楊志文

1.趙爽的“弦圖”

我們先來(lái)看一張圖片，2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國(guó)召開(kāi)，圖1是大會(huì)會(huì)標(biāo)，是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的.

公元3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”，他在給<周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時(shí)，給出圖2所示的“大方圖”.趙爽寫道：

“以圖考之，倍弦實(shí)，滿外大方，而多黃實(shí).黃實(shí)之多，即勾股差實(shí).以差實(shí)減之，開(kāi)其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”

用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，即：若直角三角形兩直角邊為為a，b，a≥0，b≥0，則

（a+b）²=4ab+（b-a）²，（a+b）²=2c²-（b-a）2=2（a²+b²）-（b-a）²，

因此，可得不等式4ab≤（a+b）²≤2（a²+b²）.

2.歐幾里得的矩形之變

古希臘數(shù)學(xué)家似乎并沒(méi)有對(duì)各類中項(xiàng)的大小進(jìn)行比較，但他們已經(jīng)研究過(guò)部分中項(xiàng)的幾何作圖法以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，歐幾里得在《幾何原本>卷六命題13中給出了兩條已知線段之間的幾何中項(xiàng)的作圖法.如圖3，以AB為直徑作半圓ADB，則CD即為AC和CB之間的幾何中項(xiàng).

3.芝諾多魯斯的等周問(wèn)題

在歐幾里得之后，獲得與均值不等式等價(jià)結(jié)果的數(shù)學(xué)家是芝諾多魯斯（Zenodorus，約公元前2世紀(jì)）.他寫了一本名為《論等周圖形》的書，專門研究等周問(wèn)題.在書中，他給出了許多命題，其中一個(gè)是：“在邊數(shù)相同、周長(zhǎng)相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大.”

這些歷史材料，再現(xiàn)了基本不等式的“源頭”，通過(guò)挖掘數(shù)學(xué)歷史文化背景，揭示了基本不等式的幾何意義，值得我們細(xì)細(xì)品味.endprint