張小強，張 琪，羅 濤，張蓉蓉*

(1.西南交通大學交通運輸與物流學院，成都610031；2.廣州鐵路集團公司貨運處，廣州510088)

0 引言

集裝箱運輸在經(jīng)濟性和方便性方面的優(yōu)勢突出，是鐵路降低運輸成本、提高運作效率的有效方法之一.然而，相比于其他發(fā)達國家，我國鐵路集裝箱運輸目前仍然處于落后階段，僅占鐵路總貨運量的2%～3%.現(xiàn)行的鐵路集裝箱定價方法仍存在一定的不足，例如沒有根據(jù)市場需求進行及時反應，而損失了部分貨源，尤其是在鐵路運價逐步放開的大環(huán)境下，原有的定價方法更加缺乏競爭力.為了提高鐵路集裝箱貨運的競爭力，增大鐵路的收益，尋求更為科學合理的定價方案是必要的.

動態(tài)定價作為企業(yè)提高收益能力的一種重要管理工具，在國內(nèi)外航空運輸、鐵路客運領域的研究和應用已較為成熟.Levin[1]采用期權理論，假設售票公司向客戶銷售有期權的產(chǎn)品，并建立了離散時間的動態(tài)定價模型.李豪等[2]首先研究了兩種相同易逝品在兩個零售商競爭的環(huán)境下考慮客戶策略行為的動態(tài)定價模型，并將模型拓展到考慮顧客分類和庫存控制的情況.關于集裝箱貨運定價的研究，目前多數(shù)應用在海洋運輸和多式聯(lián)運當中，Rajkovic[3]建立了使海運集裝箱運輸成本和運輸時間最小的多目標數(shù)學模型，并提供最佳的運輸路線.劉迪等[4]從單起訖點著手，研究了隨機需求下海鐵聯(lián)運的集裝箱動態(tài)定價，建立對協(xié)議銷售進行艙位控制的同時對自由銷售進行動態(tài)定價的兩階段模型.

關于批量訂購的研究，李根道等[5]分別提出了完全信息下，考慮需求學習的動態(tài)定價模型，并將模型拓展到考慮批量購買的情況.Zhang Xiaoqiang等[6]為了降低團體旅客的流失率從而提高列車的期望收益，建立了考慮團體旅客的高速鐵路客運動態(tài)定價模型，并計算出使鐵路收益最大的團體旅客最優(yōu)折扣.這兩篇文獻是從易逝品銷售及高鐵客運角度研究的，目前研究集裝箱批量訂購的定價問題者較少.

綜合當前研究的不足，本文針對鐵路集裝箱批量訂購問題，建立了考慮批量訂購的鐵路集裝箱動態(tài)定價模型.該模型能夠優(yōu)化客戶訂購不同數(shù)量艙位時的最優(yōu)價格，使得鐵路運營企業(yè)收益最大化.

1 構(gòu)建模型

1.1 問題描述

(1)提前T時刻開始出售某趟貨運列車的集裝箱艙位，預售艙位數(shù)量為C，出售的艙位按標準TEU(Twenty-foot Equivalent Unit)集裝箱.

(2)根據(jù)客戶一次訂購的集裝箱艙位數(shù)將對應的訂購價格劃分成不同等級.

(3)客戶需求到達，并以一定的概率訂購j個艙位.

(4)客戶在不同時間到達鐵路系統(tǒng)并訂購j個艙位的概率服從獨立同分布.

(5)不考慮超訂、退訂的情況.

1.2 符號說明

j——客戶訂購的集裝箱艙位數(shù)；

i——運價的等級，運價共分為I={1 ,2,…,n}等級；

Ji——i等級運價下的客戶訂艙數(shù)；

p——每個TEU艙位出售的基準價；

W——折扣集合其中每一個ωl代表一個折扣；

ωi——第i等級運價可以接受的折扣，且ωi∈W；

Pj——客戶訂購j個集裝箱艙位的概率，服從泊松分布；

V(t,k)——t時刻，剩余艙位為k時鐵路的期望收益.

