孫開暢，尹志偉，李 權(quán)，劉林鋒

（三峽大學 水利與環(huán)境學院，湖北宜昌 443002）

1 研究背景

邊坡穩(wěn)定性分析一般以安全系數(shù)作為評價指標，通常采用的安全系數(shù)法沒有考慮對邊坡穩(wěn)定有重要影響因素的不確定性［1－4］，因此得到的結(jié)果可能與實際情況存在偏差［5－6］?？煽慷确治鰟t是基于概率統(tǒng)計理論［7－8］，將邊坡穩(wěn)定性影響因素（如巖土特性參數(shù)、結(jié)構(gòu)荷載、滲透系數(shù)、地震荷載等）視為隨機變量，能有效地考慮邊坡系統(tǒng)內(nèi)實際存在的不確定性和相關(guān)性。

邊坡可靠度分析計算方法主要有蒙特卡羅模擬法（Monte Carlo，MC）、可靠指標法、隨機有限元法（Stochastic Finite Element Method，SFEM）、響應面法（Response Surface Method，RSM）等。桂勇等［9－12］提出建立安全系數(shù)與可靠性相耦合的二元評價體系，吳振君等［13］介紹了可靠度的一種優(yōu)化算法，各種分析方法有其各自的優(yōu)缺點和適用范圍，其中MC方法應用較為廣泛，但是計算量大，收斂速度較慢。因此，本文基于RSM的基本思想，在滿足精度要求下探尋求解效率更高的一種方法：在試驗樣本點的選取上采用LHS抽樣原理，結(jié)合可靠指標的幾何圖形意義，將數(shù)據(jù)表法與RSM結(jié)合，有效避免了RSM求解過程中大量取樣和迭代，簡化了求解步驟，提高了求解效率。在托巴110 kV施工變電站邊坡工程中進行了驗算，證實了此方法的可行性。

2 基本原理

2.1 邊坡功能函數(shù)

邊坡狀態(tài)受到許多因素或變量的控制，如土體的強度、孔隙水壓力、地震等，這些變量具有不確定性。利用隨機變量來構(gòu)造函數(shù) g（x）＝g（x1，x2，…，xn），g（x）反映邊坡的狀態(tài)或性能，稱為狀態(tài)函數(shù)或安全系數(shù)，x為基本狀態(tài)變量。采用簡化Bishop法來建立邊坡穩(wěn)定功能函數(shù)［1］，假定滑動面為圓弧，土條條間力作用均水平，邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)計算公式為

式中：Fs為安全系數(shù)；Wi為條塊i的重力（kN）；αi為第i條塊底面的傾角（°）；bi為土條寬度；ui為孔隙水壓力；ci為黏聚力；φi為內(nèi)摩擦角。

由邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)可建立邊坡功能函數(shù)Z，即

Z＜0表示邊坡失效，Z＞0表示邊坡穩(wěn)定，Z＝0表示邊坡處于極限狀態(tài)。式（2）mαi中含有安全系數(shù) Fs，可以看出 Fs本身為ci，φi，αi，wi的函數(shù)，為一隱式函數(shù)，邊坡的功能函數(shù)式（3）也屬于非線性的隱式函數(shù)，采用傳統(tǒng)方法無法計算其可靠度，故采用LHS抽樣、RSM數(shù)據(jù)表方法進行計算。

2.2 LHS抽樣原理

LHS是由McKay等在1980年專門為仿真試驗提出的一種試驗設(shè)計類型。它是一種使輸入組合相對均勻地填滿整個試驗區(qū)間的設(shè)計，且每個試驗變量只使用一次。與均勻試驗設(shè)計、正交試驗設(shè)計、全面試驗設(shè)計相比，LHS抽樣對均值和方差的估計在效果上有顯著改善［14］。步驟如下：

（1）首先確定模擬次數(shù)N，然后將變量的概率分布函數(shù)等分成N個互不重疊的子區(qū)間。

（2）在每個子區(qū)間內(nèi)分別進行獨立的等概率抽樣，可避免大量反復的抽樣工作。

（3）為保證抽取的隨機數(shù)屬于各子區(qū)間，第i個子區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)Vi應滿足

式中V為服從［0，1］均勻分布的隨機數(shù)。

（4）每1個子區(qū)間僅產(chǎn)生1個隨機數(shù)，據(jù)逆變換法，由N個子區(qū)間產(chǎn)生的隨機數(shù)得到N個某一概率密度函數(shù)的隨機變量抽樣值，然后對其抽樣值進行組合，即對各隨機變量抽樣值所屬區(qū)間的序號進行隨機排列。

