石梁宏，李雙洋，王沖，尹楠

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凍土熱物理性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特征及分布規(guī)律

石梁宏1, 2，李雙洋1，王沖3，尹楠1

(1. 中國(guó)科學(xué)院 西北生態(tài)環(huán)境資源研究院 凍土工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州，730000； 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京，100049；3. 蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州，730000)

為揭示凍土熱物理性質(zhì)的隨機(jī)性及內(nèi)在規(guī)律，以青藏高原粉質(zhì)黏土為研究對(duì)象，分別對(duì)5種典型溫度條件下凍土的熱物理參數(shù)進(jìn)行50組大樣本測(cè)試。研究結(jié)果表明：即使在同一溫度下，試樣的熱物理參數(shù)也存在明顯的隨機(jī)性，但又呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律；凍土的熱物理參數(shù)(導(dǎo)熱系數(shù)和容積熱容量)服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，并利用總體分布假設(shè)的2檢驗(yàn)法驗(yàn)證了分布規(guī)律的正確性。

凍土；熱物理性質(zhì)；導(dǎo)熱系數(shù)；容積熱容量；概率分布；2檢驗(yàn)法

近年來(lái)，隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我國(guó)對(duì)高寒、高海拔地區(qū)的開(kāi)發(fā)力度不斷加大，一系列的重大工程逐漸在凍土地區(qū)修建，如何保證這些工程的穩(wěn)定性一直是施工建設(shè)中所關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題[1]。作為一種多相介質(zhì)材料，凍土主要由固體土顆粒、未凍水、冰晶體和空氣等組成[2]，其物理力學(xué)性質(zhì)對(duì)外界環(huán)境的變化十分敏感。由于含水量、干密度等內(nèi)部因素和氣候變化、工程擾動(dòng)等外部因素的相互作用，不可避免地會(huì)改變土體的熱物理性質(zhì)，進(jìn)而影響到土水體系與外界環(huán)境之間的熱交換過(guò)程，由此可能引發(fā)次生的不良凍土現(xiàn)象，直接影響到工程的穩(wěn)定性[3?5]。因此，為了保證凍土地區(qū)工程設(shè)計(jì)和施工的安全，滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的要求，對(duì)凍土的熱物理性質(zhì)進(jìn)行研究具有十分重要的意義。目前，對(duì)土體熱物理性質(zhì)的研究主要集中在對(duì)熱參數(shù)的試驗(yàn)測(cè)試和影響因素分析2個(gè)方面。在熱參數(shù)的測(cè)試方面，國(guó)內(nèi)的相關(guān)規(guī)范以表格的形式給出了幾種典型土在不同密度和不同含水量下的熱物理參 數(shù)[6?8]。此外，葉萬(wàn)軍等[9]對(duì)不同含水率下黃土的導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行了測(cè)試；OVERDUIN等[10]對(duì)相變區(qū)附近的土體導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行了研究；徐捷等[11]對(duì)淤泥質(zhì)黏土在高溫下的導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行了研究；談云志等[12]提出了非飽和土熱導(dǎo)率的預(yù)估模型。在熱參數(shù)的影響因素分析方面，馬祖羅夫[13]通過(guò)對(duì)大量文獻(xiàn)的研究，給出了凍融土的熱物理性質(zhì)與其顆粒組成、容重、含水率、飽和度、孔隙率、密度、塑限之間的關(guān)系；陶兆祥等[14]研究了容重和含水量的變化對(duì)高含水(冰)凍融土導(dǎo)熱系數(shù)的影響；ABU-HAMDEH[15]研究了干密度對(duì)砂土熱導(dǎo)率的影響；ORAKOGLU等[16]考慮了凍融循環(huán)次數(shù)、纖維體積含量對(duì)加筋土體導(dǎo)熱系數(shù)的影響；COSENZA等[17]研究了初始體積含水量對(duì)土體導(dǎo)熱系數(shù)的影響。以上工作都是將土體的熱物理參數(shù)視為一個(gè)確定值來(lái)展開(kāi)研究，但是在實(shí)際的工程中，尤其在負(fù)溫條件下，由于土體的含水量、含冰量、密度等因素分布的不均勻性，即使在同一溫度下，土體的熱物理參數(shù)也呈現(xiàn)出很強(qiáng)的離散性和隨機(jī)性。當(dāng)前的工程熱工計(jì)算是用乘以安全系數(shù)的方法考慮熱參數(shù)的離散性，這種計(jì)算勢(shì)必會(huì)增加工程成本，無(wú)法保證工程的經(jīng)濟(jì)性，如果不考慮熱參數(shù)的隨機(jī)特征，又可能會(huì)影響到工程的安全性。因此，為了描述土體熱物理參數(shù)的隨機(jī)分布特點(diǎn)，采用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法研究?jī)鐾翢釁?shù)的統(tǒng)計(jì)特征及分布規(guī)律，為深入分析凍土類(lèi)材料的熱物理性質(zhì)提供理論依據(jù)和參考。目前，對(duì)凍土熱物理參數(shù)不確定性及離散現(xiàn)象的研究較少，吳曉光[18]對(duì)高溫凍土的熱參數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，給出了高溫凍土熱參數(shù)的概率分布函數(shù)，但是缺少對(duì)其分布函數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，且該研究?jī)H限于?1.5 ℃的高溫凍土，因而其成果應(yīng)用有一定的局限性。本文作者對(duì)青藏高原粉質(zhì)黏土在不同溫度條件(20，?1，?2，?5和?10 ℃)下的熱物理參數(shù)(導(dǎo)熱系數(shù)、容積熱容量)分別進(jìn)行50組大樣本試驗(yàn)，通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)離散程度及分布規(guī)律的統(tǒng)計(jì)分析，得到凍土熱物理參數(shù)的概率分布函數(shù)，并從理論上驗(yàn)證提出的分布規(guī)律的正確性，為進(jìn)一步研究?jī)鐾令?lèi)材料及工程的熱力學(xué)性質(zhì)提供 依據(jù)。

