呂朋　杜敬濤　邢雪　劉志剛

摘要：采用一種改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法建立了熱環(huán)境下彈性邊界約束FGM圓環(huán)薄板面內(nèi)振動(dòng)特性分析模型。基于平面彈性理論應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)了熱環(huán)境下FGM圓環(huán)板面內(nèi)振動(dòng)能量原理方程，其中，彈性邊界條件通過邊界彈簧沿邊界分布進(jìn)行模擬，任意邊界條件可以相應(yīng)設(shè)置剛度系數(shù)獲得。為了改善面內(nèi)耦合位移場函數(shù)在徑向邊界處連續(xù)微分特性，圓環(huán)板面內(nèi)位移徑向分量構(gòu)造為標(biāo)準(zhǔn)傅里葉級(jí)數(shù)與邊界光滑多項(xiàng)式的疊加形式。結(jié)合Rayleigh-Ritz步驟，熱環(huán)境下彈性邊界約束FGM圓環(huán)板結(jié)構(gòu)模態(tài)信息可以通過求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問題而全部得到。隨后，通過給出相關(guān)數(shù)值算例對(duì)所建立模型進(jìn)行了驗(yàn)證，并分析了復(fù)雜邊界約束情況下圓環(huán)板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)特性的影響。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)探討并研究了熱環(huán)境條件、功能梯度材料指數(shù)、彈性邊界約束剛度等重要參數(shù)對(duì)FGM圓環(huán)薄板面內(nèi)振動(dòng)特性的影響規(guī)律，為人們?nèi)胬斫獯祟悘?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性提供了有效的模型基礎(chǔ)和分析手段。

關(guān)鍵詞：彈性振動(dòng)；FGM圓環(huán)板；面內(nèi)振動(dòng)；熱環(huán)境；彈性邊界約束

引言

近年來，隨著材料科學(xué)的快速發(fā)展，功能梯度材料（FGM）作為一種新型材料，因其材料成分連續(xù)分布，能夠有效改善外部機(jī)械或熱載荷作用下應(yīng)力集中情況，在航空航天、核能發(fā)電、內(nèi)燃機(jī)等領(lǐng)域呈現(xiàn)出良好應(yīng)用前景。與此同時(shí)，環(huán)形薄板作為一種重要的結(jié)構(gòu)形式，廣泛存在于航空航天、船舶工業(yè)、車輛工程等眾多工程領(lǐng)域，深刻理解其振動(dòng)特性是開展相關(guān)復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提和基礎(chǔ)。

彈性薄板結(jié)構(gòu)按照振動(dòng)位移方向可以分為面外（彎曲）振動(dòng)和面內(nèi)振動(dòng)。彎曲振動(dòng)固有頻率相對(duì)較低，更容易被激起，許多學(xué)者圍繞其開展了大量的工作。相比而言，針對(duì)薄板面內(nèi)振動(dòng)的研究還不夠充分。最近的研究表明面內(nèi)振動(dòng)在振動(dòng)能量傳輸、三明治板等方面具有重要作用，因此，板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)重新引起了人們的研究興趣。在彈性板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)研究中，關(guān)于矩形板的研究更為全面突出，而圓環(huán)板面內(nèi)振動(dòng)相對(duì)沒有那么豐富。

對(duì)于普通各向同性材料板而言，圍繞FGM薄板振動(dòng)的研究多是關(guān)注面外振動(dòng)或三維振動(dòng)，其面內(nèi)振動(dòng)的研究更為罕見。Efraim利用一階剪切理論和運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算了變厚度FGM圓環(huán)板的振動(dòng)精確解。Allahverdizadeh研究了功能梯度薄圓板的非線性自由和強(qiáng)迫振動(dòng)。wang和Shi基于一階剪切變形理論和里茲法研究了一般邊界下功能梯度圓板、環(huán)板和扇形板的振動(dòng)。Gupta使用高階剪切變形理論研究了不同邊界條件約束下功能梯度板的振動(dòng)特征。Liu研究了材料沿面內(nèi)梯度變化的矩形板振動(dòng)問題。Hosseini利用微分求積法（DQM）研究了材料沿徑向梯度變化的圓板、環(huán)板和扇形板在彈性邊界下面內(nèi)屈曲和自由振動(dòng)，并利用一階剪切理論分析了材料沿厚度梯度變化的圓板和環(huán)板在經(jīng)典邊界條件下面內(nèi)和面外振動(dòng)。

