馬惠群，王 勇

(山東電力工程咨詢院有限公司，山東 濟南 250013)

0 引 言

水利、電力工程設(shè)計應(yīng)考慮防洪設(shè)計[1]，推求設(shè)計洪水時須應(yīng)讓歷史洪水參與其中，而歷史洪水的獲得一般需進行歷史洪水調(diào)查，確定各次大洪水發(fā)生的時間及相應(yīng)的重現(xiàn)期、洪水過程以及發(fā)生洪水時的雨情、水情和災(zāi)情等。在平原地區(qū)，歷史洪水加成法是一種重要的設(shè)計洪水計算方法[2]。河道中的洪水由降雨引起，歷史洪水加成法是采用歷史最大洪水加上設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)下的降雨量與當(dāng)次洪水降雨量差值引起的流量變化值作為設(shè)計洪水的一種方法。但由于歷史久遠，被調(diào)查人員常常對于幾日降雨引起洪峰流量模糊不清，而不同時長的降雨歷時降雨量差別較大，從而引起計算洪峰流量加成差值較大，此時該如何選擇降雨時長?本文采用水文分析中常用的Copula方法對此進行研究，以期為降雨和洪峰流量關(guān)系研究提供有效的途徑。

1 Copula函數(shù)

Sklar[3]認(rèn)為一個聯(lián)合分布可以分解為k個邊緣分布和一個Copula函數(shù)，這個Copula函數(shù)描述了變量間的相關(guān)性，它是把多個隨機變量u1，u2，…，un的聯(lián)合分布函數(shù)F(u1，u2，…，un)與各自的邊緣分布函數(shù)Fu1(x1)，F(xiàn)u2(x2)，…，F(xiàn)un(xn)相聯(lián)結(jié)，即聯(lián)結(jié)函數(shù)C(u1，u2，…，un)使得

F(u1，u2，…，un)=C(Fu1(x1)，F(xiàn)u2(x2)，…，F(xiàn)un(xn))

(1)

等式成立。多元函數(shù)C(u1，u2，…，un)是存在的，它就是Copula函數(shù)，將多維分布與一維邊緣分布聯(lián)結(jié)在一起的函數(shù)。

2 Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)

二維Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)形式[4]如下：

C(u，v)=exp(-((-lnu)θ+(-lnv)θ)1/θ)

θ∈[1，+]

(2)

式中，φ(t)=(-lnt)θ，τ=1-θ-1。

若給定Y=y情況下，X的條件分布函數(shù)如下：

(3)

3 計算實例

小清河流域發(fā)源于濟南諸泉群，南依泰山山脈，北界黃河，處于魯中山區(qū)與華北平原的過渡地帶，地形南高北低，自西南向東北傾斜，由南至北依次為山區(qū)、丘陵、平原、洼地。選用小清河黃臺橋站的資料進行計算，黃臺橋水文站[5]位于濟南市二環(huán)東路小清河橋下游，建于1916年，是國家重點水文站，該站控制流域面積321 km2，主要觀測項目有流量、水位、泥沙含量、水質(zhì)等指標(biāo)。現(xiàn)為自動觀測設(shè)備，河道流量～水位關(guān)系穩(wěn)定，沖淤基本平衡。為研究小清河降雨和洪峰流量關(guān)系，本研究共收集到其23年最大1日降雨量、最大15日降雨量和最大洪峰流量資料，統(tǒng)計特征值見表1。

表1 不同變量統(tǒng)計特征值

三個變量之間的散點分布見圖1。

邊緣分布在正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布[6]、指數(shù)分布、威布爾分布[7]、最大極值分布、最小極值分布以及伽馬分布中選取，以采用Gringorten position-plotting 公式計算經(jīng)驗頻率[8,9]，并以此作為基礎(chǔ)計算均方誤，其公式為：

(4)

式中，K表示數(shù)據(jù)序列升序排序序號；N表示樣本總個數(shù)。

本研究采用均方誤作為邊緣分布擬合優(yōu)劣的判斷標(biāo)準(zhǔn)，均方誤越小，說明采用此種邊緣分布擬合越好。均方誤采用下式進行計算：

圖1 三個變量間相關(guān)圖

(5)

式中，RMSE為均方誤，也就是誤方差的平方根；E為期望值，也就是平均值；N為樣本總個數(shù)，在本研究中為23；Xc為不同頻率分布公式的計算值；X0為觀測值，在本文中以經(jīng)驗頻率值表示觀測值。均方誤的計算結(jié)果見表2。

表2 均方誤值

由表2可知，最大1日降雨量對數(shù)正態(tài)擬合最好，最大15日降雨量和最大洪峰流量正態(tài)分布擬合最好，邊緣分布見圖2。采用對數(shù)正態(tài)分布求得，100年一遇最大1日降雨量為240.32 mm；同理，采用正態(tài)分布求得100年一遇最大15日降雨量為398.84 mm，100年一遇洪峰流量為107.06 m3/s。

計算Copuala函數(shù)中的兩個參數(shù)：肯德爾相關(guān)系數(shù)(Kendall τ)和聯(lián)結(jié)參數(shù)(θ)值見表3和表4。

圖2 變量邊緣分布圖

項目最大1日降雨量/最大15日降雨量最大1日降雨量/最大洪峰流量最大15日降雨量/最大洪峰流量肯德爾相關(guān)系數(shù)0．660．440．54

表4 聯(lián)結(jié)參數(shù)值

根據(jù)公式(3)計算不同時長各種重現(xiàn)期的降雨量在歷史最大和100年一遇洪水中的洪峰流量，見圖3。

圖3 不同條件下最大洪峰流量條件重現(xiàn)期圖

4 結(jié) 語

正態(tài)分布以及對數(shù)正態(tài)分布較為適合小清河黃臺橋洪峰流量以及降雨量分布擬合。

由計算可知，小清河黃臺橋站最大洪峰流量與15日降雨量相關(guān)性較好，而且根據(jù)其得到的條件重現(xiàn)期差別也較大，因此，筆者建議在采用歷史洪水加成法分析計算設(shè)計洪水時著重以15日降雨為主計算。

這種方法在進行頻率分析計算時，考慮了與其相關(guān)的非線性因素，更加科學(xué)的反映了其相關(guān)關(guān)系。

[1] DL/T 508/2012電力工程水文技術(shù)規(guī)程[S].中國計劃出版社，2012，北京.

[2] 谷洪欽，王起峰.歷史洪水調(diào)查在推求設(shè)計洪水中的應(yīng)用[J].山東電力技術(shù)，2001(6)：50～52.

[3] Sklar，A.Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges[M].Paris：Publ.Inst.Statist.Univ.，1959.

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[5] 孔祥瑞，陳淑芬，李梅，等.濟南短歷時暴雨強度公式研究[J].山東建筑大學(xué)學(xué)報，2013，28(5)：445～448.

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