1 分布規(guī)律模型及檢驗(yàn)方法

概率分布函數(shù)是研究隨機(jī)變量的重要工具，為了描述凍土熱物理性質(zhì)的隨機(jī)分布特點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)特征，引入3種典型的概率分布函數(shù)(正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布)；同時(shí)，為了驗(yàn)證概率分布函數(shù)的正確性，采用χ2檢驗(yàn)法對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

1.1 分布規(guī)律模型

1.1.1 正態(tài)分布

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)()：

式中：為樣本值；為正態(tài)分布的期望；為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差(＞0)。

正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為

1.1.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)()：

式中：為樣本值；為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值；為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為

1.1.3 威布爾分布

威布爾分布的概率密度函數(shù)()：

式中：為樣本值；為威布爾分布的形狀參數(shù)；為威布爾分布的尺度參數(shù)。

威布爾分布的累積分布函數(shù)為

利用最大似然估計(jì)法可求得正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布中的未知參數(shù)，進(jìn)而可得到對(duì)應(yīng)的概率分布函數(shù)。

1.2 χ2檢驗(yàn)法

當(dāng)不確定隨機(jī)變量的總體服從何種類(lèi)型分布時(shí)，利用2檢驗(yàn)法可檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)。首先，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的分布特征，提出樣本總體可能服從某一概率分布的假設(shè)，記為0。由樣本觀(guān)測(cè)值求得

式中：2為統(tǒng)計(jì)量，可通過(guò)樣本值求出；f為試驗(yàn)頻率；p為估計(jì)頻率；為樣本容量。

若在假設(shè)0下，由式 (7)計(jì)算后有

則在顯著性水平下假設(shè)檢驗(yàn)通過(guò)[19]。式(8)中：為顯著性水平；為劃分的樣本子集個(gè)數(shù)；為計(jì)算概率分布時(shí)未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。

2 試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)土樣

試驗(yàn)土樣為青藏鐵路北麓河試驗(yàn)段粉質(zhì)黏土。將原狀土過(guò)孔徑2 mm篩后，取粒徑小于2 mm的土樣作為本次試驗(yàn)用土。試樣的基本物理參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 試樣的基本物理參數(shù)

2.2 試驗(yàn)儀器

試驗(yàn)主要使用QL–30熱分析儀測(cè)定試樣的熱物理參數(shù)，該熱分析儀的工作原理為非穩(wěn)態(tài)法中的熱脈沖法。

通過(guò)可控式恒溫冰箱調(diào)節(jié)不同的測(cè)試溫度(20，?1，?2，?5和?10 ℃)，冰箱中設(shè)置了溫度探頭，調(diào)節(jié)冰箱溫度可模擬5種溫度條件。

