喬茹斐，田曉麗，楊吉林，白敦卓，仇東旭

（1.中北大學(xué)，太原030051；2.豫西工業(yè)集團(tuán)，南陽473000；3.山東特種工業(yè)集團(tuán)有限公司，淄博255201）

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，二維彈道修正火箭彈因成本和效費(fèi)比較為合理，成為了軍事發(fā)展的重要方向。二維彈道修正的執(zhí)行機(jī)構(gòu)主要采用鴨舵和脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)兩種方式，鴨式布局采用氣動(dòng)舵面修正，可以對飛行時(shí)間較長的彈丸進(jìn)行平穩(wěn)的彈道修正。本文采用的修正火箭彈呈 “+”字形布局，有4片全動(dòng)舵面，它們既能起升降舵與方向舵的作用，又可差動(dòng)起副翼作用，且鉸鏈力矩很小。文獻(xiàn)［1］得到了不同Mach數(shù)、不同攻角下的動(dòng)力參數(shù)，能進(jìn)行復(fù)雜的彈丸外彈道模型計(jì)算。文獻(xiàn)［2］通過Fluent軟件對彈丸模型進(jìn)行仿真，得到了固定舵二維彈道修正彈的氣動(dòng)參數(shù)。文獻(xiàn)［3］建立了不同舵高和舵偏修正彈丸的三維模型。文獻(xiàn)［4］得出當(dāng)鴨舵安置在圓錐段時(shí)，其滾轉(zhuǎn)控制能力在超聲速幾乎不發(fā)生改變。這些研究為本文鴨式布局彈道修正火箭彈的氣動(dòng)力參數(shù)提供了重要依據(jù)。

文獻(xiàn)［5］計(jì)算了修正彈的外彈道參數(shù)，文獻(xiàn)［6］～文獻(xiàn)［10］均對低旋火箭彈的控制力及力矩如何變化提出了假設(shè)，并做出簡單說明，對彈丸一般運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，建立了各自需要的六自由度彈道方程。文獻(xiàn)［5］得出不同面積的舵片在不同安裝位置下的修正能力。文獻(xiàn)［9］對鴨式翼外形尺寸確定了最佳參數(shù)的選擇，使本文的參數(shù)選取有了合理的參照。文獻(xiàn)［11］得到了修正質(zhì)點(diǎn)彈道模型（四自由度彈道模型）對彈丸穩(wěn)定性的仿真結(jié)果。文獻(xiàn)［12］分析了不同形狀舵片在相同時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行彈道修正后的修正能力。文獻(xiàn)［13］提供了彈道仿真數(shù)據(jù)的固定參數(shù)，如赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。

本文主要通過對十字型布局的鴨式翼彈道修正火箭彈進(jìn)行受力分析，建立有控的四自由度彈道模型。通過Matlab仿真出大射角下不同舵偏角、不同起控時(shí)間的十字型舵機(jī)的修正能力，并做出可行性分析，對二維彈道修正火箭彈的修正能力研究有參考價(jià)值。

1 鴨式翼操縱力和力矩

鴨式翼火箭彈在正常飛行過程中受的外力主要有發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)的推力、火箭彈本身重力、空氣氣動(dòng)力、鴨式翼所產(chǎn)生的操縱力等，所受到的力矩有空氣動(dòng)力矩、操縱力矩、Magnus力矩等。文中鴨式翼火箭彈彈體為理想彈體，即軸對稱分布且質(zhì)心位置不變。因此，推力對質(zhì)心產(chǎn)生的力矩為零。

1.1 舵面偏轉(zhuǎn)瞬時(shí)控制力

分析舵面偏轉(zhuǎn)時(shí)的瞬時(shí)操縱力的過程應(yīng)在彈體坐標(biāo)系下進(jìn)行。為便于分析，將一對舵面置于彈體水平切面內(nèi)，另一對舵面在彈體豎直切面中，如圖1所示。可得舵面瞬時(shí)偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的阻力Rxδ與舵面瞬時(shí)偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的升力Ryδ，升力與舵偏角偏向相同，與阻力相互垂直。表達(dá)式為：

式中，ρ為空氣密度，vrXY是相對速度vr在X′C′Y′平面上投影矢量，SC為舵面面積，cdc0為舵面的零升阻力系數(shù)，c′yd為舵面的升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)，kdc為舵偏系數(shù)，δc為舵面的瞬時(shí)偏轉(zhuǎn)角。

根據(jù)彈體坐標(biāo)系、彈軸坐標(biāo)系和速度坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，首先由速度坐標(biāo)系繞O′Z2軸旋轉(zhuǎn)δ1角，再由所得的坐標(biāo)系繞O′Y1軸負(fù)向轉(zhuǎn)δ2到達(dá)彈軸坐標(biāo)系［14］。在小攻角假設(shè)下，可得到該舵面瞬時(shí)控制力Fc在彈體坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)分量FcX1、FcY1，表達(dá)式為：

由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系可得到舵面瞬時(shí)控制力在速度坐標(biāo)系中的3個(gè)分量，表達(dá)式為：

