管菲菲

摘 要：畢達(dá)哥拉斯是古希臘時(shí)期著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和音樂(lè)理論家，以他的思想為中心形成了“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”。在音樂(lè)方面，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“音樂(lè)是數(shù)字，而宇宙是音樂(lè)”，這種關(guān)于“音樂(lè)與數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)一直影響著西方音樂(lè)的發(fā)展。本文將對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重要人物的“數(shù)”理音樂(lè)思想進(jìn)行介紹，再結(jié)合現(xiàn)代音樂(lè)作品簡(jiǎn)析“數(shù)”理音樂(lè)思想對(duì)音樂(lè)發(fā)展的影響。

關(guān)鍵詞：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 數(shù)學(xué)與音樂(lè) 數(shù)學(xué)比率

早在古希臘時(shí)期就有人提出了“數(shù)學(xué)”音樂(lè)思想，這個(gè)思想一直影響著西方音樂(lè)的發(fā)展。無(wú)論是在音樂(lè)理論方面還是在音樂(lè)創(chuàng)作方面，數(shù)學(xué)與音樂(lè)都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。

一、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重要代表人物的音樂(lè)思想

畢達(dá)哥拉斯、菲洛勞斯、阿契塔和柏拉圖都是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的重要代表人物，他們提出“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”的觀點(diǎn)為西方音樂(lè)的發(fā)展做出巨大貢獻(xiàn)。筆者認(rèn)為，要想了解畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的音樂(lè)思想，應(yīng)首先了解以下幾位代表人物的音樂(lè)觀點(diǎn)。

1.畢達(dá)哥拉斯

畢達(dá)哥拉斯不僅是古希臘時(shí)期著名的哲學(xué)家，他還是西方音樂(lè)史上第一位音樂(lè)理論家。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為萬(wàn)物的本源是“數(shù)”，用數(shù)學(xué)的原則可以推演一切事物。在音樂(lè)方面，他把“數(shù)”與音樂(lè)聯(lián)系在一起，提出“數(shù)”是音樂(lè)的根源，即“音樂(lè)是數(shù)字”。這種觀點(diǎn)是從“數(shù)學(xué)”的角度對(duì)音樂(lè)進(jìn)行思考和研究，使音樂(lè)具有了理性的意識(shí)，從而開(kāi)闊音樂(lè)領(lǐng)域的視野。畢達(dá)哥拉斯在音樂(lè)中滲透了“數(shù)學(xué)”邏輯的精準(zhǔn)理念，把音樂(lè)和科學(xué)聯(lián)系在一起，超出了音樂(lè)感性的審美體驗(yàn)。從畢達(dá)格拉斯提出“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”的觀點(diǎn)開(kāi)始，西方音樂(lè)史上就沒(méi)有停止過(guò)關(guān)于“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”的研究。

2.菲洛勞斯

菲洛勞斯是古希臘時(shí)期的哲學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家和音樂(lè)家。《自然》是菲洛勞斯最具代表性的作品，也是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派現(xiàn)存的第一本書(shū)。菲洛勞斯在《自然》中提到“世界上一切的事物都有數(shù)字，沒(méi)有數(shù)字的事物是不可以理解的?！?在音樂(lè)理論方面，他用數(shù)學(xué)的方法描述了三個(gè)協(xié)和音程的關(guān)系。如果一根長(zhǎng)度為2X的琴弦和一根長(zhǎng)度為X的琴弦同時(shí)發(fā)聲，產(chǎn)生的音響是八度，用數(shù)學(xué)比率表示為2：1；以此方法推出數(shù)學(xué)比率為3：2的音響是五度；數(shù)學(xué)比率為4：3的音響是四度。菲洛勞斯在這三個(gè)協(xié)和音程的基礎(chǔ)上計(jì)算出全音的比率是9：8，余數(shù)的比率是256：243。

菲洛勞斯認(rèn)為音階是有限性和無(wú)限性的協(xié)和體，無(wú)限的、不同音高的音和有限的方式進(jìn)行結(jié)合需要用一個(gè)適當(dāng)?shù)慕M合形式，而這個(gè)適當(dāng)?shù)慕M合形式就是“數(shù)學(xué)比率”。他提出在任何一個(gè)音上構(gòu)成的八度都是由一個(gè)四度和一個(gè)五度構(gòu)成，因此可以推算出這個(gè)音階由兩個(gè)不相同的四音列構(gòu)成，音與音之間的關(guān)系可用數(shù)學(xué)比率表述為：9：8，9：8，256：243，9：8，9：8，9：8，256：243，這就是著名的古希臘自然音階。

