卞志榮

(江蘇省天一中學(xué),江蘇 無(wú)錫 214101)

自從2013年江蘇高考考試說(shuō)明將“不要求定量求解加速度大小不同的連接體問(wèn)題”改為“加速度大小不同的連接體問(wèn)題的計(jì)算僅限于兩個(gè)物體的情況”和“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”變?yōu)棰蛞蠛?全省各地高三復(fù)習(xí)和?？荚嚲碇小皸U球連接體”問(wèn)題頻頻出現(xiàn),大多以選擇題的壓軸題出現(xiàn),統(tǒng)計(jì)表明此類問(wèn)題正確率非常低. 筆者對(duì)作答試卷進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析并多次與學(xué)生進(jìn)行交流得知其中奧妙,客觀上來(lái)說(shuō)“桿球連接體”的疑難在于“桿”:第一,桿的彈力可能沿桿,也可能不沿著桿;第二,桿的彈力可能做功,也可能不做功;第三,桿所連接的兩物體的線速度、角速度和加速度相關(guān)聯(lián)且大小可能相同,也可能不同;第四,“桿球連接體”的運(yùn)動(dòng)多為非勻變速運(yùn)動(dòng),與功、能量轉(zhuǎn)化和守恒緊密聯(lián)系;第五,研究對(duì)象和研究過(guò)程較多,對(duì)分析問(wèn)題和綜合應(yīng)用能力要求比較高.除此而外,學(xué)生的心理素質(zhì)、解題習(xí)慣和方法的遷移甚至包括教師習(xí)題講評(píng)的方法都嚴(yán)重影響了學(xué)生正確作答進(jìn)程.例如有學(xué)生說(shuō):一見(jiàn)到這類問(wèn)題,心理急劇變化,有點(diǎn)發(fā)慌,顯得不耐煩,甚至想放棄;解選擇題就是“跟著感覺(jué)走”一看“大概”“差不多”就行;解題時(shí)基本上不畫受力圖,不進(jìn)行運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析,那樣太煩,時(shí)間也來(lái)不及;好多教師都這樣說(shuō),難的選擇題就選一個(gè)答案,甚至可以放棄;教師講評(píng)時(shí)只講怎么解,從來(lái)不講為什么這么想,造成我們聽聽都懂,做做都不會(huì)等.基于上述原因,筆者認(rèn)為高三復(fù)習(xí)時(shí)仍然要注重學(xué)生解題習(xí)慣的養(yǎng)成和思維方法的形成,通過(guò)變式教學(xué)進(jìn)行方法的提煉,而不是追逐題量,講評(píng)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)放在怎么分析而不是怎么解答.筆者就“桿球連接體”問(wèn)題的變式教學(xué)做一點(diǎn)探索,供大家參考.

1 球在斜面與平面上自由滑動(dòng)

圖1

例題1.如圖1所示,在傾角θ=30°的光滑固定斜面上,放有兩個(gè)質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B,兩球之間用一根長(zhǎng)L=0.2 m的輕桿相連,小球B距水平面的高度h=0.1 m.兩球從靜止開始下滑到光滑地面上,不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失,g取10 m/s2.則下列說(shuō)法中正確的是

(A) 下滑的整個(gè)過(guò)程中A球機(jī)械能守恒.

(B) 下滑的整個(gè)過(guò)程中兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

(C) 兩球在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為2 m/s.

(D) 系統(tǒng)下滑的整個(gè)過(guò)程中B球機(jī)械能的增加量為2/3 J.

引導(dǎo)分析:此題學(xué)生比較容易想到從能量角度來(lái)分析,但讓學(xué)生講又說(shuō)不清,道不明,此時(shí)教師的智慧在于提出系列驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生積極思考并自主進(jìn)行方法突破,同時(shí)滲透解題習(xí)慣的培養(yǎng).

問(wèn)題1. 小球A和B都在光滑斜面上下滑的過(guò)程中,A球機(jī)械能守恒嗎?

問(wèn)題2. 小球A和B都在光滑水平地面上滑動(dòng)的過(guò)程中,A球機(jī)械能守恒嗎?

問(wèn)題3. 下滑的整個(gè)過(guò)程中A球機(jī)械能守恒嗎?

