馮 晨， 龔 賀， 田 新， 程如軒

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院）

我國城市路況在近十五年來進(jìn)步可觀，但是城市年均機(jī)動(dòng)車增長量也大得驚人，道路建設(shè)滯后嚴(yán)重，難以適應(yīng)交通量的增長，造成道路的平均車速慢，加劇了交通堵塞的問題.城市道路是城市的毛細(xì)血管，經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的城市往往遭受著嚴(yán)重的交通擁堵問題，居民區(qū)的開放在某些程度上具有增加城市的交通網(wǎng)密度、縮短交通延長時(shí)間、減少交通擁堵事故的發(fā)生等優(yōu)勢，但過度開放的同時(shí)，社會(huì)安全問題隨之而來.開放程度的探究有利于更好地解決城市交通問題的同時(shí)減少帶來的治安問題.

1 具體問題與模型假設(shè)

具體問題：①建立關(guān)于車輛通行的數(shù)學(xué)模型，用以研究小區(qū)開放對(duì)周邊道路通行的影響；②小區(qū)開放產(chǎn)生的效果，可能會(huì)與小區(qū)結(jié)構(gòu)及周邊道路結(jié)構(gòu)、車流量有關(guān).構(gòu)建不同類型的小區(qū)，定量比較各類型小區(qū)開放前后對(duì)道路通行的影響.

模型假設(shè)：①所有小區(qū)周圍和內(nèi)部路面狀況皆相同且良好；②不考慮交通參與者之間的差異對(duì)道路通行的影響，如性別差異、年齡差異、氣質(zhì)差異、駕齡差異；③路段上的交通參與者不存在違反交通法律法規(guī)的行為，正常行駛或出行；④假設(shè)交通參與者駕駛的機(jī)動(dòng)車為標(biāo)準(zhǔn)小汽車，不考慮非機(jī)動(dòng)車與行人對(duì)交通狀況的影響.

2 問題一模型建立

2.1 研究思路

由于車輛通行主要受到行駛速度，車流密度和道路車流量三個(gè)重要因素的影響，而主路段、支路段和交叉口是車輛通行經(jīng)過道路時(shí)的三個(gè)重要組成部分，并且車輛經(jīng)過主路段和支路段的原理大致相同，因此本問題車輛通行的數(shù)學(xué)模型簡化成路段影響以及交叉口影響，分別建立受道路車流量、密度對(duì)交叉口車輛排隊(duì)與延誤的交通流動(dòng)模型和路段行駛時(shí)間與路段交通負(fù)荷函數(shù)關(guān)系的路阻函數(shù)模型.

2.2 模型Ⅰ―信號(hào)交叉口交通流波動(dòng)模型

2.2.1 模型的準(zhǔn)備

由于發(fā)達(dá)城市具備建立開放小區(qū)的條件和機(jī)制，并且高峰期時(shí)段開放小區(qū)對(duì)周邊道路的影響較為明顯，因此本文針對(duì)發(fā)達(dá)城市的高峰期時(shí)段來建立模型.

小區(qū)開放后，小區(qū)里的路段便不存在“死胡同”，方便了市民的出行，城市的支路段也變得越來越豐富，一定程度上會(huì)使該地的路網(wǎng)密度提高，車流量的分流效率也得到進(jìn)一步提高.

當(dāng)該地的交通通行呈高峰期時(shí)，一開始，路段上的交通工具按暢行無阻時(shí)的速度vf行駛，一段時(shí)間后，交叉路口的信號(hào)燈變?yōu)榧t燈，此時(shí)通過交叉路口橫截面的車流量逐漸減小為零，車輛在交通信號(hào)燈前一段距離逐漸停滯，導(dǎo)致交通堵塞，道路密度逐漸增大為交通堵塞時(shí)的最大密度Km，當(dāng)交通信號(hào)燈變?yōu)榫G燈時(shí)，等候的車輛開始出發(fā)，道路車流量逐漸由零增加到理想中的最大車流量，道路密度也減少為對(duì)應(yīng)于最大車流量的最佳道路密度Kj.