1.2 舵面偏轉(zhuǎn)瞬時(shí)控制力矩

彈丸飛行時(shí)彈道的改變主要還是由控制力矩的作用使得彈體的攻角增大，進(jìn)而增加全彈的升力，進(jìn)而改變其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的軌跡。Fc作用于彈體且對質(zhì)心有一定的作用距離，對彈體質(zhì)心O′會(huì)產(chǎn)生一個(gè)控制力矩，記為矢量Mc。彈體坐標(biāo)系O′X1Y1Z1和彈軸坐標(biāo)系O′ξηζ之間的轉(zhuǎn)換僅僅是坐標(biāo)平面O′Y1Z1相對于坐標(biāo)平面O′ηζ轉(zhuǎn)過一個(gè)自轉(zhuǎn)角γ［14］，通過其轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得舵面瞬時(shí)控制力矩Mc在彈軸坐標(biāo)系的分量形式。如圖2所示，Mc的表達(dá)式為：

式中，d為彈徑，lcc為舵面瞬時(shí)壓心至彈體質(zhì)心所在赤道面的距離相比于彈徑的倍數(shù)。

在彈體的滾轉(zhuǎn)過程中，舵面也會(huì)受到舵面滾轉(zhuǎn)阻尼力矩的作用，其方向沿著彈軸的反方向。舵面滾轉(zhuǎn)阻尼力矩Mxzδ在彈軸坐標(biāo)系O′ξ軸方向的分量表達(dá)式為：

式中，m′xzδ為舵面的滾轉(zhuǎn)阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，l為彈丸的特征長度，?γ為彈體滾轉(zhuǎn)角速度。

1.3 舵面平均控制力及力矩

前兩部分給出了單片舵面瞬時(shí)偏轉(zhuǎn)時(shí)對應(yīng)的操縱力和操縱力矩的表達(dá)式，考慮彈體本身具有低通濾波特性，只能響應(yīng)瞬時(shí)操縱力在彈體滾轉(zhuǎn)一周內(nèi)的平均效果。舵面所產(chǎn)生的有效控制力應(yīng)以周期平均控制力FT為衡量標(biāo)準(zhǔn)，要實(shí)現(xiàn)鴨式翼二維彈道修正火箭彈有效準(zhǔn)確地彈道修正，必須獲得改變鴨式翼火箭彈飛行姿態(tài)所需要的周期平均控制力的大小和方向。鴨式翼火箭彈在飛行過程中的彈體不停地旋轉(zhuǎn)，所以鴨式翼舵面產(chǎn)生的控制力在空間上也隨之換向。為了簡化分析，將兩組鴨翼直接劃分為相互獨(dú)立的一字布局鴨式翼結(jié)構(gòu)［15］。在周期平均控制力的基礎(chǔ)上，建立旋轉(zhuǎn)有控彈的均態(tài)數(shù)學(xué)模型。

周期平均俯仰控制力FTη和周期平均偏航控制力FTζ表達(dá)式為：

從而得到舵機(jī)在彈體自轉(zhuǎn)一周內(nèi)換向4次時(shí)的周期平均控制力及兩個(gè)分量，表達(dá)式為：

式中，γ0為控制信號相位角，為舵面張開時(shí)的初始滾轉(zhuǎn)角，改變其值就能改變周期平均控制力的方向；φ為控制信號調(diào)寬角，改變其值就能改變周期平均控制力的大小；γT為周期平均控制力FT與O′η軸的夾角。按照滾轉(zhuǎn)彈箭飛行力學(xué)的習(xí)慣，定義俯仰指令系數(shù)Kη＝sinγ0sinφ和偏航指令系數(shù)Kζ＝cosγ0sinφ［14］。 在此基礎(chǔ)上， 建立二維修正模型。

2 建立有控彈道方程

2.1 無控彈道方程

在無控彈道四自由度方程中，除了描述質(zhì)心坐標(biāo)三自由度方程外，還有一個(gè)轉(zhuǎn)速方程。同樣，適用于低旋尾翼彈［14］。

2.2 簡化條件

二維修正是對縱向和橫向位移的修正，在原彈丸的基礎(chǔ)上增設(shè)舵機(jī)控制，必然會(huì)對彈丸的氣動(dòng)系數(shù)產(chǎn)生影響。使仿真環(huán)境更為簡潔，可以對二維修正火箭彈四自由度模型進(jìn)行條件簡化：

1）彈體為軸對稱彈，舵機(jī)控制因偏航角改變而改變，在舵面上會(huì)產(chǎn)生升力偏航操縱力矩系數(shù)與俯仰操縱力矩系數(shù)，它們絕對值相同，即式中也相同。

2）本文研究的是四自由度火箭彈的無控、有控模型，偏航力矩與俯仰力矩不在文章討論范圍內(nèi)，條件1僅對受力分析做出解釋。有控模型中的滾轉(zhuǎn)力矩主要受到這兩個(gè)參數(shù)的影響，在彈體-舵機(jī)-尾翼結(jié)構(gòu)中，它們隨著攻角、Mach數(shù)、舵偏角的變化而改變。

