趙 謙，任志奇

(西安科技大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710054)

0 引 言

隨著國家經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，市場對瓷磚質(zhì)量提出了嚴(yán)苛的標(biāo)準(zhǔn)。由于瓷磚生產(chǎn)工藝特殊，批量生產(chǎn)時(shí)質(zhì)量難以保證的特點(diǎn)，因此對瓷磚進(jìn)行無損平整度檢測具有重大意義。目前絕大多數(shù)企業(yè)的瓷磚平整度檢測主要依靠人工，存在檢測效率低，工作強(qiáng)度大，質(zhì)量不穩(wěn)定，漏檢率高等問題[1]。

近幾年3D掃描技術(shù)的發(fā)展日益成熟，這為瓷磚檢測帶來了新的技術(shù)手段[2]。目前瓷磚平整度檢測設(shè)備主要采用激光位移傳感器[3-5]來獲取瓷磚特征點(diǎn)信息，也有一些采用容柵位移傳感器[6]、光纖位移傳感器[7]、PSD傳感器[8]等等。這些設(shè)備檢測精度高、速度快，但造價(jià)昂貴、裝置復(fù)雜、維護(hù)成本高。而3D掃描儀體積輕便、裝置簡單、掃描精度高，可在極短時(shí)間內(nèi)快速獲取物面三維點(diǎn)云，將其用于瓷磚平整度檢測是可行的。由于瓷磚點(diǎn)云離散無序，瓷磚平整度檢測所需的特征點(diǎn)位置未知。為此本文提出一種基于點(diǎn)云投影的瓷磚凸包特征點(diǎn)檢測算法，可從瓷磚點(diǎn)云中自動(dòng)快速提取瓷磚特征點(diǎn)坐標(biāo)。

1 系統(tǒng)簡介

實(shí)驗(yàn)所采用的3D掃描系統(tǒng)為光軸交叉型光路結(jié)構(gòu)，如圖1所示，P為結(jié)構(gòu)光場的投影系統(tǒng)(Projector)，成像系統(tǒng)(Camera)為接受變形光柵像的面陣探測器，本系統(tǒng)采用CCD(Charge-Coupled Device，電荷耦合元件)攝像機(jī)。投影系統(tǒng)的光軸PO和成像系統(tǒng)的光軸CO相交于參考平面(Reference Plane)上的O點(diǎn)，參考平面與成像系統(tǒng)的光軸垂直。光柵像被投影系統(tǒng)投影到待測物體表面，A和B是參考平面上的點(diǎn)，H是物面的被測點(diǎn)，由于受到物體高度分布h(x, y)的空間調(diào)制，觀察系統(tǒng)將得到攜帶有物體高度分布信息的變形光柵像。L是成像系統(tǒng)出瞳到參考平面的距離，d是成像系統(tǒng)與投影系統(tǒng)之間的距離。

系統(tǒng)由信息采集模塊和計(jì)算模塊組成，如圖2所示。信息采集模塊主要由投影儀(Projector)向待測物體表面投射三頻彩色光柵(Three-Frequency Color Grating)，用彩色CCD獲取彩色條紋變形圖，作為算法模塊的輸入。算法模塊則通過條紋變形圖解調(diào)出條紋圖的相位信息，進(jìn)一步重建出掃描對象的三維信息。系統(tǒng)采用彩色條紋投影與立體視覺融合的三維傳感方法，以測量復(fù)雜動(dòng)態(tài)物體(Dynamic Object)。其基礎(chǔ)原理是一種雙向融合機(jī)制，即先用三頻彩色條紋的相位分布指導(dǎo)雙目立體視覺全局匹配，反過來，再利用雙目條紋灰度圖局部多特征的精細(xì)匹配校正初始相位失真，這種失真來源于反射率噪聲、形狀突變以及條紋的非正弦性，最終用立體視覺求解空間點(diǎn)位置坐標(biāo)。