2.3 響應面函數(shù)

響應面法的最終目的是求得標準正態(tài)空間的一個驗算點，即極限狀態(tài)方程在標準正態(tài)空間的圖形距離原點最小的點。響應面函數(shù)是通過適當變換，使其圖形在標準正態(tài)空間中離原點距離最小的點通過，或最大限度地接近真實極限狀態(tài)方程圖形的驗算點。因此，需進行迭代循環(huán)計算，在循環(huán)計算中對預先選取的表達式系數(shù)進行調(diào)整。

為了兼顧效率與精度，張璐璐等［14］、Rajashekhar等［15］認為，響應面函數(shù)表達式采用二次多項式比較合適。對比二次多項式中帶交叉項的和不帶交叉項的精度發(fā)現(xiàn)，兩者有一些差異但很小。所以在一般情況下，響應面函數(shù)采用不帶交叉項的二次多項式，既有靈活性，又滿足計算精度要求。

對于n個隨機變量，響應Z是n個隨機變量x1，x2，…，xn的函數(shù)，不含交叉項的二次響應面函數(shù)形式為

式中 λ0，λi，λii（i＝1，…，n）為待定系數(shù)，總計 2n＋1個。

3 RSM數(shù)據(jù)表法邊坡可靠度計算模型

傳統(tǒng)的驗算點法計算邊坡可靠指標，需要多次迭代重新抽樣擬合，計算繁瑣，步驟見圖1。

圖1 RSM驗算點法可靠度計算流程Fig.1 Flowchart of reliability calculation by RSM design point method

當隨機變量中存在相關(guān)非正態(tài)分布時，計算工作量更大。而由Low和Tang在Ditlevsen研究基礎(chǔ)上提出的數(shù)據(jù)表法，利用可靠指標的圖形意義，采用Excel宏規(guī)劃求解，不需編制復雜程序，即可實現(xiàn)相關(guān)正態(tài)變量及非正態(tài)變量問題的可靠度計算［14］，數(shù)據(jù)表法基本原理如下。

為了避免相關(guān)變量的獨立變換，可靠指標可表示為

式中：x為多元正態(tài)分布隨機變量（當x為其他分布時，可通過當量正態(tài)化變化轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布后計算）；m為隨機變量均值；C為協(xié)方差矩陣；F為失效域（即Z＜0部分）。

隨機變量空間下，式（7）表示空間的一個橢球。

β的幾何意義見圖2，在標準初始空間橢圓的長、短半軸分別為 σ1，σ2，橢圓長、短軸相應增大 β倍時橢圓與極限狀態(tài)面相切，則所得的β即為所求的最小可靠度指標。在數(shù)據(jù)表法中，可采用VBA（Visual Basic for Applications）自帶的優(yōu)化算法內(nèi)置工具求解，求解可靠指標不需要像驗算點法進行多次重新抽樣擬合迭代。RSM數(shù)據(jù)表計算方法步驟流程如圖3所示。

圖2 數(shù)據(jù)表法中可靠指標β的確定Fig.2 Determining the reliability indexβin spreadsheet method

圖3 RSM數(shù)據(jù)表法可靠度計算流程Fig.3 Flowchart of reliability calculation by RSM with spreadsheet method

4 實際工程邊坡可靠度分析

以非均質(zhì)2層土坡和托巴工程110 kV施工變電站邊坡進行可靠度對比分析。

4.1 非均質(zhì)2層土坡可靠度分析

非均質(zhì)2層土坡剖面幾何形狀見圖4。各土層的黏聚力c及內(nèi)摩擦角φ均為相互獨立的正態(tài)隨機變量，上下2層土的重度均為19 kN／m3，不考慮其變異性［16］，土體強度參數(shù)統(tǒng)計特征見表1。

圖4 非均質(zhì)2層土坡剖面Fig.4 Cross section of two-layer heterogeneous slope

表1 土體強度參數(shù)統(tǒng)計特征Table1 Soil strength parameters and statistical features

采用數(shù)據(jù)表法對RSM的功能函數(shù)求解可靠指標和失效概率的步驟如下：首先采用LHS抽樣構(gòu)造15組初始樣本，利用Bishop穩(wěn)定原理，借助slide程序獲取樣本功能函數(shù)響應，得出樣本強度參數(shù)及對應功能函數(shù)值見表2。根據(jù)響應面函數(shù)，構(gòu)建邊坡功能函數(shù)顯式表達式。其計算結(jié)果與MC法以及RSM驗算點法的結(jié)果對比見表3。