問(wèn)題4. 小球A和B從靜止開始一起下滑到水平面的過(guò)程中機(jī)械能守恒嗎?

圖2

討論結(jié)果:A、B兩球都在光滑斜面或水平面上滑動(dòng)的過(guò)程,可以用假設(shè)法判斷桿中彈力為0,A球機(jī)械能守恒,若A球在斜面上下滑,B球在水平地面上滑動(dòng)的過(guò)程中,桿的彈力不為0,且桿的彈力對(duì)A球做負(fù)功、對(duì)B球做正功,故單獨(dú)對(duì)A或B來(lái)說(shuō),此過(guò)程機(jī)械能不守恒.判斷方法等同于圖2所示的常規(guī)題中輕桿對(duì)A、B球的做功情況,結(jié)論如出一轍,都是桿對(duì)下面的球做正功.

解題指導(dǎo):第一,力學(xué)選擇題的作答同樣需要受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析,這是一種習(xí)慣,切不可跟著感覺(jué)來(lái)個(gè)“大概”“差不多”;第二,對(duì)平時(shí)所學(xué)思維方法如本題中的“假設(shè)法”“類比法”“整體法”等要善于歸納總結(jié),做到準(zhǔn)確遷移,靈活應(yīng)用,再難的問(wèn)題也會(huì)迎刃而解,技高才能膽大.

2 球被限制在豎直軌道上運(yùn)動(dòng)

圖3

例題2.如圖3所示,滑塊A、B的質(zhì)量均為m,A套在固定豎直桿上,A、B通過(guò)轉(zhuǎn)軸用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的剛性輕桿連接,B放在水平面上并靠著豎直桿,A、B均靜止.由于微小的擾動(dòng),B開始沿水平面向右運(yùn)動(dòng).不計(jì)一切摩擦,滑塊A、B可視為質(zhì)點(diǎn).在A下滑的過(guò)程中,下列說(shuō)法中正確的是

(A)A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

(B) 在A落地之前輕桿對(duì)B一直做正功.

(D)當(dāng)A的機(jī)械能最小時(shí),B對(duì)水平面的壓力大小為mg.

圖4

變式.如圖4所示,A、B兩小球用輕桿連接,豎直放置．由于微小的擾動(dòng),A球沿豎直光滑槽運(yùn)動(dòng),B球沿水平光滑槽運(yùn)動(dòng).則在A球到達(dá)底端前

(A)A球做勻加速直線運(yùn)動(dòng).

(B) 輕桿對(duì)A球做負(fù)功,對(duì)B球做正功.

(C)A球到達(dá)豎直槽底部時(shí)B球的速度為0.

(D)A球的機(jī)械能最小時(shí)輕桿對(duì)B球的作用力為0.

3 球被限制在光滑圓形軌道上運(yùn)動(dòng)

圖5

例題3.如圖5所示,半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi),O是圓心,虛線OC水平,D是圓環(huán)最低點(diǎn).兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B套在圓環(huán)上,兩球之間用輕桿相連,從圖示位置由靜止釋放,則

(A)B球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)D時(shí),A、B系統(tǒng)重力勢(shì)能最小.

(B)A、B系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒.

(C)A球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)過(guò)程中受到的合外力做正功.

(D) 當(dāng)桿水平時(shí),A、B球速度達(dá)到最大.

分析:對(duì)(A)選項(xiàng)的判斷可以用極值法:重力勢(shì)能的大小就看重心位置的高低,當(dāng)桿子處于水平時(shí),A、B系統(tǒng)重心最低,兩者的重力勢(shì)能最小,故(A)選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)(B)選項(xiàng)的判斷可以用整體法:以A、B整體為研究對(duì)象,桿對(duì)A、B的作用力是內(nèi)力,環(huán)對(duì)球的彈力始終不做功,只有重力做功,所以A、B系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒,故(B)選項(xiàng)正確;當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到B開始的位置即桿處于水平時(shí),系統(tǒng)重力勢(shì)能最小,動(dòng)能最大,所以球A由C運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中,動(dòng)能先增大后減小,以A球?yàn)檠芯繉?duì)象,由動(dòng)能定理可知,合外力對(duì)其先做正功后做負(fù)功,且正負(fù)功數(shù)值相等,故(C)選項(xiàng)錯(cuò)誤;由(A)選項(xiàng)和(B)選項(xiàng)可知(D)選項(xiàng)正確.

