李文威 周廣兵,2 陳再勵(lì) 吳亮生 黃煒聰 陳惠綱

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基于旋量理論的仿人機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)與可操作性分析*

李文威1周廣兵1,2陳再勵(lì)1吳亮生1黃煒聰1陳惠綱1

（1.華南智能機(jī)器人創(chuàng)新研究院 2.廣東省智能制造研究所）

為研究仿人機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能，采用旋量理論對(duì)SRU構(gòu)型仿人機(jī)械臂進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)與可操作性分析。首先基于指數(shù)積公式對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，獲得通用的正解解析式；其次基于運(yùn)動(dòng)旋量計(jì)算機(jī)械臂的雅克比矩陣，并通過(guò)雅克比矩陣獲得機(jī)械臂操作空間中任意一點(diǎn)的全局相對(duì)可操作度；最后以某六自由度仿人機(jī)械臂為算例，對(duì)該機(jī)械臂進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)和可操作性分析，給出可視化計(jì)算結(jié)果。

仿人機(jī)械臂；旋量理論；正運(yùn)動(dòng)學(xué)；指數(shù)積；雅克比矩陣

0 引言

D-H參數(shù)法和基于旋量理論的指數(shù)積（product of exponential，POE）公式是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的2種重要方法，并在機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中廣泛應(yīng)用[1-2]。

D-H參數(shù)法需要針對(duì)每個(gè)桿件建立局部坐標(biāo)系，然后在局部坐標(biāo)系下，基于桿件的4個(gè)參數(shù)建立相鄰桿件間的位姿變換矩陣，繼而以首端到末端一系列變換矩陣的乘積表示機(jī)器人的末端位姿。D-H參數(shù)法建模過(guò)程復(fù)雜，當(dāng)局部坐標(biāo)系建立不恰當(dāng)時(shí)，易產(chǎn)生奇異性；當(dāng)自由度增多時(shí)，易形成累積誤差。

應(yīng)用基于旋量理論的POE公式進(jìn)行機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，基本過(guò)程是：1）分別在機(jī)械臂的基座和末端建立基坐標(biāo)系和工具坐標(biāo)系；2）在基坐標(biāo)系下，確定機(jī)器人的初始位姿、關(guān)節(jié)的位置向量和軸向量；3）將關(guān)節(jié)位置向量和軸向量變換為運(yùn)動(dòng)旋量；4）通過(guò)POE矩陣指數(shù)連乘形式表達(dá)機(jī)械臂的末端位姿。可見(jiàn)，機(jī)械臂末端位姿誤差只來(lái)源于位置向量和軸向量，可從根本上避免奇異性和累積誤差的產(chǎn)生。

采用旋量理論建立的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型不僅具有形式統(tǒng)一、描述簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn)，并且可應(yīng)用在更深入的理論分析中，如，蘭陟等采用旋量理論計(jì)算了五自由度機(jī)械臂的雅克比矩陣[3]；Zhu S等采用旋量理論對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析[4]。

1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是給定各關(guān)節(jié)角，求機(jī)械臂末端位姿的一類(lèi)問(wèn)題。一種六自由度仿人機(jī)械臂的初始位姿狀態(tài)及其結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1所示。該機(jī)械臂具有類(lèi)似人臂的SRU（球面副-轉(zhuǎn)動(dòng)副-萬(wàn)向節(jié)副）串聯(lián)構(gòu)型，其構(gòu)型特點(diǎn)為：1）前3個(gè)自由度正交于一點(diǎn)，其肩關(guān)節(jié)等效于一個(gè)球面副（S）；2）肘關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)副（R），只有1個(gè)自由度；3）后2個(gè)自由度正交于一點(diǎn)，其腕關(guān)節(jié)等效于一個(gè)萬(wàn)向節(jié)副（U）。這種具有類(lèi)似人臂結(jié)構(gòu)特征的仿人機(jī)械臂能夠較好地模擬人臂運(yùn)動(dòng)[5]。