由于FGM在熱環(huán)境下具有顯著優(yōu)勢(shì)，因而FGM板結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用在高溫環(huán)境中，研究其在溫度影響下的振動(dòng)特性將具有重要意義，圍繞這方面一些學(xué)者也開展了相關(guān)工作。Yang基于高階剪切理論，結(jié)合一階微分求積法、伽遼金法和模態(tài)疊加法分析了熱環(huán)境下功能梯度板自由和受迫振動(dòng)。Prakash使用有限元法計(jì)算了功能梯度圓板的非對(duì)稱振動(dòng)與熱彈性穩(wěn)定性，其中材料分布梯度和溫度場分布均沿厚度方向。Kim利用三階變形理論和瑞利-里茲法研究了在熱環(huán)境中功能梯度矩形板的振動(dòng)特性，并分析了材料成分、幾何參數(shù)和溫度分布對(duì)振動(dòng)特性的影響。Li用切比雪夫多項(xiàng)式表示振動(dòng)三維振動(dòng)位移，結(jié)合里茲法得到經(jīng)典邊界條件下功能梯度矩形板三維振動(dòng)，并研究了邊界約束、溫度場和FGM體積分?jǐn)?shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響。Malekzadeh利用微分求積法求解平衡運(yùn)動(dòng)方程，基于一階剪切變形理論分析了熱環(huán)境下材料屬性沿厚度漸變的功能梯度圓拱的面內(nèi)自由振動(dòng)，并在之后基于三位彈性理論研究了熱環(huán)境下功能梯度厚圓環(huán)板的三維振動(dòng)。Shahrjerdi使用二階剪切理論和能量法分析了利用太陽能的功能梯度板的振動(dòng)，并與高階剪切變形理論進(jìn)行了對(duì)比。Shi和Dong利用三維彈性理論和切比雪夫里茲法分析了熱環(huán)境混合邊界條件下功能梯度圓環(huán)板自由振動(dòng)。Attial利用4種不同板理論研究了不同熱環(huán)境下功能梯度矩形板振動(dòng)問題。滕兆春和蒲育基于二維彈性理論和Hamilton原理，利用微分求積法計(jì)算了FGM圓環(huán)板的面內(nèi)振動(dòng)，但其僅關(guān)注了經(jīng)典邊界。綜上研究可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于熱環(huán)境下FGM圓環(huán)板結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題的現(xiàn)有分析主要局限于經(jīng)典邊界約束情況，大大限制了人們對(duì)于復(fù)雜邊界約束的影響形成更為全面的認(rèn)識(shí)。

基于現(xiàn)有研究的不足，本文采用一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)建面內(nèi)振動(dòng)位移場函數(shù)，結(jié)合能量原理對(duì)FGM圓環(huán)板在熱環(huán)境中面內(nèi)振動(dòng)行為進(jìn)行描述。通過在內(nèi)外圈邊界施加徑向和切向彈簧來模擬邊界條件，所有經(jīng)典邊界條件可以通過設(shè)置相應(yīng)剛度系數(shù)而統(tǒng)一得到。結(jié)合瑞利-里茲步驟，F(xiàn)GM圓環(huán)薄板面內(nèi)模態(tài)參數(shù)可以通過求解標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問題而獲得。隨后給出相關(guān)算例對(duì)本文模型進(jìn)行驗(yàn)證，并分析了FGM材料屬性沿圓環(huán)板徑向梯度分布、圓環(huán)板內(nèi)外邊界處于不同的溫度環(huán)境中，溫度場沿經(jīng)向分布等因素對(duì)面內(nèi)模態(tài)特性的影響。