圖1 3D掃描系統(tǒng)光路原理圖Fig.1 Optical path schematic of 3D scanning system

2 算法描述

2.1 瓷磚平整度

中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)《GB/T 3810.2-2016》(《瓷磚試驗(yàn)方法 第2部分：尺寸和表面質(zhì)量的檢驗(yàn)》)對瓷磚平整度的定義如下。

中心彎曲度：磚面的中心點(diǎn)偏離由4個(gè)角點(diǎn)中的3點(diǎn)所確定的平面的距離[9]。

邊彎曲度：磚一條邊的中點(diǎn)偏離由4個(gè)角點(diǎn)中的3點(diǎn)所確定的平面的距離[9]。

翹曲度：由磚的3個(gè)角點(diǎn)確定一個(gè)平面，第4角點(diǎn)偏離該平面的距離[9]。

實(shí)際應(yīng)用中，邊彎曲度的計(jì)算與國家標(biāo)準(zhǔn)略有不同。通常做法是取瓷磚一邊上的3個(gè)四等分點(diǎn)(也稱邊特征點(diǎn))，分別計(jì)算這3個(gè)點(diǎn)到任意3個(gè)角點(diǎn)所確定平面的距離，然后取最大值作為該邊的邊彎曲度。可見瓷磚平整度檢測的關(guān)鍵是獲取瓷磚平面的3類特征點(diǎn)坐標(biāo)：4個(gè)角點(diǎn)、12個(gè)邊特征點(diǎn)、1個(gè)中心點(diǎn)。

2.2 凸包算法

瓷磚特征點(diǎn)中最重要的是對瓷磚4個(gè)角點(diǎn)的檢測，為此引入計(jì)算幾何中的凸包模型來對角點(diǎn)進(jìn)行描述。凸集是理解凸包的前提，凸集的定義如下：假設(shè)在平面上有非空點(diǎn)集S，在S中任取兩點(diǎn)p1，p2，如果點(diǎn)p=tp1+ (1-t)p2∈S，其中，0≤t≤1，則稱是S凸集。換言之，如果S中任意兩點(diǎn)所連線段全部位于S之中，那么S就是凸集，顯然，帶有“凹部”的任何平面點(diǎn)集都不是凸集。在凸集的基礎(chǔ)上，凸包定義為包含平面點(diǎn)集S的最小凸集，關(guān)于凸包可以這樣想象：在地面上固定若干木樁，用根繩子將這些木樁盡量緊地圈起來，所形成的凸多邊形就是凸包。圖3和圖4展示了瓷磚點(diǎn)云的三維凸包模型以及點(diǎn)云投影的二維凸包模型，這兩個(gè)模型是后面兩個(gè)瓷磚特征點(diǎn)檢測算法的基礎(chǔ)。

圖2 彩色條紋投影與雙目立體視覺融合3D掃描系統(tǒng)Fig.2 3D scanning system with color fringe projection and binocular stereo vision fusion

目前求解凸包的算法有卷包裹法、Graham方法以及分治算法等等，而Graham方法是求解平面點(diǎn)集凸包問題的最佳算法[10]，故重點(diǎn)介紹Graham方法，其步驟如下：

圖3 瓷磚點(diǎn)云三維凸包Fig.3 Tile point cloud three-dimensional convex hul

圖4 瓷磚點(diǎn)云投影凸包Fig.4 Tile point cloud projection convex hull

(1)設(shè)凸集中y坐標(biāo)最小的點(diǎn)為p1，如果有多個(gè)y坐標(biāo)最小點(diǎn)，則以x坐標(biāo)最小的點(diǎn)為p1。將p1與凸集中其它各點(diǎn)用線段連接，然后計(jì)算各線段與水平線的夾角，并按夾角大小以及到p1的距離進(jìn)行詞典式分類，得到序列p1, p2, p3, …, pn，用線段依次連接這些點(diǎn)，得到一個(gè)多邊形。p1是凸包邊界的起點(diǎn)，p2與pn也必是凸包頂點(diǎn)。pn+1=pn，如圖5所示。