2.2.2 模型的建立

車輛在向交通信號(hào)燈行駛的過程中，設(shè)A點(diǎn)的車流量：

當(dāng)車輛遇到紅燈時(shí)，車輛紛紛減速行駛等候綠燈，根據(jù)交通波理論，此時(shí)會(huì)產(chǎn)生一種后退波向尾部傳播阻礙后面車輛的前行，這種后退波的波速為AB的斜率：

若已知波速與紅色信號(hào)燈的時(shí)間tr便可以求出信號(hào)燈交叉路口車輛的排隊(duì)長度L：

隨著A點(diǎn)向B點(diǎn)移動(dòng)，車流量不斷增加，利用適合交通密度很大時(shí)使用的格林泊對(duì)數(shù)模型進(jìn)行分析其中vm為對(duì)應(yīng)最大道路車流量Qm時(shí)的速度.關(guān)于K求導(dǎo)并求極值得到：聯(lián)立上式得到信號(hào)燈交叉路口車輛排隊(duì)長度L的表達(dá)式：

2.3 模型Ⅱ―城市路段阻抗模型

行駛時(shí)間可以作為判斷車輛在兩地之間便捷性大小的重要標(biāo)準(zhǔn)，出行者在出發(fā)前往往會(huì)考慮行駛時(shí)間來選擇最佳的出行路徑，而路阻函數(shù)模型正是研究路段行駛時(shí)間與路段交通負(fù)荷的函數(shù)關(guān)系，適用于該問題背景.因此出行者從出發(fā)地前往目的地所需的行駛時(shí)間可以大致包括三個(gè)方面：主路段行駛時(shí)間、支路段行駛時(shí)間以及交叉口延誤時(shí)間.

在不考慮非機(jī)動(dòng)車及行人對(duì)交通通行影響的前提下，將城市道路的路阻函數(shù)簡化為：

式中：k為回歸參數(shù)，Q為機(jī)動(dòng)車道路車流量，C為機(jī)動(dòng)車道路實(shí)用通行能力，t0為道路車流量為零時(shí)車輛的行駛時(shí)間，可以用公式來確定，其中u0為道路車流量為零時(shí)車輛的行駛速度.

由于上述模型只是理論模型，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)會(huì)受到若干個(gè)連續(xù)的干擾影響，因此在不考慮非機(jī)動(dòng)車及行人對(duì)交通通行影響的前提下，對(duì)模型在如下三個(gè)方面進(jìn)行修正：①車道寬度干擾修正②車道數(shù)干擾修正③交叉口干擾修正.道路車流量為零時(shí)的行駛速度u0要排除車道寬度的干擾，修正后的u0表達(dá)式為：u0=r1·v0其中r1為車道寬度修正系數(shù)，v0為路段設(shè)計(jì)車速.可以由機(jī)動(dòng)車道路寬度W0（單位：m）來確定車道寬度修正系數(shù)：

機(jī)動(dòng)車道路實(shí)用通行能力C要排除車道寬度的干擾以及車道數(shù)的干擾，修正后 C 的表達(dá)式為：C=1500·r1·r2，其中r2為車道數(shù)修正系數(shù).參照道路交通法可以確定不同車道數(shù)對(duì)應(yīng)的車道數(shù)修正系數(shù)r2:

對(duì)于交叉口干擾修正，過程較為復(fù)雜，由于交叉口的存在會(huì)導(dǎo)致車流間斷，而車輛不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)影響車流間斷，情況太多，需要逐一分類才能進(jìn)行修正，所以本文采用一種交叉口平均延誤計(jì)算方法來簡化模型，其表達(dá)式為：

其中T為交通信號(hào)燈的信號(hào)周期長度（單位：s）；tg為有效綠燈時(shí)間(單位：s)；x為車道組V/C或飽和度，V/C指在理想條件下，最大服務(wù)交通量(即道路最大車流量)與基本通行能力之比.根據(jù)上述討論，修正后的路阻函數(shù)表達(dá)式為：

