張體廣， 張發(fā)平， 閻艷， 吳迪， 王戈， 郭少偉

(北京理工大學 機械與車輛學院, 北京 100081)

0 引言

形狀誤差是表面形貌誤差的重要組成部分，是影響機械產品裝配精度的關鍵因素之一。精密和超精密機械產品結構復雜，零部件的加工精度要求極高，其表面形狀誤差的幾何分布通常是非均勻非對稱的。如果以這類表面作為裝配基準，即使不考慮裝配力等引起的變形，不同的配合方式也將會使裝配后的零部件形成不同的接觸狀態(tài)，產生不同的配合誤差。而微小的誤差將導致產品的性能急劇下降，從而影響整個系統(tǒng)的精度和性能。因此，在考慮形狀誤差的情況下，研究精密裝配最佳接觸狀態(tài)對于實現裝配精度預測、優(yōu)化裝配工藝、提高裝配精度及穩(wěn)定性具有重要意義。

形狀誤差可以用于判斷加工后的零件是否合格，也是目前研究形狀誤差的主要方向，如文獻[1-4]，而且還可以用于分析誤差產生的原因。Grandjean等[5]在考慮與不考慮幾何形狀誤差的情況下進行裝配分析，研究表明零件配合表面的形狀誤差分布不同對裝配精度的計算會出現偏差；張之敬等[6]提出一種面向裝配的用熵函數來表征和評價零件的平面形狀誤差的方法；呂程等[7]采用小位移旋量理論進行公差的數學描述，建立了多公差耦合情況下零件平面誤差變動的數學模型；唐水龍等[8]通過建立虛擬配合表面方法，將平面度容差分解成待裝配零件沿裝配方向的平動及其在參考坐標系中的轉動進行了裝配容差分析；左富昌等[9]采用差表面的方法提出一種形狀誤差與裝配力共同作用下的配合表面接觸狀態(tài)分析方法，但此種方法只適用于平面。

目前研究幾何形狀誤差對裝配精度的影響中還存在以下問題：1)研究誤差對裝配精度影響主要集中在分析尺寸誤差和位置誤差對裝配精度的影響，而忽略了形狀誤差對裝配的影響；2)對于形狀誤差的研究主要集中在形狀誤差的評定方面，即把形狀誤差表達為一個公差標量值，當研究裝配問題時都是將此標量數值作為尺寸誤差的附加誤差疊加到尺寸鏈中，這樣將無法解決零件之間因裝配表面的形狀誤差分布所形成的幾何誤差對裝配精度影響的問題。為此，本文在考慮形狀誤差及其幾何分布的情況下提出一種基于數據配準的實際配合表面接觸分析與計算方法。首先分析形狀誤差的幾何分布特性，定性揭示形狀誤差分布對裝配精度具有不可忽略的影響；在此基礎上基于數據配準方法提出配合表面接觸點獲取方法，并采用粒子群優(yōu)化算法進行求解；基于接觸點提出配合誤差的計算方法；采用仿真實驗通過對比考慮和不考慮形狀誤差分布對裝配精度影響兩種情況下的裝配成功率，從統(tǒng)計意義上說明形狀誤差對精密剛度零件裝配精度的影響不可忽視。

1 零件表面幾何形狀誤差分布特性

現有的國際標準或國家標準中規(guī)定，形狀誤差是指被測提取要素對其擬合要素的變動量，其中，擬合要素的位置應符合國家標準GB/T1182—2008產品幾何技術規(guī)范(GPS) 幾何公差 形狀、方向、位置和跳動公差標注規(guī)定的最小條件，即被測提取要素對其擬合要素的最大變動量為最小。形狀誤差值采用最小包容區(qū)域的寬度或直徑來表征，最小包容區(qū)域是與形位公差帶的形狀、方向和位置相同、包容實際被測要素且具有最小寬度或直徑的區(qū)域。如圖1為平面度誤差，即用兩個平行的理想平面包容實際平面，兩個理想平面之間的最小距離即為平面度誤差。同樣如圓柱面特征的幾何形狀誤差包括：圓錐形、鐘形口、沙漏形、桶形、香蕉形、凸角形和隨機形狀，如圖2所示。