1.3 建立模型

根據(jù)方程max[V(t-1,k-j)+pi'j,V(t-1,k)]確定鐵路是否接受折扣集合中的各個折扣.當t=T時刻，表示鐵路開始銷售集裝箱艙位，當t=0時刻，表示列車開行.該方程第1項表示在t-1時刻，鐵路以價格pi'售出j個艙位的期望總收益，此時剩余艙位為k-j；第2項表示在t-1時刻，鐵路未出售任何艙位的期望總收益，此時剩余艙位仍為k；只有當售出時的期望總收益大于未售出時的期望總收益時，決策者才愿意出售集裝箱艙位.進而，客戶愿意以價格pi'訂購艙位的概率為F(pi')，則對應的期望收益為F(pi')max[V(t-1,k-j)+pi'j,V(t-1,k)]；而 不 愿意以價格pi'訂購艙位的概率為1-F(pi')，則對應的期望收益為[1 -F(pi')]V(t-1,k).進而，客戶訂購j個艙位的期望收益為而客戶未訂購艙位的期望收益為P0V(t-1,k).為了實現(xiàn)鐵路收益最大化，從所有滿足以上條件的折扣中選擇使得期望收益最大的折扣作為最優(yōu)折扣進行銷售.因此，鐵路在t時刻，剩余艙位為k時的期望總收益可以表示為

其中，式(3)表示所有價格等級下客戶訂購集裝箱艙位數(shù)集合構(gòu)成了允許客戶訂購集裝箱艙位數(shù)全集；式(4)表示任意兩個等級的允許訂購艙位數(shù)不重復.

參考Logit模型，給出了旅客的購買概率模型為

式中：參數(shù)b為正數(shù)，表示客戶對于價格的敏感程度，當b越大時表示客戶對價格越敏感；參數(shù)a=-p*b，其中p*可近似認為市場價格.

1.4 求解過程

Step 1設置，給一次性最多訂購艙位數(shù)Z賦值.

證明

Step 2將艙位預售期分為T個時刻，在每一個時刻t下進行如下計算.

Step 3給k賦初始值，k=1.

Step 4t時刻客戶可能訂購的集裝箱艙位數(shù)m=min(k,Z)，并根據(jù)該訂購數(shù)量m確定運價等級i.

Step 5從l=1開始循環(huán)，

將折扣集合W中的第l個值ωl賦給ωi，即ωi←ωl，計算pi'=pωi.

根據(jù)價格pi'，按照式(1)計算期望收益V(t,k)，每次循環(huán)完執(zhí)行l(wèi)←l+1，直到l=L結(jié)束循環(huán).

Step 6選擇以上期望收益中最大的V(t,k)，并取對應的ωl作為本次優(yōu)化的最優(yōu)折扣.

Step 7執(zhí)行k←k+1，并重復Step4～Step7，計算每個k情況下的最大的期望收益V(t,k)及最優(yōu)折扣，直到k=K結(jié)束循環(huán).

通過以上步驟，可求解動態(tài)定價下的最優(yōu)折扣價格，使得鐵路收益最大.

2 性能分析

2.1 最優(yōu)解性質(zhì)

當p滿足關系式時，取得的p為最優(yōu)價格.

可將該方程簡化為

因此可將該問題轉(zhuǎn)化為求方程的最大值問題.

對V(t,k)求二階導數(shù)得

所以，當p滿足關系式時，取得的p為最優(yōu)價格，根據(jù)公式即可求出對應的最優(yōu)折扣.

2.2 性能分析

性質(zhì)1期望收益是a的減函數(shù).

證明

對G(a)求一階導數(shù)，得

∴G'(a)＜0恒成立

∴期望收益是a的減函數(shù)

因為a=-p*b，所以該性質(zhì)也可以等價為期望收益是市場價格的增函數(shù).

性質(zhì)2當a+bp＞0時，期望收益V隨著b的增大而減?。划攁+bp=0時，期望收益V不變；當a+bp＜0時，期望收益V隨著b的增大而增大.

證明

(1)當a+bp＞0時，e-(a+bp)為減函數(shù).

即期望收益V隨著b的增大而減小.

(2)當a+bp=0時

即期望收益V不變.

(3)當a+bp＜0時，e-(a+bp)為增函數(shù).

即期望收益V隨著b的增大而增大.

