望軌跡分別為
(42)
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)L=7。
為驗(yàn)證所提控制算法的抗擾動(dòng)性能，分別在3個(gè)關(guān)節(jié)通道的1、2、3 s時(shí)刻施加擾動(dòng)，持續(xù)時(shí)間均為0.5 s，擾動(dòng)值為對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)控制量的限幅值的0.8倍，如圖2所示。圖3表示RBFNN對(duì)未知非線性函數(shù)的估計(jì)。圖4為3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤曲線，期望軌跡均為正弦信號(hào)，其中前2個(gè)關(guān)節(jié)的期望軌跡的幅值為2π/3，第3個(gè)關(guān)節(jié)的幅值為5π/18。圖5為3個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差曲線。圖6為各個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸出力矩。由圖4和圖5可以看出，4種控制器最終都能實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，但每個(gè)控制器的收斂速度、魯棒性等又各有不同。
圖2 外部擾動(dòng)Fig.2 External disturbance
圖3 不確定項(xiàng)估計(jì)Fig.3 Estimation of uncertainty
圖4 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線(仿真)Fig.4 Trajectory tracking curves of joints
圖5 關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線(仿真)Fig.5 Tracking error curves of joints
圖6 關(guān)節(jié)控制力矩(仿真)Fig.6 Control torques of joints
對(duì)比圖4、5中的NFT-S與SMC-S，兩者的主要區(qū)別是采用的滑模面不同，NFT-S控制器采用非奇異快速終端滑模面，SMC-S采用線性滑模面。由圖4可以看出，對(duì)于在1、2、3 s時(shí)刻施加的外部擾動(dòng)，SMC-S控制器對(duì)擾動(dòng)更為敏感。由圖5可看出，對(duì)于SMC-S控制器，外部擾動(dòng)使3個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生的跟蹤誤差的峰值分別為1.8、0.4、0.2 rad，而對(duì)于NFT-S控制器，擾動(dòng)產(chǎn)生的誤差均在0.1 rad以內(nèi)，誤差峰值分別降低了94%、75%和50%。由圖5可以看出，SMC-S控制器的調(diào)整時(shí)間約為2 s，而NFT-S控制器的調(diào)整時(shí)間為1 s，相比前者降低了50%。以上分析表明，非奇異快速終端滑模控制方法提高了滑模運(yùn)動(dòng)階段的收斂速度，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。
對(duì)比控制器1與控制器2，即圖4～6中的NFT-S-RBF與NFT-S，NFT-S-RBF控制器利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)未知非線性函數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償。由圖4和圖5可以看出，NFT-S-RBF控制器的抗擾動(dòng)性能和系統(tǒng)收斂速度均略優(yōu)于NFT-S控制器。由圖6可以看出，NFT-S控制器的控制力矩輸出產(chǎn)生了劇烈的抖振，這是由于切換控制項(xiàng)中的符號(hào)函數(shù)k2sign(s)造成的，而NFT-S-RBF控制器的輸出力矩則更為平滑。以上分析表明，引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)能夠有效地削弱系統(tǒng)抖振。
對(duì)比本文所提控制器與控制器1，即圖4、5中的NFT-T-RBF與NFT-S-RBF，NFT-T-RBF控制器的切換控制項(xiàng)引入終端吸引子代替符號(hào)函數(shù)，使控制力矩輸出連續(xù)。由圖4和圖5中可以看出，NFT-T-RBF控制器的調(diào)整時(shí)間均在0.3 s以內(nèi)，降低了系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，并且進(jìn)一步提高系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。因此切換控制項(xiàng)引入終端吸引子能夠提高滑模趨近速度，增強(qiáng)魯棒性。
仿真結(jié)果表明，本文所提出的基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非奇異快速終端滑?？刂品椒軌蛴行У奶岣呦到y(tǒng)控制性能，加快收斂速度，增強(qiáng)魯棒性，抑制系統(tǒng)抖振。