圖1 平面度誤差Fig.1 Flatness error

圖2 圓柱面典型形狀誤差[10]Fig.2 Typical form errors of cylindrical shapes[10]

對于零件平面特征，采用平面度來表示形狀誤差的大小，而平面度Δ是一個標量值，無法表征實際加工平面高低起伏的變化，即表面形狀誤差幾何分布特性。如圖3所示，兩個零件表面的平面度相同，但是形狀誤差幾何分布情況卻不同，如果以這兩個零件為裝配基準，則會導致兩被裝配零件實際接觸面的空間幾何位置發(fā)生不同變化，從而影響產品的裝配精度[11]。因此，形狀誤差對精密零件的裝配精度產生顯著影響。

圖3 幾何形狀誤差分布特性Fig.3 Distribution characters of geometric form errors

對于精密剛度零件，由于形狀誤差的存在，兩個零件裝配時配合面之間是通過有限個點接觸的，而非整個配合面完全接觸。因此，當裝配基準零件固定時，被裝配零件的空間位姿取決于接觸點的位置，而被裝配零件的空間位姿決定了裝配體的裝配精度。進而，由于形狀誤差的傳遞與累積，導致形成系統(tǒng)的裝配誤差，最終體現在裝配后整體系統(tǒng)的性能上。如圖4所示，當零件配合表面存在形狀誤差時，圖4(a)圖表明平面度誤差引起圓柱圓心的位置誤差Δα，而圖4(b)圖說明平面度誤差引起被裝配體的方向誤差Δβ[12].

圖4 形狀誤差導致的被裝配零件位置與方向誤差Fig.4 Position and direction errors caused by form errors

2 考慮幾何形狀誤差的配合表面接觸狀態(tài)分析與建模

2.1 配合表面及其常見的配合表面形式

裝配體的拓撲結構決定了各零件間的裝配關系，零件依據裝配關系通過幾何表面的相互貼合完成裝配，實現產品功能。配合表面或接觸面是指由不同零件上的兩個或兩個以上的幾何表面通過裝配關系相互貼合形成的表面，根據組成配合面的常見幾何元素類型可分為平面配合面、圓柱面配合面(孔、軸)、錐面配合面、球面配合面等，其中圓柱面配合有間隙配合、過盈配合、過渡配合，本文主要研究間隙配合的形式。根據配合面的接觸形式又可以分為串聯配合、同體并聯配合、異體并聯配合，如圖5所示。圖5中P1～P4表示零件，F1～F4表示配合表面。設計中常需要用裝配關系來滿足某些功能，本文以最常見的兩配合面配合為對象，將常見的配合簡化表達為如圖6所示的幾種形式。

圖5 串聯、并聯配合示意圖Fig.5 Schematic diagram of series and parallel contact

圖6 常見配合表面形式Fig.6 Common forms of contact surface

2.2 基于數據配準的配合表面接觸點獲取方法

本文只針對高剛度精密零件，因此可以假設零件在裝配過程中不發(fā)生變形，兩個零件裝配時配合面之間是通過有限個點接觸的，如根據3點確定一個平面的基本理論，平面配合時視為3個接觸點；圓柱面間隙配合時視為3點或者4點接觸(視約束而定)。當確定了接觸的位置后，就可以確定被裝配零件的空間位姿，從而確定裝配體的裝配精度。

點云數據的配準是指通過坐標變換將不同角度獲得的數據統(tǒng)一到同一個坐標系下，從而獲得完整的三維模型點云數據。由于加工工藝(包括其他因素的影響)的不同造成兩配合表面一定具有不同的幾何特征，這與目前研究配準存在根本的不同(現有研究中要求匹配的曲面有相同曲面幾何特征或曲面有相似的曲率)，最近點迭代(ICP)法，重復進行“確定對應關系點集——計算最優(yōu)剛體變換”的過程，直到某個表示正確匹配的收斂準則得到了滿足[13]，因此本文基于ICP法匹配進行改進，提出了基于改進ICP(IICP)法的接觸點獲取方法。

2.2.1 點云數據預處理

采用三坐標測量機測量兩個裝配零件的接觸面，基于各自測量坐標系，在對數據進行過濾后，基準零件和被裝配零件配合表面的測量數據表示如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