4 球限制在直線與圓形組合軌道上運(yùn)動(dòng)

圖6

例題4.光滑的長(zhǎng)軌道形狀如圖6所示,其底部為半圓形,半徑為R,固定在豎直平面內(nèi).A、B為兩質(zhì)量相同的小環(huán),用長(zhǎng)為R的輕桿連接在一起,套在軌道上.將A、B兩環(huán)從圖示位置靜止釋放,A環(huán)與底部相距2R.不考慮輕桿和軌道的接觸,即忽略系統(tǒng)機(jī)械能的損失.

(1) 求A、B兩環(huán)都未進(jìn)入半圓形軌道前,桿上的作用力;

(2)A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí),兩環(huán)的速度大小分別為多少?

(3) 在A環(huán)下滑至軌道最低點(diǎn)的過(guò)程中時(shí),桿對(duì)B所做的功WB.

分析:這一道題實(shí)質(zhì)上是桿球在豎直軌道和圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的組合題;當(dāng)B環(huán)在豎直軌道上而A環(huán)在圓軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程則等同于圖1中一球在斜面上,一球在水平面上運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.有了這樣的認(rèn)識(shí)和前面幾個(gè)問(wèn)題的討論,即使像本例這樣的難題也不成為問(wèn)題.

具體分析如下: (1) 兩環(huán)都未進(jìn)入半圓形軌道前可通過(guò)假設(shè)法分析桿上作用力.假設(shè)桿有作用力,不管方向如何,可以得到A、B環(huán)的加速度不同,故假設(shè)錯(cuò)誤,也就是桿上的作用力為0.

圖7

(2) 當(dāng)A環(huán)到達(dá)軌道最低點(diǎn)時(shí),B環(huán)也已進(jìn)入半圓軌道(如圖7所示),關(guān)鍵是能分析出此時(shí)A、B環(huán)的速度大小相等:因?yàn)樵趫A環(huán)里桿繞圓心做圓周運(yùn)動(dòng),同一時(shí)刻桿上每一點(diǎn)的角速度相同,桿兩端的圓周運(yùn)動(dòng)半徑又相同,根據(jù)v=ωr,可知vA=vB,設(shè)為v,由機(jī)械能守恒定律得

解得

(3) 此問(wèn)研究過(guò)程已經(jīng)確定,以B環(huán)為研究對(duì)象,當(dāng)A環(huán)從起始位置到A環(huán)下滑至軌道最低點(diǎn)的過(guò)程中,B受重力、桿的彈力及圓軌道的支持力,支持力不做功,由動(dòng)能定理得

分析:這是一道臨界問(wèn)題,當(dāng)A環(huán)“上升到最大高度時(shí)環(huán)的速度為0”這一臨界條件都是知道的.可是此位置在哪里是學(xué)生的難點(diǎn)所在,為了使學(xué)生能自主突破,可以引導(dǎo)學(xué)生思考以下兩個(gè)問(wèn)題:

(1) 圓弧中最長(zhǎng)弦是多少?它與桿的長(zhǎng)度比較誰(shuí)長(zhǎng)?

(2) 畫出桿球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中幾個(gè)典型的位置圖.

圖8

圖9

5 轉(zhuǎn)動(dòng)的桿球倚靠在光滑立方體上運(yùn)動(dòng)

例題5.如圖10所示,在光滑的水平地面上有一個(gè)表面光滑的立方體M,一輕桿L與水平地面成α角,輕桿的下端用光滑鉸鏈連接于O點(diǎn),O點(diǎn)固定于地面上,輕桿的上端連接著一個(gè)小球m,小球靠在立方體左側(cè),立方體右側(cè)受到水平向左推力F的作用,整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).若現(xiàn)在撤去水平推力F,則下列說(shuō)法中正確的是

圖10

(A) 在小球和立方體分離前,若輕桿L與水平地面成β角,小球的速度大小為v1,立方體的速度大小為v2,則有v1=v2sinβ.

(B) 小球在落地的瞬間和立方體分離.