(a)根據(jù)各點(diǎn)傾角大小以及到p1的距離進(jìn)行詞典式分類

(b)以p1為起點(diǎn)，逆時(shí)針連線成一多邊形

(d)原p4成為p3，p1和p4在同側(cè)，p3暫時(shí)在邊界上，繼續(xù)查下去

(e)最后得到凸包的6個(gè)頂點(diǎn)

(2)刪去p3, p4, …, pn-1, 中不是凸包頂點(diǎn)的點(diǎn)，方法如下：

步驟1：k←4；

步驟2：j←2；

步驟3：如果p1和pk分別在兩側(cè)，則刪去pk-1，后繼頂點(diǎn)編號減1，k←k- 1，j←j- 1；否則pk-1暫為凸包頂點(diǎn)，并記錄；

步驟4：j←j + 1，轉(zhuǎn)至步驟3，直至j←k-1；

步驟5：k←k + 1，轉(zhuǎn)至步驟2，直至k←n + 1。

(3)順序輸出凸包頂點(diǎn)。

2.3 瓷磚特征點(diǎn)檢測算法

假設(shè)瓷磚表面點(diǎn)云為P(x, y, z)，Pxy(x, y)為點(diǎn)云投影，瓷磚點(diǎn)云數(shù)為n。令角點(diǎn)D4={d1, d2, d3, d4}，邊特征點(diǎn)B4={d1i, d2i, d3i, d4i}, (i=1, 2, 3)，中心點(diǎn)0xy。令角點(diǎn)投影D4xy={d1xy, d2xy, d3xy, d4xy}，邊特征點(diǎn)投影B4xy={b1ixy, b2ixy, b3ixy, b4ixy},(i=1, 2, 3)，中心點(diǎn)投影Oxy。根據(jù)作用域的不同，瓷磚特征點(diǎn)檢測可分為直接檢測與間接檢測兩種。前者直接在三維點(diǎn)云中尋找特征點(diǎn)坐標(biāo)，后者先將三維點(diǎn)云映射至二維平面，在該平面檢測特征點(diǎn)投影，最后將特征點(diǎn)投影反映射至三維點(diǎn)云空間，即可得到瓷磚真實(shí)的特征點(diǎn)坐標(biāo)。

圖5 Graham方法的解釋Fig.5 Interpretation of the Graham method

2.3.1 算法1：直接檢測算法

第一步：角點(diǎn)估計(jì)

獲取P(x,y,z)的凸包，記凸包頂點(diǎn)集合為T(x,y,z)；

計(jì)算T(x,y,z)內(nèi)各點(diǎn)之間的距離，距離最大的兩個(gè)點(diǎn)記為角點(diǎn)d1、d3；

過d1、d3構(gòu)造直線L13，滿足L13(x, y, z) ≥ 0的部分記為T1(x, y, z)，滿足L13(x, y, z)＜0的部分記為T2(x, y, z)；

計(jì)算T1(x, y, z)內(nèi)各點(diǎn)到直線L13的距離，距離最大的點(diǎn)為角點(diǎn)d2；

計(jì)算T2(x, y, z)內(nèi)各點(diǎn)到直線L13的距離，距離最大的點(diǎn)為角點(diǎn)d4。

第二步：邊特征點(diǎn)估計(jì)

以角點(diǎn)d1、d2所在邊的四等分點(diǎn)b1i,(i=1, 2, 3)為例，假設(shè)第一步所求d1、d2的坐標(biāo)分別為d1(x1, y1, z1)和d2(x2, y2, z2)，則b1i坐標(biāo)計(jì)算過程如下：

其中，i=1, 2, 3，表示3個(gè)四等分點(diǎn)；

若b1i在P(x, y, z)中，則b1i為所求的四等分點(diǎn)，否則以距b1i最近的點(diǎn)為四等分點(diǎn)b1i(注意：本段及論文后面的“距某點(diǎn)最近的點(diǎn)”可由K最近鄰(K-Nearest Neighbor，KNN)算法實(shí)現(xiàn)，KNN是機(jī)器學(xué)習(xí)的基本算法)；

