張威

[摘? 要] “二元一次方程組”具有承上啟下的作用，若不能合理設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，很容易出現(xiàn)思維的斷層，也不能充分貫徹該內(nèi)容所傳達(dá)的思想. 本文從課例引入、概念抽象、過程設(shè)計等方面對“二元一次方程組”的概念教學(xué)提出一些建議.

[關(guān)鍵詞] 二元一次方程組;情境;課例引入;概念抽象;過程設(shè)計

二元一次方程組是解決實(shí)際問題的一種重要模型，雖然學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程等內(nèi)容，但從其結(jié)構(gòu)來看相對較為復(fù)雜，學(xué)生在概念理解上可能存在一定的困難，因此概念教學(xué)要采用合理的教學(xué)方式，下面是關(guān)于其概念教學(xué)的一些建議.

遵從認(rèn)知規(guī)律，情境化課例引入

對于“二元一次方程組”的內(nèi)容，新課標(biāo)要求學(xué)生能夠理解概念，并能利用所學(xué)知識分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系. 其中概念理解是應(yīng)用的前提，為完成概念教學(xué)，在課例的引入階段就需要采用情境化的教學(xué)方式，而不是通過簡單的復(fù)述作為課堂開始.

設(shè)計情境引入問題時需要注意兩點(diǎn)：一是所設(shè)計的問題要能夠形成良好的探究氛圍，問題不宜過難;二是要遵從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把握知識的銜接點(diǎn)，幫助學(xué)生完成舊知到新知的過渡. 因此可以結(jié)合中國古代文化，設(shè)計如下問題：

《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個有趣的問題，寫到“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”用現(xiàn)代話翻譯則為：在同一個籠子里有若干只雞和兔，從籠子的上面數(shù)一共有35個頭，從籠子的下面數(shù)一共有94只腳，問籠子中的雞和兔子各幾只？

而課例引入階段除了需要注重“引”，還需重視“啟”，即利用情境問題來開啟學(xué)生的智慧，利用已有認(rèn)知完成問題探索，這個過程就需要教師結(jié)合之前的一元一次方程來完成. 在給出該問題后，教師可以首先讓學(xué)生思考問題是否可以通過列一元一次方程來完成，然后引導(dǎo)學(xué)生分別用算術(shù)的方法和列二元一次方程的方法嘗試解決. 當(dāng)學(xué)生列出二元一次方程后，需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察所列方程的“新奇點(diǎn)”，對比一元一次方程來發(fā)現(xiàn)二元一次方程組的特征，思考該方程組中的哪個方程可以完全表示情境問題中所有的數(shù)量關(guān)系，然后對應(yīng)問題信息完成方程的構(gòu)建（表1）.

情境化問題的設(shè)計是為了通過具體的問題觸碰概念的外延，對于學(xué)生而言新知的學(xué)習(xí)是相對困難抽象、難以理解的，因此上述課例設(shè)計選取了具有趣味性、代表性、難度適中的古典數(shù)學(xué)故事. 并利用實(shí)際問題激活了數(shù)學(xué)解題的模型化作用，對于后續(xù)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題十分有利. 而采用引導(dǎo)性的設(shè)問方式，觸碰了二元一次方程組的概念，可以幫助學(xué)生完成后續(xù)概念的抽象. 同時，題目信息與方程對照是文字語言與數(shù)學(xué)語言的進(jìn)一步溝通交流. 采用這樣的教學(xué)方式，無形之中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了語言轉(zhuǎn)化與模型構(gòu)建的過程，對于提升學(xué)生的讀題、釋題、化題能力有大有裨益.

符合思維結(jié)構(gòu)，科學(xué)抽象概念

新知的學(xué)習(xí)是一個相對完善的認(rèn)知體系，除了需要從學(xué)生認(rèn)識的起點(diǎn)開展課堂引導(dǎo)教學(xué)，還需要利用科學(xué)的探究手段，遵從正確的思維結(jié)構(gòu)來開展. 因此在教學(xué)二元一次方程組時就需要按照數(shù)、式、運(yùn)算探究的合理流程——“背景—定義”“表示—求解”.

在引導(dǎo)學(xué)生獲得雞兔同籠問題的方程組后，就需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方程組中未知數(shù)的次數(shù)以及每個方程中未知數(shù)的個數(shù)，理解x和y就是表示雞和兔的數(shù)量，從而完成二元一次方程組的概念抽象，掌握二元一次方程組的特征，實(shí)現(xiàn)“背景”到“定義”的過渡.

而在由“表示”到“求解”的教學(xué)階段，首先需要使學(xué)生理解方程組解的定義，考慮到定義本身相對較為抽象，直接闡述學(xué)生難以理解，可以采用科學(xué)探究的方式，以多組數(shù)的性質(zhì)呈現(xiàn). 可以給出如下幾組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生思考其中x和y的值是否符合方程組（如表2），并找出符合方程組的一組值，向?qū)W生傳達(dá)符合方程組的一組值就是二元一次方程組的解的思想.

另外，方程組的解的教學(xué)中，也可以采用正反求證的方式，即首先讓學(xué)生列出兩個具體問題的二元一次方程，然后給出幾組解，讓學(xué)生思考哪組解同時滿足兩個方程，將這組解定義為兩個方程的公共解，即二元一次方程組的解.