表2 非均質(zhì)2層土坡15組樣本及功能函數(shù)值Table2 Fifteen groups of samples and their performance function values of two-layer heterogeneous slope

表3 非均質(zhì)2層土坡可靠度計算結(jié)果對比Table3 Comparison of calculation results of two-layer heterogeneous slope

從表3得出MC法模擬105次的計算結(jié)果為近似精確解時，RSM數(shù)據(jù)表法計算得到的可靠指標與之僅差0.153，相對誤差為6.95%，且RSM數(shù)據(jù)表法計算量遠小于MC法；相對于RSM驗算點法，RSM數(shù)據(jù)表法誤差小，且計算效率高。

4.2 托巴110 kV變電站邊坡可靠度分析

托巴110 kV施工變電站邊坡位于云南省迪慶州維西縣瀾滄江托巴水電站左岸，起止樁號為K1＋385—K1＋480，高程 1 748.0 m。邊坡地層主要由塊石、碎石及粉質(zhì)黏土組成，片理產(chǎn)狀N30°～45°W，NE∠72°～85°邊坡共2階，實際斷面見圖5。

圖5 托巴110 kV變電站邊坡照片F(xiàn)ig.5 Cross section of Tuoba 110 k V substation slope

上層坡度1∶1，坡高20 m，土體的重度采用天然狀態(tài) γ1＝21 kN／m3；下層坡度 1∶1.25，坡高 25 m，土體重度γ2＝23.5 kN／m3。對試驗原始數(shù)據(jù)采用適用于小樣本數(shù)據(jù)的K-S檢驗法進行假設(shè)驗證［2，17］，確定參數(shù)變量的分布類型，克服了傳統(tǒng)意義上人為假設(shè)其分布的誤差。

各土層界面物理力學指標見表4，邊坡地質(zhì)坡面典型斷面計算模型見圖6，Slope／W軟件計算得出安全系數(shù)為1.38。LHS構(gòu)造30組初始樣本數(shù)據(jù)及其相應的功能函數(shù)值見表5，構(gòu)建邊坡功能函數(shù)的顯式表達式，然后采用數(shù)據(jù)表法對RSM的功能函數(shù)求解可靠指標和失效概率，不同計算方法結(jié)果對比見表6。

表4 土層物理力學指標初始建議值Table4 Initial recommendations of soil physical and mechanical indexes

圖6 邊坡典型斷面計算模型Fig.6 Calculation model of typical cross section of slope

表5 托巴110 kV變電站邊坡30組樣本及功能函數(shù)值Table5 Thirty groups of samples and their performance function values of Tuoba 110 kV substation slope

表6 托巴110 k V變電站邊坡可靠度計算結(jié)果對比Table6 Comparison of calculation results of Tuoba 110 kV substation slope

計算結(jié)果表明：對于實際工程邊坡，采用RSM數(shù)據(jù)表方法計算精度滿足要求。相對MC法與RSM驗算點方法，RSM數(shù)據(jù)表方法大大提高了計算效率。該工程邊坡安全系數(shù)為1.38，可靠指標僅為1.64，仍存在失穩(wěn)的可能，為提高該工程邊坡的穩(wěn)定性，工程具體措施采用掛網(wǎng)錨噴支護、網(wǎng)格梁＋錨索支護的型式。

5 結(jié) 論

（1）采用RSM數(shù)據(jù)表法，對傳統(tǒng)的RSM驗算點法進行了改進，結(jié)合可靠指標圖形意義，求解可靠指標時不需要編寫復雜程序，采用VBA內(nèi)置的優(yōu)化算法，規(guī)劃求解得到可靠指標。

（2）采用LHS法進行抽樣，將變量的概率分布函數(shù)等分成N個互不重疊的子區(qū)間，在每個子區(qū)間內(nèi)分別進行獨立的等概率抽樣，避免MC計算方法中大量反復的抽樣工作，并且估值穩(wěn)定，能有效地提高邊坡可靠性分析的模擬效率。

（3）通過經(jīng)典邊坡和托巴110 kV施工變電站邊坡工程實例進行計算，驗證了RSM數(shù)據(jù)表法的精確性和高效性，具有工程實用價值。

實際邊坡體的不確定性不僅僅主要表現(xiàn)在物理力學參數(shù)c，φ上，還包括很多不確定因素，本研究還有待進一步完善。

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