高顯彩,單雪紅

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

0 引言

在文獻(xiàn)[1]—[4]中都提出了一種重要的概率分布，稱之為伽瑪分布，為書寫方便記為Γ-分布，本文將對此概率分布作進(jìn)一步的分析.

(2)Γ(r+1)=rΓ(r)，當(dāng)r為自然數(shù)n時(shí)，有Γ(n+1)=nΓ(n)=n!)

概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)：

0

r=1時(shí)，f(x)是嚴(yán)格下降的函數(shù)，且在x=0處f(0)=λ；

1

伽瑪分布的可加性[4]:

設(shè)X～Γ(r1,λ)，Y～Γ(r2,λ)，且X與Y相互獨(dú)立，則Z=X+Y～Γ(r1+r2).

這正是形狀參數(shù)為r1+r2，尺度參數(shù)為λ的伽瑪分布.

這個(gè)結(jié)論可推廣到有限個(gè)尺度參數(shù)相同的獨(dú)立伽瑪變量之和.即

1 伽瑪分布的應(yīng)用

Γ-分布在概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程中都有應(yīng)用.

2 各分布之間的關(guān)系

2.1 伽瑪分布與指數(shù)分布

例1[1]：電子產(chǎn)品失效往往是因?yàn)橥饨绲臎_擊所引起，如果在(0,t)內(nèi)發(fā)生的沖擊次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λt的泊松分布，則第n次沖擊來到的時(shí)間Sn服從Γ(n,λ).

證明：因?yàn)槭录暗趎次沖擊來到的時(shí)間Sn小于等于t”等價(jià)于事件“(0,t)內(nèi)發(fā)生沖擊的次數(shù)N(t)大于等于n”，即{Sn≤t}={N(t)≥n}

以(1,λ)為參數(shù)的Γ-分布，就是以λ為參數(shù)的指數(shù)分布，又在泊松過程中，等待n個(gè)“事件”發(fā)生所需的時(shí)間就服從參數(shù)為(n,λ)的Γ-分布.或者說n個(gè)獨(dú)立的參數(shù)為λ的指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和就是一個(gè)參數(shù)為(n,λ)的Γ-分布的隨機(jī)變量.

2.2 愛爾朗分布與指數(shù)分布

愛爾朗分布與指數(shù)分布有著密切關(guān)系，如果輸入分布是指數(shù)分布，顧客獨(dú)立到達(dá)，則輸入r個(gè)顧客的時(shí)間分布即為r階愛爾朗分布.

定理1[7]：設(shè)ξ1,ξ2,…,ξr是相互獨(dú)立、服從相同參數(shù)λ(>0)的指數(shù)分布的隨機(jī)變量，則ξ=ξ1+ξ2+…+ξr服從r階愛爾朗分布.

假定r=k時(shí)，ξ=ξ1+ξ2+…+ξk的密度函數(shù)為

當(dāng)r=k+1時(shí)ξ=ξ1+ξ2+…+ξk+1的密度函數(shù)為

結(jié)論得證，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξr服從r階愛爾朗分布.

由此結(jié)論可知，r個(gè)相互獨(dú)立且服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和即為一個(gè)r階愛爾朗分布.愛爾朗分布雖然不具有無記憶性，但是愛爾朗分布與指數(shù)分布有密切的聯(lián)系，所以我們可以利用指數(shù)分布的特性來處理與愛爾朗分布有關(guān)的問題.

由中心極限定理可知，若隨機(jī)變量ξ服從r階愛爾朗分布，則對一切x≥0，有

2.3 伽瑪分布與正態(tài)分布

定理2[4]：如果ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則ξ2服從λ=0.5，r=0.5的Γ-分布，

即ξ2～χ2(1).

所以ξ2服從λ=0.5，r=0.5的Γ-分布，即ξ2～χ2(1).

2.4 伽瑪分布漸進(jìn)正態(tài)分布

恰好為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，由逆極限定理可知：伽瑪分布在r→∞時(shí)漸進(jìn)正態(tài)分布.

2.5 伽瑪分布與χ2分布

當(dāng)y<0時(shí)，fY(y)=0.

3 舉例

[1] 茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2] 嚴(yán)士鍵,劉秀芳,徐承彝.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2011.

[3] 何書元.概率引論[M].北京:高等教育出版社,2011.

[4] 袁蔭棠.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,1998.

[5] 陶會強(qiáng).常用概率分布之間的關(guān)系及應(yīng)用研究[J].懷化學(xué)院學(xué)報(bào),2011,30(5):75-78.

[6] 王紅雁.Γ-函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2014,17(3):29-30.

[7] 唐應(yīng)輝,唐小我.排隊(duì)論:基礎(chǔ)與分析技術(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2006.