圖7 公共坐標系下的兩配合表面Fig.7 Contact surface under the same coordinate system

2.2.2 基于IICP的配合表面接觸狀態(tài)分析方法

零件的裝配過程實質為把待裝配零件從初始位置經過平移、旋轉移動到基準零件上，并使兩配合表面能夠貼合，從而能夠實現相應的功能?？紤]形狀誤差的配合表面接觸狀態(tài)分析，通過采用數據配準的方法獲取剛體坐標變換矩陣，計算待裝配零件的最佳狀態(tài)如圖8所示。

圖8 基于數據配準的零件裝配過程Fig.8 Part assembly process based on data registration

假設在基準零件配合表面測量獲得的點云數據集合為源點集P={p1,p2,…,pi,…,pn}，pi為源點集中的測量點，在基準零件配合表面測量獲得的點云數據集合為目標點集Q={q1,q2,…,qi,…,qn}，對源點云中每個點在目標點云中查找歐式距離最近點來確定兩個點云的對應關系，然后依據對應關系求解(5)式中的目標函數值最小的剛體變換，并將該變換作用于源點云，迭代地執(zhí)行這一過程，直至滿足設定收斂準則的要求。

(5)

T3×1=[tx,ty,tz] ,

(6)

(7)

式中：tx、ty、tz分別表示沿3個坐標軸x、y、z方向的平移量；rx、ry、rz分別為繞坐標軸x、y、z的旋轉角度。

當目標函數在條件約束下達到最小值時得到的定位變換稱為最佳匹配變換(R*,T*)。因此，基于目標函數與相關約束條件結合零件裝配過程建立基于數據配準的迭代過程，具體的算法流程如圖9所示。

圖9 基于點云數據配準的迭代算法流程Fig.9 Flow chart of iterative algorithm based on data registration

在基于點云數據配準的迭代過程中，有3點需要特別關注：

1)對應點的搜索。在整個算法計算過程中，確定兩個表面的對應關系是整個算法的關鍵，對應關系的準確與否，將直接影響算法的精度，同時，可能增加算法的迭代次數。搜索對應點即為建立最近點對應關系，對于源點集之中的每一個點pi在目標曲面上獲取源點的對應點qi，對應點即為目標曲面上距離源測量點最近的點。雙三次B樣條曲面是一種參數曲面，點到參數曲面的最近點位置即點到曲面的投影。假定點pi為源點集中的一點，點qi為曲面上對應與點pi的最近點，那么有方程(pi-qi)×Sn=0成立，其中Sn為曲面在qi處的法向量，通過求解該方程獲得最近點，如圖10所示。求解點到參數曲面的方法有很多，本文引用文獻[14]中牛頓迭代和幾何分割的方法求解。

圖10 點到參數曲面的距離Fig.10 Distance from point to parametric surface

對于每一迭代不僅獲取對應點，還要計算pi與迭代點qi之間的距離記為d(pi,qi)，如果數值為正值則表示源測量點位于目標曲面的上方，反之在下方，如果為0則表示源測量點正好在目標曲面上。

2)剛體變換矩陣的求解。剛體變換的求解是點云配準中重要的環(huán)節(jié)之一，剛體變換的穩(wěn)定性在一定程度上影響配準的質量。對于源點集P和目標點集Q，根據對應點對選取原則得到的對應點集合為P={p1,p2,…,pn}，Q={q1,q2,…,qn}，其中(pi,qi)表示一組點對，n表示點的個數，采用奇異值分解法來求解剛體變換矩陣的過程[15]為：

①計算點集P和Q的質心，分別為

(8)

②將點集P和Q中所有點都轉換到以各自質心為原點的坐標系下，得到新的點集P′和Q′，其中：

p′i=pi-μp,q′i=qi-μq.

(9)

③利用新的點集P′和Q′，構造一個的3×3矩陣作為基礎矩陣M(協(xié)方差矩陣)：

(10)

④對M進行奇異值分解，

M=UΛVT，

(11)

式中：Λ為對角陣；U為奇異值分解的酉矩陣；V為分解矩陣。

⑤令

(12)

如果rank(Z)≥2，則旋轉矩陣R表示為

R=VZUT.