3）由于舵機(jī)的轉(zhuǎn)軸離舵面壓力中心越遠(yuǎn)鉸鏈力矩越大，而當(dāng)舵機(jī)轉(zhuǎn)軸在壓力中心上，鉸鏈力矩為零。本文研究的是122mm火箭彈，在其飛行過程中，攻角和舵偏角很大時(shí)，彈丸和舵機(jī)的質(zhì)心到壓心的距離才會(huì)有顯著變化。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，當(dāng)攻角為-5°，舵偏角為-20°，彈丸質(zhì)心壓心之間的距離隨Mach數(shù)的變化在0.3mm上下浮動(dòng)。如圖3所示，舵機(jī)質(zhì)心到壓心的距離變化范圍在0.05%，均可忽略，因而兩對舵機(jī)的鉸鏈力矩可以不予考慮。

2.3 有控飛行時(shí)的控制力和控制力矩

式（3）只是針對于置于水平切面內(nèi)的一對舵面，本文研究的是十字型鴨式布局，只需將式（3）中的FY1替換為FZ1，就可以得到豎直切面內(nèi)一片鴨翼的舵面瞬時(shí)控制力在速度坐標(biāo)系中分量形式，表達(dá)式為：

舵面瞬時(shí)控制力矩Mc在彈軸坐標(biāo)系Oξ軸的分量形式仍為0，舵面滾轉(zhuǎn)阻尼力矩Mxzδ在彈軸坐標(biāo)系分量不變。彈道坐標(biāo)系中四自由度變量分別如下：

3 仿真校驗(yàn)

3.1 有控系數(shù)

以122mm火箭彈為研究對象，由Matlab編程該火箭彈的四自由度無控彈道與十字型鴨式布局的有控彈道運(yùn)動(dòng)方程。全彈長2685mm，其中舵軸安裝距彈頂位置466.3mm，主動(dòng)段赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量37.458kg·m2，被動(dòng)段赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量29.124kg·m2。相同厚度下，菱形、正弦形、拋物線形波阻小，其中菱形較其他剖面工藝性好，翼面選用菱形翼型剖面，展弦比取1.1。與射程相關(guān)的氣動(dòng)力參數(shù)主要是升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)，舵偏角為-10°時(shí)，升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)如圖4所示。

3.2 仿真分析

設(shè)置初始外部環(huán)境為無風(fēng)標(biāo)準(zhǔn)炮兵氣象，射角為53°，初始速度為40m／s，彈道特性如圖5～圖7所示。由無控彈道計(jì)算出發(fā)動(dòng)機(jī)在3.6s末停止工作，此時(shí)速度為967.1m／s，達(dá)到了最大速度。在50.8s到達(dá)彈道頂點(diǎn)，此時(shí)縱向距離為20.6km。彈丸飛行時(shí)間為113.3s，射程為36.3km。

有控彈道中，設(shè)置舵偏角為10°。由圖6可知，舵機(jī)在45s起控時(shí)，縱向修正量達(dá)到最大，為7344.3m。10s～45s，修正量變化較快；45s之后，可以看出曲線過渡比較平緩，修正量變化范圍在1500m～7500m，修正效果顯著。從圖7可以看出，舵機(jī)起控時(shí)間越早，橫偏修正能力越顯著。35s之后，曲線下降較為平緩。

射角為53°，起控時(shí)間為彈道頂點(diǎn)這一時(shí)刻（50.8s），在不同舵偏角的縱向橫向修正能力如圖8和圖9所示。

從圖8和圖9可以看出，舵偏角越大，修正效果越好。

4 結(jié)論

在外彈道計(jì)算中，四自由度模型的彈道軌跡是空間曲線，它涉及了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的3個(gè)自由度及彈體滾轉(zhuǎn)，接近于實(shí)際彈道。文章中利用十字型鴨式布局二維彈道修正彈在四自由度模型下的仿真研究，以鴨式翼火箭彈彈體所受的力和力矩為出發(fā)點(diǎn)，通過研究有控彈均態(tài)數(shù)學(xué)模型，建立了十字型鴨式翼火箭彈的均態(tài)四自由度鴨式翼火箭彈數(shù)學(xué)模型，并在Matlab中創(chuàng)建鴨式翼火箭彈的四自由度彈道模型。結(jié)果表明：

1）本口徑火箭彈在安排十字型鴨式布局后能夠?qū)崿F(xiàn)精確的彈道修正，四自由度有控彈道方程在大射角情況下能保證修正效果顯著。

2）舵偏角越大，橫向、縱向修正效果越好。

3）舵偏角為10°時(shí)，舵機(jī)起控時(shí)間越早，橫向修正能力越好。在 45s時(shí)刻，縱向修正達(dá)到20.21%的最大射程修正量。

仿真結(jié)果與無控彈道相比，大射角下舵機(jī)45s起控縱向修正效果最好，而起控時(shí)間越早，橫偏修正越好。舵偏角越大，修正能力越強(qiáng)。大射角下保證了修正能力，在中小射角下也有良好的修正效果。

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