2.3 試驗(yàn)步驟

試驗(yàn)所用土樣的干密度為1.82 g/cm3，含水量為10.00%。試驗(yàn)步驟如下。

1) 稱(chēng)取一定量的土樣烘干，根據(jù)所需含水量，將去離子水均勻噴灑在土樣上，經(jīng)過(guò)充分?jǐn)嚢韬笱b入盛土容器中密封24 h，以保證水分在土樣中擴(kuò)散均勻。

2) 將土裝入制樣的標(biāo)準(zhǔn)模具中，制備直徑×高度為61.80 mm×50.00 mm的試樣50個(gè)。在制備試樣的過(guò)程中，嚴(yán)格要求分層裝入土樣，從而保證試樣截面的平整性，試樣制備完成后，立即用保鮮薄包裹，以減少水分蒸發(fā)。

3) 根據(jù)GB/T 50123—1999“土工試驗(yàn)方法標(biāo) 準(zhǔn)”[20]，將試樣置于恒溫冰箱，設(shè)置試驗(yàn)溫度(溫度分別為20，?1，?2，?5和?10 ℃)后等待48 h，使得整個(gè)試樣溫度達(dá)到測(cè)試溫度。

4) 連續(xù)3次測(cè)定試樣表面溫度，當(dāng)3次的溫差小于0.1 ℃時(shí)，則認(rèn)為溫度穩(wěn)定，可進(jìn)行凍土熱參數(shù)的測(cè)量試驗(yàn)。

3 試驗(yàn)結(jié)果及統(tǒng)計(jì)特征分析

3.1 試驗(yàn)結(jié)果

將制備的50個(gè)試樣放入冰箱，測(cè)試每種溫度下各組試樣的導(dǎo)熱系數(shù)和容積熱容量。不同溫度條件下各組試樣導(dǎo)熱系數(shù)和容積熱容量的測(cè)定值如圖1和圖2所示。

圖1 各組試樣的試驗(yàn)導(dǎo)熱系數(shù)測(cè)定值

3.2 統(tǒng)計(jì)特征分析

圖3和圖4所示分別為導(dǎo)熱系數(shù)和容積熱容量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的箱形圖，箱形圖可直觀(guān)地反映出數(shù)據(jù)的離散特點(diǎn)。從圖3可以看出：在同一溫度下，試樣導(dǎo)熱系數(shù)的離散性均較大；當(dāng)溫度為20 ℃時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)的變化范圍為1.281~1.471 W·m?1·K?1，最大值和最小值之間相差15.0%；在?1 ℃時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)最大相差 0.197 W·m?1·K?1，最大值和最小值之間相差14.8%；在?2 ℃時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)最大相差0.079 W·m?1·K?1，最大值和最小值之間相差5.4%，為5種試驗(yàn)溫度下的最小差值；在?5 ℃時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)最大值和最小值之間相差7.5%；在?10 ℃時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)最大相差6.2%。

圖2 各組試樣的試驗(yàn)容積熱容量測(cè)定值

圖3 各組試樣導(dǎo)熱系數(shù)的箱形圖

圖4 各組試樣容積熱容量的箱形圖

由圖4可以看出：在同一溫度下，試樣的容積熱容量不是某一確定值，也呈現(xiàn)出較強(qiáng)的離散性。例如，在20 ℃時(shí)，容積熱容量的變化范圍為1.45~1.50 MJ·m?3·K?1，其他4種溫度下的容積熱容量也均在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)。

經(jīng)過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析后發(fā)現(xiàn)：在同一溫度下，凍土的熱物理參數(shù)(導(dǎo)熱系數(shù)、容積熱容量)存在較強(qiáng)的離散性和隨機(jī)性，用確定的數(shù)值來(lái)描述凍土的熱物理參數(shù)并不符合實(shí)際，因而需要對(duì)其進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)分析。

4 熱物理性質(zhì)的分布規(guī)律分析

將每個(gè)溫度下凍土熱物理參數(shù)(導(dǎo)熱系數(shù)和容積熱容量)的試驗(yàn)值代入正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布中，繪制出3種典型分布函數(shù)的理論概率分布圖像；然后，根據(jù)理論概率分布和實(shí)測(cè)概率分布圖像的吻合情況，提出熱物理參數(shù)可能服從的概率分布假設(shè)；最后，利用2檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，驗(yàn)證所提出分布函數(shù)的正確性。