6 實(shí)驗(yàn)
為了驗(yàn)證本文所提的控制算法在實(shí)際應(yīng)用中的控制性能，在Denso 6-DOF機(jī)械臂的前3個(gè)關(guān)節(jié)上進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，其余關(guān)節(jié)鎖死，該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是Quanser公司開發(fā)的Denso 6-DOF機(jī)械臂控制系統(tǒng)，如圖7所示。其硬件系統(tǒng)主要包括Denso VP-6242G機(jī)械臂，伺服控制器，控制計(jì)算機(jī)。軟件系統(tǒng)為Quanser公司開發(fā)的能完全兼容Matlab的實(shí)時(shí)控制軟件Quarc，用戶可以在Simulink環(huán)境下調(diào)整內(nèi)部控制器也可以獨(dú)立設(shè)計(jì)控制器，通過該軟件自動(dòng)生成可執(zhí)行文件。系統(tǒng)控制過程：編碼器測(cè)量6個(gè)關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)的角度位置，通過專用電纜傳送到伺服控制器的數(shù)據(jù)采集模塊，再通過以太網(wǎng)傳輸?shù)接?jì)算機(jī)，通過上位機(jī)控制器計(jì)算輸出控制力矩，經(jīng)數(shù)據(jù)采集模塊送到伺服驅(qū)動(dòng)器，驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)，完成機(jī)械臂控制任務(wù)。
圖7 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.7 Experiment platform
機(jī)械臂控制系統(tǒng)的關(guān)鍵運(yùn)行參數(shù)如表5所示。
表5 關(guān)鍵運(yùn)行參數(shù)Tab.5 Critical operating parameters
該實(shí)驗(yàn)是依據(jù)本文所提的控制算法以及仿真研究，獨(dú)立設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制。由于實(shí)際系統(tǒng)中存在信號(hào)傳輸延時(shí)問題，該系統(tǒng)延時(shí)為6個(gè)采樣時(shí)刻，但在仿真中是不存在這種問題的，因此需要考慮系統(tǒng)延時(shí)對(duì)控制性能的影響，分析控制律式(17)可知，若滑模面的參數(shù)確定，其中等效控制τeq則為不可控的量。定義
(43)
設(shè)某一次采樣時(shí)刻為t0時(shí)刻，則該時(shí)刻所需要的等效控制量為
τeq(t0)=-βΘ(t0)
(44)
然而由于傳輸延時(shí)的影響，控制量τeq(t0)將在t1時(shí)刻作用于機(jī)械臂，但t1時(shí)刻機(jī)械臂真正需要的控制量為
τeq(t1)=-βΘ(t1)
(45)
如果機(jī)械臂控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則滿足
|τeq(t0)|>|τeq(t1)| (t1>t0)
(46)
這將會(huì)導(dǎo)致在t1時(shí)刻作用于機(jī)械臂的控制量的絕對(duì)值偏大，偏差量為
Δu=|τeq(t0)|-|τeq(t1)|=β[|Θ(t0)|-|Θ(t1)|]
(47)
偏差量Δu增大將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面附近抖振，由式(47)可知，β與Δu成正比，但β與提高系統(tǒng)收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度也成正比，使得減小偏差量與提高系統(tǒng)性能相悖，為了減小每個(gè)采樣時(shí)刻的偏差量，削弱抖振，在實(shí)驗(yàn)中將式(12)修改為
(48)
其中
φ=diag(φ1,φ2…,φn)(φi<βi)
實(shí)驗(yàn)采用式(17)控制律記為NFT-T-RBF，式(18)、(19)自適應(yīng)律，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表6所示。
表6 NFT-T-RBF實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.6 Experimental parameters of NFT-T-RBF
為對(duì)比驗(yàn)證本文所提控制方法的有效性，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與WAN等[19]所提出的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑?？刂品椒?PD-ESO-SMC)進(jìn)行對(duì)比。PD-ESO-SMC控制方法采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行實(shí)時(shí)的估計(jì)和補(bǔ)償；滑模面采用線性滑模面，系統(tǒng)收斂速度慢，穩(wěn)態(tài)精度低；切換控制引入sal函數(shù)，但該函數(shù)只能在滑模函數(shù)小于1時(shí)加快趨近速度，不能實(shí)現(xiàn)全局快速趨近。