圖1 SRU構(gòu)型仿人機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)

在圖1的基坐標(biāo)系下，機(jī)械臂末端的初始位姿齊次矩陣為

按圖1所示位置，計(jì)算各自由度的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)，所得結(jié)果整理后列于表1中。

表1 各自由度的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)

將機(jī)械臂各自由度的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)表示為

根據(jù)旋量的POE原理，目標(biāo)位姿為

根據(jù)指數(shù)映射關(guān)系

可計(jì)算得到運(yùn)動(dòng)學(xué)正解計(jì)算式為

以符號(hào)運(yùn)算形式在Matlab中編寫(xiě)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解計(jì)算程序，得到式(5)中各元素的解析式為

11=6{5[4(13+123) –214] –5(13–

312)} –6[4(13+123) +241]

12= –6[4(13+123) +241] –

6{5[4(13+123) –214] –

5(13–312)}

13=5[4(13+123) –214] +

5(13–312)

21=6{5[4(31–123) +124] –5(13+

132)} –6[4(31–123) –124]

22= –6[4(31–123) –124] –

6{5[4(31–123) +124] –

5(13+132)}

23=5[4(31–123) +124] +

5(13+132)

31= –6[5(24+243) +235] –

6(42–234)

32=6[5(24+243) +235] –

6(42–234)

33=235–5(24+243)

p= –121–2241–2134–21234

p=112+2124–2314+21234

p=0–12–242+2234

其中，C= cosθ；S= sinθ。

2 可操作性分析

對(duì)于機(jī)器人來(lái)說(shuō)，可操作性反映了整個(gè)系統(tǒng)對(duì)力和運(yùn)動(dòng)的全局轉(zhuǎn)換能力，也就是機(jī)器人在任意方向上的運(yùn)動(dòng)和施加力的能力[6]。

以求出的雅克比矩陣為基礎(chǔ)，可進(jìn)一步求得經(jīng)過(guò)歸一化處理的空間點(diǎn)全局相對(duì)可操作度[5]：

3 算例

為檢驗(yàn)本文推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和可操作度計(jì)算式的正確性，以結(jié)構(gòu)參數(shù)為(0,1,2)T= (0.15 m, 0.25 m, 0.25 m)T的仿人機(jī)械臂為實(shí)際算例進(jìn)行驗(yàn)證。

首先，以特殊位姿驗(yàn)證正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析結(jié)果的正確性。給定一組關(guān)節(jié)角(1,2,3,4,5,6)T= (0, 0, 0,–π/2, 0, 0)T，根據(jù)式(5)可計(jì)算得到末端位姿為

與式(13)對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂位姿的仿真效果如圖2所示，可見(jiàn)，該位姿與機(jī)器人的實(shí)際末端位姿一致，說(shuō)明正解計(jì)算正確。

采用蒙特卡洛法隨機(jī)抽取機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間內(nèi)10000個(gè)點(diǎn)；再根據(jù)正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算式(5)求出機(jī)械臂操作空間內(nèi)相對(duì)應(yīng)的10000個(gè)空間點(diǎn)坐標(biāo)；最后利用式(7)~式(12)求出各空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的全局相對(duì)可操作度值。經(jīng)計(jì)算，機(jī)械臂工作空間內(nèi)可操作度的最大值max= 0.0372。

為使機(jī)械臂操作空間內(nèi)的全局相對(duì)可操作度的分布以可視化的方式呈現(xiàn)，在每個(gè)空間點(diǎn)位放置一個(gè)小圓球，并以圓球的直徑代表u值的大小，所得機(jī)械臂操作空間內(nèi)的可操作性分布如圖3所示。由圖3可見(jiàn)，機(jī)械臂的操作空間大致呈橢球型，橢球的外表面、中心點(diǎn)及上下頂點(diǎn)等極限位置附近可操作性較差。表2列出了機(jī)械臂操作空間內(nèi)若干點(diǎn)位的全局相對(duì)可操作度數(shù)值。