探究問題：摸球得分.

問題1：如果摸到2個紅球和3個綠球的總得分為11分，則每個紅球和綠球分別代表多少分？

問題2：再摸一次，摸到3和紅球和2個綠球的總得分為14分，則每個紅球和綠球分別代表多少分？

問題3：上述表3的x和y的數(shù)值哪些符合問題1，哪些符合問題2，哪些同時符合兩個問題？

由“問題”到“問題的解”是一個辨析論證的過程，該過程有兩個方面：一是由問題探尋解，二是根據(jù)解分析是否符合問題. 正、反論證是一種重要的探究思維，采用這樣的教學(xué)方式可以讓學(xué)生體驗(yàn)探析的思維過程，深刻感受解對應(yīng)方程組的意義，從而充分理解方程組解的概念. 同時，這樣的探究過程可以使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式來思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和理性思維，而后者才是數(shù)學(xué)探究活動的真諦所在.

注重過程引導(dǎo)，滲透數(shù)學(xué)思想

“二元一次方程組”的內(nèi)容與“一元一次方程”相類似，均是以探究為主，而課堂教學(xué)模型的確定應(yīng)以內(nèi)容性質(zhì)為依據(jù)，因此應(yīng)該以知識探究的方式來開展課堂教學(xué). 而探究模型最為核心的內(nèi)容是“問題”，即利用問題內(nèi)容的指向性和引導(dǎo)性有序推進(jìn)教學(xué)環(huán)節(jié)，同時滲透數(shù)學(xué)的思想方法，用科學(xué)的方法引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的探究過程，在掌握探究方法的基礎(chǔ)上獲得思維的提升.

基于問題指向性設(shè)計探究環(huán)節(jié)時，同樣需要遵從知識探究的過程，即“發(fā)現(xiàn)問題→做出猜想→論證結(jié)論→歸納總結(jié)”. 因此在問題設(shè)計上可以按照探究模型的基本步驟，設(shè)計以問題為指向的環(huán)節(jié)，使探究環(huán)節(jié)能夠形成連續(xù)的問題鏈. 如探究二元一次方程組的相關(guān)概念，可以進(jìn)行如下設(shè)計：給出背景問題→提煉問題猜想→探究論證猜想→歸納抽象概念.

在具體教學(xué)中，第一步給出二元一次方程組背景下的情境問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識嘗試解決，學(xué)生在列方程的過程中必然會遇到困難，進(jìn)而會發(fā)現(xiàn)問題. 該環(huán)節(jié)的列方程階段要滲透模型思想和方程思想，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型是表達(dá)實(shí)際問題的重要方式，解方程是解決問題的重要手段. 第二步，對于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題要及時引導(dǎo)，如所列方程有幾個未知數(shù)？獲得的解的形式與一元一次方程相比有哪些異同？最終的解是否同時符合兩個方程？在該環(huán)節(jié)的引導(dǎo)過程中要滲透類比思想，讓學(xué)生通過知識的類比完成“公共解”的問題發(fā)現(xiàn). 第三步則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對問題現(xiàn)象進(jìn)行提煉，結(jié)合自己的理解歸納猜想. 該階段教師可以進(jìn)一步給出幾個二元一次方程組和對應(yīng)的解，加深學(xué)生的印象，幫助學(xué)生歸納. 在該環(huán)節(jié)的引導(dǎo)過程中可以滲透對應(yīng)思想，讓學(xué)生逐步理解解與方程組的一一對應(yīng)關(guān)系. 第四步，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對提煉的猜想進(jìn)行論證，參考上述正、反論證的方法，從“兩個方程→解”和“解→滿足兩個方程”兩個方面進(jìn)行解的探析，幫助學(xué)生形成“兩個方程共同的解就是方程組的解”的觀點(diǎn)，為后續(xù)的概念抽象打基礎(chǔ). 第五步則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將總結(jié)的觀點(diǎn)、結(jié)論上升到理論高度，歸納成本節(jié)課的概念，該環(huán)節(jié)需要合理滲透歸納思想，讓學(xué)生掌握歸納總結(jié)的方法，獲得思維的提升.

以問題指向?yàn)檎n堂探究的推進(jìn)方向，以思維節(jié)點(diǎn)為探究環(huán)節(jié)的過渡點(diǎn)，可以在激發(fā)學(xué)生思考興趣的前提下，完成思維的自然過渡. 數(shù)學(xué)的概念和知識發(fā)展過程是相對枯燥的，但以問題為指向，符合學(xué)生思維過程的探究設(shè)計，可以讓學(xué)生以參與者的身份經(jīng)歷知識轉(zhuǎn)化形成的過程，感受知識衍生的建模過程，從而深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

總之，開展“二元一次方程組”概念課，要精準(zhǔn)把握內(nèi)容的核心概念，化抽象為形象，從具體的內(nèi)容中衍生概念. 教學(xué)設(shè)計要考慮學(xué)情狀況，從實(shí)際問題中提煉方程;遵從合理的思維構(gòu)成，以問題為課堂驅(qū)動，開展問題探究教學(xué);滲透數(shù)學(xué)的思想方法，提升學(xué)生的思維層次，使課堂成為激趣啟智的園地.