PD-ESO-SMC方法所采用的滑模面和控制律分別為
(49)
τ=k2s+k3diag(|s|k4)sign(s)
(50)
PD-ESO-SMC方法的實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表7所示。
3個(gè)關(guān)節(jié)的期望軌跡分別為
(51)
表7 PD-ESO-SMC實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.7 Experimental parameters of PD-ESO-SMC
圖8為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線。圖9為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差曲線。圖10為各個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸出力矩。圖11表示機(jī)械臂啟動(dòng)的初始化時(shí)間為2.85 s，在初始化完成以后采用用戶獨(dú)立設(shè)計(jì)的控制器完成各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤任務(wù)。由圖8可以看出，本文所提的控制方法比PD-ESO-SMC方法具有更快的收斂速度。由圖9可以看出，PD-ESO-SMC控制方法的誤差穩(wěn)態(tài)精度在0.02 rad左右，而NFT-T-RBF控制方法的穩(wěn)態(tài)精度在0.005 rad左右，顯著地提高了系統(tǒng)跟蹤精度。由圖10可以看出，輸出控制量有輕微的抖振，但是在允許的范圍之內(nèi)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提控制方法在實(shí)際應(yīng)用中能夠提高系統(tǒng)收斂速度和跟蹤精度。
圖8 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.8 Trajectory tracking curves of joints
圖9 關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.9 Tracking error curves of joints
圖10 關(guān)節(jié)控制力矩(實(shí)驗(yàn))Fig.10 Control torques of joints
圖11 系統(tǒng)初始化時(shí)間Fig.11 System initialization time
為衡量整個(gè)控制系統(tǒng)的平均跟蹤精度，引入均方差的指標(biāo)[20]比較兩者的控制性能，即
(52)
式中Nf——系統(tǒng)初始化完成以后的總采樣數(shù)
則系統(tǒng)均方差指標(biāo)如表8所示。
由表8可以看出，NFT-T-RBF控制方法在3個(gè)關(guān)節(jié)的均方差比PD-ESO-SMC的均方差分別降低了51.2%、41.0%和70.3%，表明本文所提的控制方法能夠有效提高跟蹤精度。
表8 均方差Tab.8 Mean square deviation rad
7 結(jié)論
(1)針對(duì)具有不確定性和外部擾動(dòng)的機(jī)械臂系統(tǒng)存在收斂速度慢、跟蹤精度低的問題，分析比較NFTSM和線性滑模的收斂性能，并結(jié)合RBFNN對(duì)系統(tǒng)未知非線性函數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)無模型控制，以及切換控制項(xiàng)引入快速連續(xù)終端吸引子，提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非奇異快速終端滑?？刂品椒?，并證明了系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定性和有限時(shí)間收斂特性。
(2)仿真結(jié)果表明，相比線性滑模，NFTSM使滑模運(yùn)動(dòng)階段收斂速度提升約50%，3個(gè)關(guān)節(jié)的擾動(dòng)誤差峰值分別降低了94%、75%和50%，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性。RBFNN補(bǔ)償控制器在增強(qiáng)系統(tǒng)控制性能的同時(shí)有效地降低了系統(tǒng)抖振，使控制量輸出更平滑。快速連續(xù)終端吸引子縮短了滑模趨近階段的時(shí)間，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。
(3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比PD-ESO-SMC控制方法，本文控制方法的均方差分別降低了51.2%、41.0%和70.3%，有效地提高了系統(tǒng)跟蹤精度。
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