3 問題二模型建立

3.1 研究思路

運(yùn)用前文建立的模型定量比較各類型小區(qū)開放前后對(duì)道路通行的影響.由于小區(qū)開放會(huì)將小區(qū)內(nèi)部的道路資源提供給外部共享，提高了城市的路網(wǎng)密度，一方面改變了小區(qū)附近道路結(jié)構(gòu)，另一方面也增加了出行者的出行路徑，影響了出行者出行路徑的選擇.道路結(jié)構(gòu)的改變?cè)黾恿酥范蔚拿芏龋瑥亩怪范慰梢云鸬街髀范蔚姆至髯饔?，在一定程度上?huì)緩解交通擁堵產(chǎn)生的壓力，可以將支路段的分流效率、主干道交叉口排隊(duì)長度作為判斷小區(qū)支路段作用的參考因素，出行路徑的增加擴(kuò)充了交通網(wǎng)絡(luò)中道路的通行能力，可以建立某種指標(biāo)來判斷道路增加能否起到作用，即評(píng)價(jià)交通路網(wǎng)系統(tǒng)的效益.

3.2 模型Ⅲ―交通路網(wǎng)效益評(píng)價(jià)體系

一方面考慮支路段對(duì)主干道的分流作用，支路段的分流效率μ可以表示為：

其中Qm1為支路段的最大車流量，Qm2為主路段的最大車流量.

假設(shè)高峰期時(shí)的車輛是集中涌向交叉路口導(dǎo)致交通堵塞的，而不是源源不斷的車流量，并且根據(jù)我國車輛靠右行駛的交通規(guī)則，參照問題二的交通流波動(dòng)模型，開放前后主干道交叉口排隊(duì)長度L1、L2變?yōu)?/p>

另一方面考慮增加道路會(huì)如何影響交通路網(wǎng)系統(tǒng)的效益，交通系統(tǒng)中存在著一種納什均衡：交通系統(tǒng)中的每一個(gè)交通參與者都是一個(gè)博弈者，在這一均衡中，每個(gè)博弈者都確信，在給定其他參與人戰(zhàn)略決定的情況下，會(huì)選擇以最優(yōu)戰(zhàn)略來回應(yīng)對(duì)手的戰(zhàn)略.但是當(dāng)?shù)缆废到y(tǒng)的納什均衡不是最優(yōu)狀態(tài)時(shí)，就可能會(huì)產(chǎn)生Braess悖論.Braess悖論是由數(shù)學(xué)家Dietrich Braess在1968年的一篇文章中提出的，其內(nèi)容為在個(gè)人獨(dú)立選擇路徑的情況下，某一路段增加額外的通行能力（如增加路段時(shí)），卻會(huì)導(dǎo)致整個(gè)路網(wǎng)整體運(yùn)行水平降低的情況.

假如某一出行者需要從出發(fā)點(diǎn)A到達(dá)目的地B，在交通網(wǎng)絡(luò)集合G中，每一路段由(i,j)∈A來表示（i,j分別為交叉路口的序號(hào)且i≠j），對(duì)于任意一條路段(i,j)上的道路車流量為Qij，而通過這一路段的時(shí)間tij為在該路段上的正常通行時(shí)間與交叉口延誤時(shí)間的加總，可以利用問題二的路阻函數(shù)模型求解.

考慮到整個(gè)交通系統(tǒng)的效益，建立全部車流量通過路網(wǎng)所需總代價(jià)U(Q)與全部車流量通過路網(wǎng)所需總時(shí)間T(Q)這兩種指標(biāo)來衡量交通路網(wǎng)系統(tǒng)的效益，表達(dá)式為：

要使交通路網(wǎng)系統(tǒng)的效益最大，則全部車流量通過路網(wǎng)所需總代價(jià)以及總時(shí)間要求適當(dāng)?shù)男?將小區(qū)類型大致劃分為向心式和集約式布局.