(13)

⑥求解平移向量T：

T=μq-Rμp.

(14)

3)約束條件。在迭代過程中存在兩種情況：一種是在迭代過程中不管如何進行矩陣變換，匹配精度都圍繞某一數值小范圍的上下波動，此時可結束迭代；另一情況時迭代一直存在，迭代精度一直大范圍的變化，此時采用兩種方法保證，一種設定迭代終止次數，另外一種是設定兩次迭代之后的相對誤差，即以目標函數來衡量點云的配準效果，反映了經剛體變換后兩個點云之間的差異程度。迭代終止必須滿足約束條件：

①閾值的設定：利用目標函數(5)式來評價對應點集的匹配程度，當轉換后點對的ICP均方根小于設定閾值則表示達到預期效果。

②兩曲面不能重疊且邊界相容，即要求被裝配曲面與裝配曲面之間的距離大于等于0，即d(P,Q)≥0.

③根據配準方法可以獲得不止一組可能的接觸點，因此，不同類型的表面接觸需要根據實際裝配情況設定特殊的約束條件。對于平面，為了確定實際的接觸點，還需要設置：裝配零件的質心相對于零件表面的垂線必須位于3對接觸點構成的三角形區(qū)域內，如圖11所示，p1、p2、p3為接觸點，pb是被裝配零件的質心。

圖12 粒子群算法流程Fig.12 Flow chart of particle swarm algorithm

圖11 平面接觸條件Fig.11 Contact condition

本文采用粒子群算法求解基于點云數據配準的迭代過程，將待求解作為一個粒子，其參數[tx,ty,tz,rx,ry,rz]為粒子的維度[16]。粒子群算法流程如圖12所示。

3 基于接觸點的配合誤差計算

3.1 配合誤差表示

兩個零件進行裝配時，由于兩配合表面存在形狀誤差將引起被裝配零件相對于基準零件進行微小變動，從而造成被裝配零件實際裝配位置與方向相對于理想裝配位置與方向的變動量，即引起的被裝配零件的位置誤差與方向誤差，這就是配合誤差[17]。

根據兩個零件接觸點的位置，確定當基準零件位置固定后，如何調整被裝配零件的位置和角度以達到兩個零件接觸點剛好接觸的狀態(tài)，進而完成兩個零件的裝配。因此首先需要研究零件配合表面特征誤差的表示。小位移旋量(SDT)是表示帶有6個運動分量的剛體產生微小位移所構成的矢量，SDT方法采用6個變動分量構成的矢量來描述微小位移，即uF=[u,v,ω,α,β,δ]，其中α、β、δ表示繞x、y、z軸旋轉的微小變動量，u、v、ω表示繞x、y、z軸平移的微小變動量。本文采用SDT方法描述零件特征誤差變動，對于平面配合，由于只關注零件沿z軸方向的誤差，因此平面特征誤差小位移旋量表示為uF=[0,0,ω,α,β,0]。

如圖13所示，對于平面配合，圖13(a)中展示了裝配前兩個零件的位姿狀態(tài)，基準零件P1的表面特征誤差表示為接觸點構成的替代表面與理想表面之間的相對誤差，即uF1=[0,0,ω1,α1,β1,0]；被裝配零件P2的表面特征誤差表示為接觸點構成的替代表面與理想表面之間的相對誤差，即uF2=[0,0,ω2,α2,β2,0]。從而裝配體的配合誤差即為被裝配零件的實際位置相對于理想位置的誤差，即

uM=uF1-uF2.

(15)

圖13 考慮幾何形狀誤差的零件裝配Fig.13 Part assembly considering form error distribution

3.2 配合誤差計算

根據2.2節(jié)得到的兩個配合表面上的接觸點，可分別確定兩個替代要素。當確定了接觸的位置后，就可以確定被裝配零件的空間位姿，從而確定裝配體的裝配精度。

P1:z=A1x+B1y+C1,
P2:z=A2x+B2y+C2,

(16)

式中：A1、B1、C1與A2、B2、C2分別為兩平面方程的系數。則零件P1配合平面法向量與x軸和y軸的夾角分別為

cosα1=(n1ex)/(|n1||ex|),
cosβ1=(n1ey)/(|n1||ey|),

(17)

式中：n1為零件P1配合平面法向量；ex、ey分別為x軸和y軸的單位向量。

同理零件P2配合平面法向量與x軸和y軸的夾角分別為

cosα2=(n2ex)/(|n2||ex|),
cosβ2=(n2ey)/(|n2||ey|),

(18)

式中：n2為零件P2配合平面法向量。

若(xc1,yc1)為零件P1配合平面的中心點，則特征誤差的z軸方向平移為

ω1=A1xc1+B1yc1+C1.