3.阿契塔

阿契塔是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的代表人物，他是古希臘時(shí)期著名的科學(xué)家、音樂(lè)家和政治家。阿契塔在數(shù)學(xué)和音樂(lè)理論方面都具有突出的成就，他在數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上論證了音程劃分比率（n+1）：n是不能被劃分成兩個(gè)均等的部分。如比率關(guān)系為2：1的八度可看作（1+1）：1，因此八度不能被劃分成兩個(gè)均等的部分；以此推算四度和五度也不能被分成兩個(gè)均等部分。而十五度的比率是4：1，因此十五度可以平均劃分成兩個(gè)均等的八度。

阿契塔創(chuàng)造了9：8，8：7，28：27比率關(guān)系的四音列結(jié)構(gòu)，通過(guò)實(shí)踐他還進(jìn)一步研究出等音音階和半音音階。阿契塔在前輩研究成果的基礎(chǔ)上對(duì)“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”進(jìn)行深入的探究， 更加表明了“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”具有密不可分的聯(lián)系。

4.柏拉圖

柏拉圖是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的重要人物，他有很多具有重要意義的音樂(lè)觀點(diǎn)。在尼可麥丘？譹？訛《音樂(lè)手冊(cè)》的第八章和第九章中講述了“1 2 4 8和1 3 9 27是柏拉圖提出對(duì)音樂(lè)理論研究具有重要意義的兩組數(shù)字序列。”如果把這兩組數(shù)字序列合并則變成1 2 3 4 8 9 27，它們可以有規(guī)律地表示出音程的比率，即八度（2：1）、五度（3：2）、四度（4：3）、全音（9：8）、1+2+3+4+8+9=27。雖然這兩組數(shù)字序列在現(xiàn)代音樂(lè)發(fā)展中沒(méi)有被廣泛應(yīng)用，但是在古希臘時(shí)期這已經(jīng)是超前的音樂(lè)思想。從柏拉圖提出的這兩組數(shù)學(xué)序列可以證明音樂(lè)和“數(shù)學(xué)”是有聯(lián)系的，這種有規(guī)律可循的“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”思想一直影響著西方音樂(lè)理論的發(fā)展。

雖然在古希臘時(shí)期這種關(guān)于“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”的思想還不夠成熟，但是已經(jīng)受到音樂(lè)家的關(guān)注，影響到音樂(lè)家的思維。西方音樂(lè)創(chuàng)作技術(shù)的四大件和聲、復(fù)調(diào)、曲式和配器都是通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的研究、整理和總結(jié)得出的具有理性依據(jù)的理論體系。數(shù)學(xué)使音樂(lè)創(chuàng)作成為建立在理性基礎(chǔ)上的感性產(chǎn)物，它潛移默化地影響了西方音樂(lè)創(chuàng)作的研究方向，這對(duì)西方音樂(lè)的發(fā)展的起到至關(guān)重要的作用。

二、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“數(shù)”理音樂(lè)思想在音樂(lè)中的體現(xiàn)

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出“音樂(lè)是數(shù)字，而宇宙是音樂(lè)”的觀點(diǎn)，啟發(fā)后人對(duì)“音樂(lè)與社會(huì)科學(xué)”進(jìn)行探究。20世紀(jì)著名的音樂(lè)理論家保羅.欣德米特認(rèn)為“數(shù)的和諧是音樂(lè)美的表現(xiàn)”，在音高、泛音比例、節(jié)奏等方面都體現(xiàn)了音樂(lè)需要“數(shù)”的和諧。數(shù)學(xué)與音樂(lè)的結(jié)合已經(jīng)成為當(dāng)代作曲家研究、創(chuàng)作的熱門(mén)課題。以下兩點(diǎn)是“數(shù)”理音樂(lè)思想在音樂(lè)中運(yùn)用的典型實(shí)例。

1.“黃金比例”在音樂(lè)中的運(yùn)用

“黃金比例”是一種具有美感、和諧的非對(duì)稱(chēng)平衡結(jié)構(gòu)關(guān)系，它的分割點(diǎn)被稱(chēng)為“黃金分割點(diǎn)”?！包S金分割點(diǎn)”是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，其比值是無(wú)理數(shù)，約為0.618。