通過最優(yōu)解條件可以在已知市場價格和客戶敏感性系數(shù)的情況下，對最優(yōu)價格和期望收益進行估計，而根據(jù)性能分析的性質(zhì)，可以在市場價格和客戶敏感性變化時，對鐵路可獲得的期望收益進行估計，從而優(yōu)化出最優(yōu)價格.

3 算例分析

大朗到大紅門的集裝箱直達班列，滿軸40輛車，每車可裝2個TEU，即列車預售艙位數(shù)C為80TEU.以整車出售，每個集裝箱艙位售價3萬元.允許客戶對集裝箱艙位進行批量訂購.為了對運價進行細分，鐵路按照客戶訂購的集裝箱艙位數(shù)，將運價分為不同的等級：將一次性訂購1～10個集裝箱艙位數(shù)對應的運價，分為10個價格等級，即一次性訂購1個集裝箱艙位對應的價格設為第1級價格，以此類推.由于客戶一次性訂購超過10個集裝箱艙位的情況為小概率事件，因此本文未將其作為主要研究對象，并將一次性訂購10個以上集裝箱艙位情況下的價格按照一次性訂購10個的價格進行優(yōu)化.客戶到達鐵路并訂購j個集裝箱艙位的概率服從λ=1.5的泊松分布.客戶訂購集裝箱艙位的購買概率分布函數(shù)的參數(shù)a、b的取值如表1所示.

表1 購買概率的參數(shù)取值Table 1 The parameter of purchase probability

3.1 結(jié)果分析

通過動態(tài)定價模型，優(yōu)化得出的在不同時刻訂購不同數(shù)量的集裝箱艙位時，使收益最大的最優(yōu)折扣如圖1所示.

圖1 訂購集裝箱艙位的最優(yōu)折扣圖Fig.1 Optimal discount of ordering containers

圖1為等高線圖，取圖中的點及其灰度，并對比右側(cè)色條，即可知該處對應的最優(yōu)折扣.圖中下部黑色區(qū)域表示未滿足該等級價格下客戶的訂購需求時，未對其進行優(yōu)化，即第10等級運價要求客戶預定10個艙位，當艙位數(shù)k小于10時，不滿足客戶享受第10等級運價的訂購要求，因此不對此種情況進行優(yōu)化.從圖中可知，當剩余時間相同時，剩余艙位越多，最優(yōu)折扣越低；當剩余艙位數(shù)相同時，剩余時間越少，最優(yōu)折扣越低.同時，對比10張圖可以看出，單次訂購的艙位數(shù)越多，能夠享受的折扣越大.通過以上結(jié)果可知，在不同時刻訂購不同數(shù)量的集裝箱艙位時，能夠計算出滿足鐵路收益最大的最優(yōu)折扣價格，解決了鐵路貨運定價無法根據(jù)市場變化做出反應的問題.

客戶需求到達鐵路系統(tǒng)時，訂購數(shù)量已確定.根據(jù)廣鐵集團實際的訂購數(shù)據(jù)信息分析，需求到達服從λ=1.5的泊松分布.因此在這種情況下，鐵路系統(tǒng)接收的是確定性需求，可將模型簡化為

式中：V(i)表示第i個集裝箱艙位訂購需求到達時鐵路的期望收益.

在該種情況下，假設所有訂購數(shù)量的情況都存在，根據(jù)模型優(yōu)化出的最優(yōu)折扣如圖2所示.

圖2 模擬實際訂購需求的最優(yōu)折扣Fig.2 Optimal discount simulating the real order

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果可知，一次性訂購的集裝箱艙位數(shù)越多，能夠享受的折扣越大.

根據(jù)訂購需求到達服從的泊松分布，通過MATLAB模擬的客戶需求為].由于本問題研究的是客戶需求到達鐵路系統(tǒng)并訂購艙位的問題，而隨機數(shù)中產(chǎn)生的0表示客戶需求未到達鐵路系統(tǒng)，因此將該種情況舍去.

按照購買概率進行求算，當按照全價向客戶出售時，購買概率如表2所示.

表2 按照全價出售時的購買概率Table 2 Purchase probability according the whole price

按照表2的購買概率及隨機模擬的訂單需求，可獲得的期望收益為1 109 600元.