(19)

同理若(xc2,yc2)為零件P2配合平面的中心點，則特征誤差的z軸方向平移為

ω2=A2xc2+B2yc2+C2.

(20)

從而得到零件的配合誤差為

uM=uF1-uF2=[0,0,ω1-ω2,α1-α2,β1-β2,0]T.

(21)

4 實例驗證

4.1 實驗驗證

為了驗證形狀誤差及其分布對裝配精度的影響，獲得兩個零件配合時接觸狀態(tài)下產生的配合誤差，結合某陀螺儀加工工藝特點開展了本次實驗，通過設計、加工、測量相關的零件與裝配體，將測量數據與計算結果比較，驗證了所提方法的有效性。

如圖14所示為零件的裝配實例，零件P1和零件P2均為回轉體，兩者之間為圓形平面與圓形平面接觸。零件1是一個上表面具有高精度的基板，作用是為了保證與零件1接觸時產生比較小的誤差，從而在進行接觸狀態(tài)分析時可以忽略不計，零件2是定位銷，起定位作用。在僅考慮零件P1和零件P2處2個配合表面存在的形狀誤差下，分析配合表面的接觸狀態(tài)，分別計算不考慮形狀誤差分布與考慮形狀誤差下的配合誤差，驗證形狀誤差及其分布對精密裝配的影響。

依據零件的精度要求分別加工各零件，并采用瑞典海克斯康公司產MISTRAL 07.10.07型三坐標測量機測量零件P1的上表面(見圖15)、零件P2的下表面以及裝配后零件P2的上表面。如圖16所示，在零件P1的表面等間隔測量同心圓，每個圓均勻采樣60個點，得到各點坐標值，之后同樣對零件P2的表面等間隔測量同心圓，每個圓均勻采樣60個點。在測量完各零件之后把零件P1、零件P2、零件1、零件2進行裝配，然后測量零件P2的表面得到各點坐標值。依據最小區(qū)域法評定平面度誤差，如表1所示。

采用數據配準的方法進行接觸狀態(tài)分析，獲取其最佳的接觸狀態(tài)，剛體變換矩陣如表2所示。經變換后獲得3個接觸點，如圖17和圖18所示。

1)接觸點確定方法的有效性。當固定基準零件時，調整被裝配零件的位姿(剛體變換矩陣)剛好到達接觸狀態(tài)，則即可說明基于數據配準接觸點搜索方法的準確性。

圖14 零件P1、零件P2以及其裝配體的示意圖Fig.14 Schematic diagram of Part P1, Part P2 and assembly

圖16 零件P1、零件P2測量點的分布Fig.16 Distribution of measurement points of Part P1 and P2

表2 數據配準變換矩陣

圖17 零件P1配合表面接觸點p1、p2、p3Fig.17 Contact points p1, p2 and p3 of Part P1

圖18 零件P2配合表面接觸點p4、p5、p6Fig.18 Contact points p4、p5 and p6 of Part P2

采用數據配準方法獲得了零件配合的接觸點和剛體變換矩陣。按被裝配零件的平移量和旋轉矩陣進行位姿變換后，基準零件與被裝配零件對應點的距離為1.23×10-11mm、0 mm、2.54×10-12mm，可以說明數據配準方法的有效性和準確性。

2)兩種情況下配合誤差的比較。在考慮形狀誤差分布的情況下，計算零件配合表面的配合誤差為(其替代接觸面(接觸點構成的平面)與其名義表面相對誤差)：

uM1=[0,0,0.006 8,0.028 6,-0.004 2,0]T.

(22)

同樣，在不考慮形狀誤差分布的情況下，計算零件裝配后的配合誤差(定義為其最小二乘替代平面與其名義平面的相對誤差)為

uM2=[0,0,0.007 2,-0.009 1,-0.012 9,0]T.