4.1 導(dǎo)熱系數(shù)的分布概型確定

將每個(gè)溫度下導(dǎo)熱系數(shù)的50個(gè)數(shù)據(jù)分別代入式(2)，(4)，(6)，得到3種理論概率函數(shù)的分布圖像，然后與實(shí)測(cè)概率分布圖像進(jìn)行比較。圖5所示為根據(jù)導(dǎo)熱系數(shù)的分布情況后假設(shè)的3種函數(shù)概率分布及實(shí)測(cè)概率分布圖像。從圖5可以看出：正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)的概率分布與實(shí)測(cè)值的概率分布吻合得更好。

表2所示為計(jì)算理論與實(shí)測(cè)概率分布曲線(xiàn)的最大差值，其中，威布爾分布的差值較大，尤其在20 ℃和?5 ℃下，威布爾的概率分布與實(shí)測(cè)概率分布的差值分別為0.322 6和0.463 6；而正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)的概率分布均與實(shí)測(cè)概率分布相差較小，其中最大差值出現(xiàn)在?10 ℃下，相差僅為0.109 9。為了驗(yàn)證導(dǎo)熱系數(shù)是否滿(mǎn)足假設(shè)的3種經(jīng)典分布，本文利用2檢驗(yàn)法對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)可能服從的概率分布函數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

根據(jù)2檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)各溫度條件下假設(shè)的導(dǎo)熱系數(shù)的分布函數(shù)。首先由概率分布曲線(xiàn)的吻合情況，提出導(dǎo)熱系數(shù)可能服從的概率分布假設(shè)0，通過(guò)式(7)和(8)計(jì)算2可判斷假設(shè)的函數(shù)是否成立。假設(shè)的導(dǎo)熱系數(shù)概率分布函數(shù)2的計(jì)算結(jié)果如表3所示。從表3可以看出：在20 ℃和?5 ℃下，威布爾分布的2均較高，超出了其限值2α(??1)，故拒絕在20 ℃和?5 ℃下導(dǎo)熱系數(shù)服從威布爾分布的假設(shè)。而在5種溫度條件下，正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的2均在其限值范圍內(nèi)，即在不同溫度下，均可接受導(dǎo)熱系數(shù)服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布的假設(shè)。

溫度/℃：(a) 20；(b) ?1；(c) ?2；(d) ?5；(e) ?10

表2 導(dǎo)熱系數(shù)實(shí)測(cè)概率分布與理論概率分布之間的最大差值

結(jié)合表2、圖5以及表3可以得到：在5種溫度下，正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)的概率分布與實(shí)測(cè)導(dǎo)熱系數(shù)的概率分布更接近，且能通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)。因此，總體來(lái)看，不同溫度下導(dǎo)熱系數(shù)的概率分布適宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布描述。

表3 不同溫度下各個(gè)分布的χ2(α=0.01)

4.2 容積熱容量分布概型的確定

將每個(gè)溫度下容積熱容量的試驗(yàn)值代入式(2)，(4)和(6)，得到3種理論概率函數(shù)的分布圖像，然后與實(shí)測(cè)概率分布圖像進(jìn)行比較(見(jiàn)圖6)。

從圖6可以看出：假設(shè)的3種容積熱容量的理論概率分布曲線(xiàn)與實(shí)測(cè)概率分布曲線(xiàn)都較接近；在20，?1，?2和?10 ℃下，正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)的概率分布與實(shí)測(cè)概率分布的吻合程度更高；而在?5 ℃下，威布爾的概率分布與實(shí)測(cè)值的概率分布吻合得更好。

表4所示為統(tǒng)計(jì)假設(shè)的3種容積熱容量概率函數(shù)分布與實(shí)測(cè)概率分布的最大差值。從表4可以得出，在不同的試驗(yàn)溫度下，正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)的概率分布與實(shí)測(cè)概率分布的差值均較小，其中，最大差值出現(xiàn)在?2 ℃時(shí)的正態(tài)分布下，相差僅為0.109 3；相比之下，威布爾的概率分布與實(shí)測(cè)概率分布之間的差值均較大。同樣，采用2檢驗(yàn)法，對(duì)不同溫度下容積熱容量可能服從的概率分布函數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。根據(jù)式(7)和(8)計(jì)算2后，可判斷假設(shè)是否成立。

