(晉中師范高等?？茖W(xué)校,山西 晉中 030600)

基于保護(hù)野生動物的目的,提出了一類帶有擴(kuò)散和時滯的捕食系統(tǒng),并進(jìn)行了分析研究.本文是在文獻(xiàn)[1]結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了該捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性.模型如下:

(1)

xi(t)=φi(t)≥0,y(t)=φ(t)≥0,t∈[-τ,0],φi(0)≥0,φ(0)≥0(i=1,2)

(2)

其中xi(t)表示第i個斑塊食餌種群在時刻t≥0的密度(i=1,2),ri>0是斑塊上食餌種群的內(nèi)稟增長y(t)表示捕食者種群在t≥0時刻的密度，s>0是捕食者種群的死亡率;Di>0是食餌種群從斑塊j向斑塊i的擴(kuò)散系數(shù),并假設(shè)擴(kuò)散系數(shù)與差分xj(t)-xi(t)成正比,ci>0是食餌向捕食者的轉(zhuǎn)化系數(shù),且Di≥ci,(i=1,2);τ>0表示捕食者的消化時間或妊娠時間;a為正常數(shù).

根據(jù)定理3.2[1]知,當(dāng)c1+c2

其特征方程是：

λ3-[s-(L1+L2)λ2+[L1L2-D1D2-s(L1+L2)]λ+(L1L2-D1D2)s

(3)

若an>1,則L1<0,L2<0,于是s-(L1+L2)>0,L1L2>D1D2.從而可知Ij>0(j=1,2,3),F>0,G>0.那么(3)可簡記為:

λ3+(I1+s)λ2+(I1s+F)λ+sF+[-sλ2+(G-sI1)λ+(I3-sF)]e-λτ=0

(4)

在文獻(xiàn)[1]結(jié)論的基礎(chǔ)上，又得出如下結(jié)論：

定理 如果 (i)an>1,c1+c2-s

(ii)I3-sF>0

(5)

整理,得ω6+Q1ω4+Q2ω2+Q3=0

(6)

由于Q1>0,Q3<0可以知道(6)有唯一正根.

若z=ω2,則代入(6)得

h(z)=z3+Q1z2+Q2z+Q3=0

(7)

由于h(0)=Q3<0,且limz→∞h(z)=∞,所以方程(7)至少存在一個正根,假設(shè)有三個正根z1,z2,z3,則有z1+z2+z3=-Q1<0矛盾;若有兩個正根z1,z2,一個負(fù)根z3,則有z1z2z3=Q3矛盾,故(7)有且僅有一個正根.即(6)有一個正根,因此特征方程(3)有一對純虛根±iω0.由(5),可以解出相應(yīng)于ω0的τ0m為:

設(shè)P(λ)=λ3+(I1+s)λ2+(I1s+F)λ+sF

Q(λ)=-sλ2+(G-sI1)λ+(I3-sF)

則(4)可寫成:P(λ)+Q(λ)e-λτ=0

(8)

對(8)微分得:

因此

從而Hopf分支在τ=τ0,ω=ω0發(fā)生.

注:需要說明在文獻(xiàn)[1]中定理3.3[1]不能決定分支出周期解的穩(wěn)定性,即周期解可在τ>τ0附近存在,也可在τ<τ0附近存在.但根據(jù)Hassard[4],可通過分析高次項來討論分支出的周期解的穩(wěn)定性,在此省略.時滯能引起不穩(wěn)定性和分支,但不出現(xiàn)穩(wěn)定性開關(guān)現(xiàn)象.