音樂(lè)作品是以聲音為基本材料在時(shí)間中展開(kāi)的藝術(shù)形式，作品結(jié)構(gòu)高潮的布局要與人們最自然的情緒發(fā)展規(guī)律相吻合，它需要聲音的高低、長(zhǎng)短、強(qiáng)弱等要素在數(shù)量關(guān)系上的和諧統(tǒng)一。通過(guò)分析一些經(jīng)典音樂(lè)作品會(huì)發(fā)現(xiàn)音樂(lè)高潮部分一般出現(xiàn)在全曲的四分之三處，而這個(gè)四分之三處比較接近“黃金分割點(diǎn)”。

例1是著名的《義勇軍進(jìn)行曲》，全曲共31小節(jié)。這首作品的高潮是17—21小節(jié)那三聲振奮人心、催人向前的“起來(lái)”。19小節(jié)是17-21小節(jié)的中心點(diǎn)，而19/31約為0.613，這個(gè)恰好同“黃金分割點(diǎn)”相吻合。用“黃金比例”對(duì)音樂(lè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行布局使音樂(lè)具有理智的控制力，能更好地與人類(lèi)自然情感相融合?！包S金比例”不僅體現(xiàn)在音樂(lè)結(jié)構(gòu)上，在音樂(lè)的速度變化、強(qiáng)弱變化等方面都可以用“黃金比例”進(jìn)行劃分。

2.“數(shù)字序列”在音樂(lè)中的運(yùn)用

“數(shù)字序列”是指在滿足一定條件下，對(duì)字母、數(shù)字、圖片進(jìn)行排序的手法。

無(wú)調(diào)性音樂(lè)是20世紀(jì)音樂(lè)創(chuàng)作的典型手法，可分為無(wú)序列音樂(lè)和序列音樂(lè)。無(wú)調(diào)性音樂(lè)不是毫無(wú)規(guī)律、隨意創(chuàng)作的，它是具有組織性、邏輯性的創(chuàng)作手法。20世紀(jì)的無(wú)調(diào)性音樂(lè)是西方音樂(lè)發(fā)展的成果，它的產(chǎn)生離不開(kāi)古希臘羅馬時(shí)期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“數(shù)”理音樂(lè)思想的影響。無(wú)調(diào)性音樂(lè)充分利用數(shù)學(xué)邏輯思維，使音樂(lè)在脫離了調(diào)性的同時(shí)，仍具有獨(dú)特的整體性。無(wú)調(diào)性音樂(lè)一般是通過(guò)某種新動(dòng)機(jī)循環(huán)使用行成一種確定的整體，而這個(gè)動(dòng)機(jī)在無(wú)調(diào)性音樂(lè)中有個(gè)新詞匯-音級(jí)集合。音級(jí)集合是用數(shù)字序列表達(dá)音與音之間關(guān)系的音樂(lè)創(chuàng)作技術(shù)，在脫離調(diào)性的基礎(chǔ)上把音樂(lè)高度統(tǒng)一起來(lái)。本文主要是通過(guò)對(duì)音級(jí)集合的分析證明“數(shù)學(xué)和音樂(lè)”之間具有一定的聯(lián)系，例2是一組典型的音級(jí)集合。

音級(jí)集合是以半音為一個(gè)單位，例2最佳常態(tài)次序的第一個(gè)音C看做0，第二個(gè)音#C與第一個(gè)音相差一個(gè)半音所以記作1，第三個(gè)音D與第一個(gè)音C相差兩個(gè)半音記作2，第四個(gè)音G與第一個(gè)音C相差7個(gè)半音記作7。例2中P是指音級(jí)集合的原型，而將音級(jí)集合原型的音按照數(shù)學(xué)排列法可排列出24種。P加數(shù)字是指與音級(jí)集合原型相差幾個(gè)半音的摸進(jìn)，一個(gè)音級(jí)集合原型可以摸進(jìn)11次。例如P8就是音級(jí)集合原型上方8個(gè)半音的摸進(jìn)，即：C-降A(chǔ)，#C-A，D-降B，G-降E。音級(jí)集合原型還可以通過(guò)倒影、逆行等手法進(jìn)行發(fā)展變化。以此排序法可以排列出很多不同的音級(jí)集合，本文只取典型的音級(jí)集合進(jìn)行講述。