溫度/℃：(a) 20；(b) ?1；(c) ?2；(d) ?5；(e) ?10

表4 容積熱容量實(shí)測(cè)概率分布與理論概率分布之間的最大差值

不同溫度下各種分布概型的2如表5所示。由表5可以看出：在20、?1、?2、?5和?10 ℃下，3種理論分布的2均小于2(??1)。故綜合來(lái)看，假設(shè)檢驗(yàn)通過(guò)，3種理論分布函數(shù)均可描述不同溫度下凍土容積熱容量的分布規(guī)律。

結(jié)合圖6和表5可以得出：正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)的概率分布與實(shí)測(cè)容積熱容量的概率分布差值更小，吻合效果更好，且能通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)。故總體來(lái)看，不同溫度下容積熱容量的概率分布更適宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布進(jìn)行描述。

表5 不同溫度下各種分布概型的χ2(α=0.01)

5 結(jié)論

1) 由于密度、水分和含冰量等內(nèi)部因素的不均勻性，以及工程擾動(dòng)、氣候變化等外界因素的影響，凍土的熱參數(shù)呈現(xiàn)出較強(qiáng)的離散性，但又具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，因此，使用某一確定值來(lái)描述凍土的熱參數(shù)并不合理，而采用概率分布函數(shù)對(duì)熱參數(shù)的分布規(guī)律進(jìn)行描述更準(zhǔn)確。

2) 在進(jìn)行凍土導(dǎo)熱系數(shù)和容積熱容量的統(tǒng)計(jì)特征分析時(shí)，均宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。

3) 本文通過(guò)對(duì)凍土熱參數(shù)的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析研究，得到了描述凍土熱物理性質(zhì)分布規(guī)律的概率函數(shù)，并采用2檢驗(yàn)法對(duì)所提出分布函數(shù)的正確性加以驗(yàn)證。本文所提出的凍土熱物理性質(zhì)的分布規(guī)律可為今后凍土材料的研究和工程熱力學(xué)的計(jì)算提供參考。

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Statistical characters and distribution laws of thermophysical properties of frozen soil

SHI Lianghong1, 2, LI Shuangyang1, WANG Chong3, YIN Nan1

(1. State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering, Northwest Institute of Eco-Environment and Resources, Chinese Academy of Sciences, Lanzhou 730000, China; 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. College of Civil Engineering and Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

To reveal the randomness and intrinsic regularity of the frozen soil, thermal physical parameters of 50 sets of silty clay in Qinghai—Tibet Plateau were tested in each temperature state. The result shows that even though under the same temperature, the thermal parameters of samples exhibit great randomness and uncertainty, but obey statistical rules to some extent. According to the analysis with probability and mathematical statistics method, the thermal physical parameters (thermal conductivity and volumetric heat capacity) of the frozen soil obey normal distribution or lognormal distribution, and this hypothesis is proven to be valid by the2hypothesis testing method.

frozen soil; thermophysical property; thermal conductivity; volumetric heat capacity; probability distribution;2testing method

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.12.020

TU411.2

A

1672?7207(2018)12?3060?08

2018?01?29；

2018?03?18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41672315, 41230630)；中國(guó)科學(xué)院前沿科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目(QYZDY-SSW-DQC015)；中國(guó)科學(xué)院“西部之光”項(xiàng)目(2014)；中國(guó)科學(xué)院青年創(chuàng)新促進(jìn)會(huì)項(xiàng)目(2015349)；凍土工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題(SKLFSE-ZY-18)；中國(guó)科學(xué)院STS項(xiàng)目(HHS-TSS-STS-1502)(Projects(41672315, 41230630) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(QYZDY-SSW-DQC015) supported by Key Research Program of Frontier Sciences of Chinese Academy of Sciences; Project(2014) supported by Light of West China Program of Chinese Academy of Sciences; Project(2015349) supported by Youth Innovation Promotion Association of Chinese Academy of Sciences; Project(SKLFSE-ZY-18)supported by State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering; Project (HHS-TSS-STS-1502) supported by STS Project of Chinese Academy of Sciences)

李雙洋，博士，副研究員, 從事凍土力學(xué)與寒區(qū)巖土工程研究; E-mail：lisy@lzb.ac.cn

(編輯 趙俊)