根據(jù)模型可以求算出各個訂單對應的最優(yōu)折扣，如圖3所示.

圖3 模擬實際訂購需求的最優(yōu)折扣Fig.3 Optimal discount simulating the real order

通過模型求算可知，客戶訂購1、2個集裝箱艙位時均不享受折扣優(yōu)惠，客戶訂購3個集裝箱艙位時享受8.8折優(yōu)惠，客戶訂購4個集裝箱艙位時享受7.9折優(yōu)惠，客戶訂購5個集裝箱艙位時享受6.4折優(yōu)惠，在隨機生成訂單需求模擬實際訂購情況下可獲得的最大期望收益為1 158 700元.由此可知，采用該模型優(yōu)化使得鐵路的收益提高了4.24%.

3.2 性能分析

以第4等級運價為例，分別對該等級運價情況下，購買概率的參數(shù)a、b進行性能分析.

(1)確定參數(shù)a不變.

確定參數(shù)a=-27 000×b不變，通過變化參數(shù)b得到不同的期望收益和最優(yōu)折扣，如圖4所示.

圖4 參數(shù)b變化時期望收益及最優(yōu)折扣變化圖Fig.4 Expected revenue and optimal discount when parameterbchanging

根據(jù)圖4可知，當確定參數(shù)a不變時，隨著參數(shù)b的增加，反映出客戶的敏感性不斷提高，結(jié)果使最優(yōu)折扣從1.00逐漸降低到0.72，并且其下降速度逐漸減慢.對期望收益而言，當滿足a+bp=0時，p=270 000，介于價格27 900和26 100之間，對應b的取值在[0.000 07,0.000 08]之間，因此在此區(qū)域期望收益達到最低點，而在該區(qū)域左側(cè)，滿足a+bp＞0，期望收益不斷減小，在該區(qū)域右側(cè)，滿足a+bp＜0，期望收益不斷增加，均符合性質(zhì)2.

在實際情況中，當客戶對于價格的敏感性提高時，鐵路可以通過適當降價來提高收益，客戶的敏感性提高的越快，價格降低得應該越慢.

(2)確定參數(shù)b不變.

確定參數(shù)b=0.000 15不變，通過變化參數(shù)a得到不同的期望收益和最優(yōu)折扣，如圖5所示.

圖5 參數(shù)a變化時期望收益及最優(yōu)折扣變化圖Fig.5 Expected revenue and optimal discount when parameterachanging

從圖5可以看出，隨著a的不斷增大，期望收益和最優(yōu)折扣都呈現(xiàn)比較均勻的減小，符合性質(zhì)1.

由于a=-p*b，且b確定不變，因此該性質(zhì)可以等效為，當市場價格不斷減小時，期望收益不斷減少.

在實際情況中，當市場價格減小的情況下，鐵路應該適當降低價格，以達到該市場價格下的最大收益，同理，當市場價格提高的情況下，鐵路應當適當提高價格，以達到該市場價格下的最大收益，并且價格的變化應該參考市場價格的變化而均勻浮動.

4 結(jié)論

本文針對批量訂購集裝箱艙位進行研究，按照客戶一次性訂購集裝箱艙位的數(shù)量，將對應的運價進行等級細分.以大朗到大紅門的集裝箱班列為例，建立使得鐵路集裝箱貨運期望收益最大的動態(tài)定價模型，能夠求算出在不同時刻客戶需求到達鐵路并訂購不同數(shù)量的集裝箱艙位時，能夠滿足鐵路期望收益最大的最優(yōu)折扣，并按照客戶訂購j個艙位服從的概率分布隨機生成一組確定性需求，當需求確定的情況下，為使鐵路收益最大，對客戶訂購不同數(shù)量的集裝箱艙位應采取的最優(yōu)折扣價格.最后，通過性能分析得出市場變化情況下，鐵路應采取的策略：一方面，當客戶對于價格的敏感性提高時，鐵路可以通過適當降價來提高收益，客戶的敏感性提高的越快，價格降低得應該越慢；另一方面，當市場價格提高的情況下，鐵路應當適當提高價格，反之亦然，并且價格的變化應該參考市場價格的變化而均勻浮動.

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