所有經(jīng)典的音樂(lè)都不是憑借一時(shí)的感性隨意創(chuàng)作，而是經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯思考才能創(chuàng)作。如巴伯的《夜曲》和朱踐耳的《第一交響曲》都是通過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)序列得出音級(jí)集合，把音級(jí)集合做為音樂(lè)細(xì)胞進(jìn)行發(fā)展創(chuàng)作，這樣就可以把音樂(lè)統(tǒng)一在一個(gè)整體。音級(jí)集合是比較典型的音樂(lè)與數(shù)學(xué)的結(jié)合，它運(yùn)用數(shù)學(xué)序列排列出音列，使音樂(lè)的創(chuàng)作在表達(dá)情感的同時(shí)也不失理性。數(shù)學(xué)作為音樂(lè)創(chuàng)作的根源離不開(kāi)時(shí)代的發(fā)展，更離不開(kāi)歷史沉淀的文化基礎(chǔ)。古希臘時(shí)期的音樂(lè)理論發(fā)展還很抽象、不夠具體，考證資料收集難，但是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的數(shù)學(xué)音樂(lè)思想?yún)s為西方音樂(lè)發(fā)展指明了方向，對(duì)現(xiàn)代音樂(lè)創(chuàng)作具有啟蒙的作用。數(shù)學(xué)與音樂(lè)世界的奇奧與美妙一直是作曲家探究的動(dòng)力，他們關(guān)于“數(shù)學(xué)與音樂(lè)”研究的成果有很多，音級(jí)集合只是其中的一點(diǎn)。

三、“數(shù)”理音樂(lè)思想對(duì)音樂(lè)發(fā)展的重要性

大多數(shù)人認(rèn)為數(shù)學(xué)與音樂(lè)是兩門(mén)毫不相關(guān)的學(xué)科，然而進(jìn)一步探究就會(huì)發(fā)現(xiàn)二者的關(guān)系非常密切。普通的數(shù)學(xué)原理直接影響音樂(lè)的創(chuàng)作和表演，而深?yuàn)W抽象的數(shù)學(xué)原理能探究到音樂(lè)的本質(zhì)規(guī)律。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“數(shù)學(xué)”音樂(lè)思想一直影響著西方音樂(lè)的發(fā)展，他們把音樂(lè)與哲學(xué)思想有機(jī)結(jié)合，把音樂(lè)與數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合。并賦予音樂(lè)與數(shù)學(xué)鮮活的生命，使音樂(lè)成為一門(mén)學(xué)術(shù)性學(xué)科。21世紀(jì)是創(chuàng)新與發(fā)展的時(shí)代，音樂(lè)作為一門(mén)學(xué)術(shù)性的學(xué)科把它與社會(huì)科學(xué)相結(jié)合有利于音樂(lè)的創(chuàng)新和發(fā)展。和聲、曲式、復(fù)調(diào)、配器、樂(lè)理、視唱練耳等都存在數(shù)學(xué)的邏輯，只有認(rèn)識(shí)到音樂(lè)存在的科學(xué)規(guī)律才能推動(dòng)時(shí)代音樂(lè)的發(fā)展。

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是音樂(lè)的理性基礎(chǔ)，音樂(lè)是“數(shù)字化”的音樂(lè)符號(hào)。無(wú)論是在古希臘時(shí)期還是在21世紀(jì)，音樂(lè)的發(fā)展都離不開(kāi)“數(shù)學(xué)”。對(duì)“數(shù)學(xué)”與音樂(lè)的研究一直都是熱門(mén)的課題，所以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“數(shù)”理音樂(lè)思想對(duì)音樂(lè)發(fā)展的啟蒙作用是不可忽視的。我們應(yīng)該重視音樂(lè)發(fā)展的精髓，從中取長(zhǎng)補(bǔ)短、擴(kuò)展思路，并創(chuàng)作出具有研究性和可聽(tīng)性的音樂(lè)。

注釋?zhuān)?/p>

①尼可麥丘是希臘人，他的生活、寫(xiě)作年代在公元2世紀(jì)初，是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重要的代表人。在音樂(lè)理論方面，他的重要著作《音樂(lè)手冊(cè)》共包括了十二章，從歐幾里德到托勒密的幾百年中唯一幸存下來(lái)的關(guān)于音樂(lè)理論的著作。

②巴伯是美國(guó)作曲家，畢業(yè)于柯蒂斯音樂(lè)學(xué)院。

③朱踐耳生于1922年，中國(guó)作曲家。1985年被選為中國(guó)音樂(lè)家協(xié)會(huì)第四屆常務(wù)理事。

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