(C) 小球和立方體分離時(shí)小球只受重力.

(D) 小球和立方體分離前小球的機(jī)械能不守恒.

圖11

分析:小球繞O做圓周運(yùn)動(dòng),速度垂直于棒,其兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)是:隨著立方體向右運(yùn)動(dòng)的同時(shí)沿著立方體豎直向下運(yùn)動(dòng),將小球的速度沿著水平方向和豎直方向正交分解(如圖11),得到v2=v1sinβ,故(A)選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于(B)、(C)、(D)選項(xiàng)的判斷,關(guān)鍵是小球與立方體何時(shí)分離,這是學(xué)生感到棘手的問(wèn)題,其實(shí)方法很多,比如特殊位置法、極限分析法、臨界值法.

特殊位置法:以球?yàn)檠芯繉?duì)象,開始靜止,球在水平方向速度當(dāng)然為0,當(dāng)桿落地時(shí)球水平速度為0,可知球在水平方向先加速后減速,桿對(duì)球的作用是先撐后拉,先做正功后做負(fù)功,分離點(diǎn)即為轉(zhuǎn)折點(diǎn),此時(shí)桿的彈力為0.可見(jiàn)分離點(diǎn)應(yīng)在小球落地前,故(B)選項(xiàng)錯(cuò)誤, (D)選項(xiàng)正確.

對(duì)于(C)選項(xiàng),可以用臨界值法:兩接觸物體剛分離時(shí)彈力為0.由立方體受力可知,其加速度必為0,則小球剛分離時(shí)加速度的水平分量也為0,則桿的彈力必為0,故小球只受重力,(C)選項(xiàng)正確.所以本題應(yīng)選(C)、(D).

圖12

變式.在光滑的水平面上放一質(zhì)量為M、邊長(zhǎng)為b的立方體木塊,木塊上擱有一根長(zhǎng)L的輕質(zhì)桿,桿端固定一質(zhì)量為m的均質(zhì)小球,另一端鉸接于O如圖12所示,設(shè)桿從與水平面間夾角α1無(wú)初速度地推動(dòng)木塊右滑,求桿與水平面間夾角變?yōu)棣?(α1>α2) 時(shí)木塊的速度.

6 桿球限制在電場(chǎng)中平直光滑槽上運(yùn)動(dòng)

圖13

例題6.如圖13所示,沿水平方向放置一條平直光滑槽,它垂直穿過(guò)開有小孔的兩平行薄板,板相距3.5L.槽內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B,球A帶電荷量為+2q,球B帶電荷量為-3q,兩球由長(zhǎng)為2L的輕桿相連,組成一帶電系統(tǒng).最初A和B分別靜止于左板的兩側(cè),離板的距離均為L(zhǎng).若視小球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn),不計(jì)輕桿的質(zhì)量,在兩板間加上與槽平行向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E后(設(shè)槽和輕桿由特殊絕緣材料制成,不影響電場(chǎng)的分布),求:

(1) 球B剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí),帶電系統(tǒng)的速度大小.

(2) 帶電系統(tǒng)從開始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為0所需時(shí)間及球A相對(duì)右板的位置.

實(shí)際上,桿球連接體的題目遠(yuǎn)不止上述幾道,但從以上幾道題目的分析求解應(yīng)該領(lǐng)略到,解決復(fù)雜問(wèn)題不是無(wú)道可尋,也不是高不可攀,關(guān)鍵是分析問(wèn)題的習(xí)慣和科學(xué)思維方法的應(yīng)用.對(duì)力學(xué)題目必須養(yǎng)成受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析的良好習(xí)慣;靈活運(yùn)用如整體隔離法、臨界值法、特殊位置法,極限分析法等常用研究方法,巧妙利用物體間的速度關(guān)聯(lián)、加速度關(guān)聯(lián)、位移關(guān)聯(lián)等是技巧,問(wèn)題的順利破解將不成問(wèn)題.研究解決這類問(wèn)題對(duì)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,對(duì)思維方法的訓(xùn)練很有幫助.我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)時(shí)切不可陷入題海,應(yīng)該在夯實(shí)基礎(chǔ),提煉方法,發(fā)展能力上做文章才是根本,否則只能是事倍功半的低效復(fù)習(xí).