(23)

通過對兩種結果比較可知，考慮形狀誤差分布下計算的配合誤差明顯區(qū)別于不考慮形狀誤差分布獲得的配合誤差：

①在z方向上的平移，不考慮形狀誤差分布下零件平移量大于考慮形狀誤差分布的情況；

②在x方向上的旋轉，不考慮形狀誤差分布下零件向負方向旋轉，并且旋轉角度小于考慮形狀誤差分布情況；

③在y方向上的旋轉，兩種情況都向負方向平移，但不考慮形狀誤差分布下零件的旋轉角度大于考慮形狀誤差分布情況。

4.2 仿真驗證

為了進一步說明形狀誤差分布對裝配精度影響，在實際零件配合驗證的基礎上進行仿真，從統(tǒng)計意義上驗證形狀誤差對裝配精度影響。采用裝配成功率指標衡量產品的成品率，裝配成功率是指一批零件裝配時滿足精度要求的裝配體數量占裝配體總量的比例。

如圖14所示兩個零件的裝配，零件P1、零件P2的設計公差分別如圖14(a)和圖14(b)所示。為了滿足結構的精度要求，假設裝配體的平行度公差為0.03 mm，即以零件P1的下表面為基準，約束零件P2上表面的平行度為0.03 mm，如圖19所示。利用小位移旋量參數表示零件P2上表面的特征誤差[0,0,ω2,α2,β2,0]，并采用文獻[18]中的方式建立公差域模型，即一個封閉的圓錐體區(qū)域，以此衡量平行度公差的精度要求。圓錐體區(qū)域的中心表示誤差小，區(qū)域邊界表示誤差越大，超出區(qū)域表示不符合精度要求。當裝配體誤差的實際小位移旋量值超出公差域時，認為裝配體無法滿足精度需求，即產品不合格；否則，認為產品合格。

圖19 裝配體的精度要求Fig.19 Precision requirement of assembly

圖20 形狀誤差對裝配精度分布的影響Fig.20 Influence of form error on assembly precision

通過仿真在零件P1的上表面(5圈，每圈30個點)、零件P2的下表面(5圈，每圈30個點)上生成100組測量點云數據，零件P1上表面的點云數據服從正態(tài)分布μ=-0.002，σ2=0.002 5，零件P2下表面的點云數據服從正態(tài)分布μ=0.002，σ2=0.002 5. 圖20顯示了不考慮和考慮形狀誤差分布對裝配精度的影響：由圖20(a)可知，在不考慮形狀誤差分布的情況下，該裝配體滿足精度要求，裝配成功率100%，并且誤差的分布比較集中；由圖20(b)可知，在考慮形狀誤差分布的情況下，該裝配體有92%滿足精度要求(裝配成功率92%)，并且誤差的分布比較分散。因此，形狀誤差的分布對精密裝配的裝配精度具有重要影響，在研究裝配時不可忽視。

5 結論

本文提出了基于數據配準的配合表面最佳接觸狀態(tài)的確定方法，確定了形狀誤差的分布對裝配精度具有重要影響，實現了裝配精度的初預測，結論如下：

1) 分析了零件表面幾何形狀誤差分布特性，提出了一種考慮形狀誤差分布的基于數據配準的配合表面接觸狀態(tài)確定方法，通過確定零件裝配時的接觸點位置和零件的接觸狀態(tài)，實現精密高剛度零件裝配精度的預測。

2) 提出了基于接觸狀態(tài)的配合誤差計算方法，可用于預測精密高剛度零件裝配精度，指導裝配工藝優(yōu)化，從而提高裝配精度。

3) 采用數值仿真方法對比考慮和不考慮形狀誤差分布對裝配精度影響兩種情況下的裝配成功率，從統(tǒng)計意義上說明形狀誤差對精密剛度零件裝配精度的影響不可忽視。

采用本文所提方法需要在迭代過程中計算點到曲面的距離，這樣將降低迭代效率；本文以平面接觸作為例子進行說明，對于其他表面如圓柱面的配合的特殊性，接觸的約束條件存在不確定性，后續(xù)還需要對以上問題進一步研究。

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