圖3 機(jī)械臂操作空間內(nèi)的可操作性分布

表2 機(jī)械臂操作空間內(nèi)若干點(diǎn)位的全局相對(duì)可操作度

4 結(jié)語(yǔ)

基于旋量理論研究機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能，具有幾何意義明確、表達(dá)形式統(tǒng)一和編程計(jì)算簡(jiǎn)便等優(yōu)勢(shì)。本文基于旋量理論推導(dǎo)了SRU構(gòu)型仿人機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解與全局相對(duì)可操作度的解析計(jì)算式，并針對(duì)一給定尺寸參數(shù)的六自由度仿人機(jī)械臂進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算，文中的計(jì)算過(guò)程與所得結(jié)論對(duì)相似構(gòu)型機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能分析具有一定的參考意義。后續(xù)將進(jìn)一步研究運(yùn)動(dòng)旋量中包含隨機(jī)誤差時(shí)，仿人機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的變化規(guī)律，并據(jù)此分析影響機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)精度的關(guān)鍵因素。

[1] 朱齊丹,王欣璐.六自由度機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法[J].機(jī)器人技術(shù)與應(yīng)用,2014(2):12-18.

[2] Kevin M L, Frank C P. Modern robotics: mechanics, planning, and control[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2017.

[3] 蘭陟,李振亮,李亞.基于旋量理論的5-DOF上肢康復(fù)機(jī)器人雅克比矩陣求解[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2011,28(5):51-53,74.

[4] Zhu S, Chen Q, Wang X, et al. Dynamic?modelling using?screw theory?and nonlinear sliding mode control of serial robot[J]. International Journal of Robotics and Automation, 2016, 31(1): 63-75.

[5] 趙京,宋春雨,杜濱.基于人體工程學(xué)的仿人機(jī)械臂構(gòu)型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2013,49(11):16-21.

[6] 劉迎春,余躍慶,姜春福.機(jī)器人可操作性研究進(jìn)展[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究,2003,19(4):34-37,7.

Forward Kinematics and Maneuverability Analysis of Humanoid Arm Based on Screw Theory

Li Wenwei1Zhou Guangbing1,2Chen Zaili1Wu Liangsheng1Huang Weicong1Chen Huigang1

(1.South China Robotics Innovation Research Institute 2.Guangdong Institute of Intelligent Manufacturing)

In order to analyze the motion performance of the humanoid arm, the forward kinematics and maneuverability analysis of the SRU humanoid arm were carried out by means of screw theory. Firstly, the forward kinematics of the arm was analyzed based on the product of exponential formula, and the general analytical formula of the forward kinematics solution was obtained. Secondly, the Jacobian matrix of the arm was calculated based on the motion screws, and the global relative maneuverability of any point in the operating space was derived by the Jacobian matrix. Finally, the forward kinematics and maneuverability of a humanoid arm with six degrees of freedom were analyzed, and the visualization results were given.

Humanoid Arm; Screw Theory; Forward Kinematics; Product of Exponential; Jacobian Matrix

李文威，男，1981年生，博士，助理研究員，主要研究方向：智能機(jī)器人、CAE仿真與優(yōu)化、機(jī)械動(dòng)力學(xué)。E-mail: liwenwei011@163.com

周廣兵，男，1984年生，碩士，工程師，主要研究方向：智能服務(wù)機(jī)器人、智能制造裝備。

陳再勵(lì)，男，1989年生，碩士，工程師，主要研究方向：機(jī)器人智能控制、無(wú)人機(jī)飛行控制。

吳亮生，男，1988年生，本科，助理研究員，主要研究方向：圖像處理、數(shù)據(jù)通訊。

黃煒聰，男，1988年生，碩士，工程師，主要研究方向：管理信息系統(tǒng)開(kāi)發(fā)。

陳惠綱，男，1984年生，本科，工程師，主要研究方向：儀器、儀表開(kāi)發(fā)。

2018年佛山市軍民融合及可持續(xù)發(fā)展科技項(xiàng)目（2018AG100143）