首先，比較開放前后向心式小區(qū)布局對(duì)道路通行的影響.居住區(qū)圍繞著中心廣場或花園均勻分布隨著小區(qū)開放前后，交叉路口的道路結(jié)構(gòu)由原先的直行道變?yōu)槎∽纸徊媛房?，隨著環(huán)形支路段的開放，交叉口的車流量會(huì)受到支路段的分流作用以及支路段的二次分流，統(tǒng)計(jì)主干道最大車流量Qm2=2785輛/h與小區(qū)內(nèi)部最大車流量Qm1=952輛/h，計(jì)算出支路段（2,6）的分流效率μ為34.18%，再對(duì)小區(qū)開放前后主干道交叉口排隊(duì)長度進(jìn)行作商比較：

當(dāng)KA=Km2時(shí)，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Kj2=1865輛/km，Kj1=1125輛/km，Km2=542輛/km代入上式計(jì)算得到說明小區(qū)開放后附近的主干道交叉口排隊(duì)長度會(huì)明顯減少，對(duì)緩解交通擁堵的影響非常顯著，因此該類型小區(qū)開放后對(duì)道路結(jié)構(gòu)的影響起到了顯著效果.

然后，比較開放前后集約式小區(qū)布局對(duì)道路通行的影響，由于小區(qū)內(nèi)車道由雙車道變?yōu)閱诬嚨烙欣诠?jié)省小區(qū)用地，所以研究集約式小區(qū)布局就是分析小區(qū)內(nèi)車道的改變，采用與上述類似的方法，統(tǒng)計(jì)主干道最大車流量Qm2=2332輛/h與小區(qū)內(nèi)部最大車流量Qm1=319輛/h，計(jì)算出支路段的分流效率μ為13.68%，再對(duì)小區(qū)開放前后主干道交叉口排隊(duì)長度進(jìn)行作商比較，當(dāng)KA=Km2時(shí)，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Kj2=2546輛/km，Kj1=1006輛/km，Km2=314輛/km代入上式計(jì)算得到說明小區(qū)開放后附近的主干道交叉口排隊(duì)長度會(huì)大幅度增加，對(duì)緩解交通擁堵的影響微乎其微，因此該類型小區(qū)開放后對(duì)交通系統(tǒng)產(chǎn)生了極大壓力.

4 誤差分析

在現(xiàn)實(shí)生活中，車輛的通行受到主客觀各方面因素的影響.在建模的過程中，為了簡化模型，必定會(huì)對(duì)所有的因素進(jìn)行取舍.在這過程中，可能會(huì)舍棄一些因素像司機(jī)注意力會(huì)受到周圍環(huán)境的影響和交通服務(wù)設(shè)備及交警人員的配置等，然而，這些因素并不是影響該數(shù)學(xué)模型的主要因素，產(chǎn)生的誤差很小.

5 結(jié)束語

文章排除駕駛者主觀因素和外界差異，利用交叉口排隊(duì)長度和行駛時(shí)間來判斷道路交通狀況，最終得出結(jié)論：向心式小區(qū)結(jié)構(gòu)開放后新增的支路路段有最佳的分流效率去承擔(dān)主干道的車流量，并減少了交叉口車輛排隊(duì)長度，極大地緩解了城市的交通壓力，相比之下，集約式小區(qū)結(jié)構(gòu)雖然節(jié)省了城市的用地規(guī)模，但開放之后并不能減輕城市的交通擁堵，甚至?xí)又刂鞲傻赖慕煌ㄘ?fù)擔(dān).在另一方面，不同的小區(qū)結(jié)構(gòu)開放后雖然擴(kuò)大了城市的路網(wǎng)規(guī)模，但是新增的道路并不能優(yōu)化城市的交通配置，隨著道路的擴(kuò)建，交通系統(tǒng)的運(yùn)行效率卻會(huì)降低，造成時(shí)間上的延誤與路網(wǎng)系統(tǒng)效益的下降.

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