同理可得其它三組四等分點(diǎn)b2i、b3i、b4i。第三步：中心點(diǎn)估計(jì)記O'(xavg , yavg , zavg)，

若O'在P(x, y, z)中，則O'為中心點(diǎn)O，否則以距O'最近的點(diǎn)為中心點(diǎn)O。

2.3.2 算法2：點(diǎn)云投影檢測算法第一步：角點(diǎn)投影估計(jì)

獲取Pxy(x, y)的凸包，記凸包頂點(diǎn)集合為T(x, y)；

計(jì)算T(x, y)內(nèi)各點(diǎn)之間的距離，距離最大的兩個(gè)點(diǎn)記為角點(diǎn)投影d1xy、d3xy；

過d1xy、d2xy構(gòu)造直線L13，滿足L13(x, y, z) ≥ 0的部分記為T1(x, y)，滿足L13(x, y, z)＜0的部分記為T2(x, y)；

計(jì)算T1(x, y)內(nèi)各點(diǎn)到直線L13的距離，距離最大的點(diǎn)為角點(diǎn)投影d2xy；

計(jì)算T2(x, y)內(nèi)各點(diǎn)到直線L13的距離，距離最大的點(diǎn)為角點(diǎn)投影d4xy；

第二步：邊四等分點(diǎn)投影估計(jì)

以角點(diǎn)投影d1xy、d2xy所在邊的四等分點(diǎn)投影b1ixy,(i=1, 2, 3)為例，假設(shè)第一步所求d1xy、d2xy的坐標(biāo)分別為d1xy(x1xy,y1xy)和d2xy(x2xy,y2xy)，則b1ixy坐標(biāo)計(jì)算如下：

其中i=1, 2, 3，表示3個(gè)四等分點(diǎn)投影；

若b1ixy在Pxy(x, y)中，則b1ixy為所求的四等分點(diǎn)投影，否則以距b1ixy最近的點(diǎn)為四等分點(diǎn)投影b1ixy；

同理可得其它三組四等分點(diǎn)投影b2ixy、b3ixy、b4ixy。第三步：中心點(diǎn)投影估計(jì)

記O'(xavg ,yavg ,zavg )，其中

若O'在Pxy(x, y)中，則O'xy為中心點(diǎn)投影Oxy，否則以距O'xy最近的點(diǎn)為中心點(diǎn)投影Oxy。第四步：點(diǎn)云投影特征點(diǎn)映射

根據(jù)P(x, y, z)到Pxy(x, y)的映射關(guān)系，將上述特征點(diǎn)投影進(jìn)行3D映射，即：

3 算法仿真

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境(見表1)

表1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境Tab.1 Experimental environment

3.2 仿真結(jié)果與分析

3D掃描系統(tǒng)對圖6所示的白色光面瓷磚(300*300 mm)進(jìn)行掃描，獲得瓷磚表面密集點(diǎn)云，點(diǎn)云數(shù)達(dá)100000，為強(qiáng)化視覺效果，對該點(diǎn)云進(jìn)行抽樣，使其點(diǎn)云數(shù)降至10000，作為后面顯示瓷磚特征點(diǎn)的背景點(diǎn)云。分別見圖7、圖8。

用算法1和算法2分別提取瓷磚特征點(diǎn)，提取效果如圖9、圖10所示，特征點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表2、表3所示。

圖6 白色光面瓷磚Fig.6 White glossy tiles

觀察表2和表3，發(fā)現(xiàn)算法1與算法2分別獲取的特征點(diǎn)坐標(biāo)有細(xì)微差異，這是因?yàn)樗惴?和算法2的作用空間不同，前者是在三維空間(空間點(diǎn)云)，后者是在二維空間(點(diǎn)云投影)。根據(jù)空間點(diǎn)及其投影關(guān)系易知，三維空間距離最大的兩個(gè)點(diǎn)，在二維平面上的投影距離未必最大(可以想象這樣一個(gè)場景，在桌面上豎立一支鉛筆，筆頭和筆尾距離最長，但筆頭與筆尾的投影在筆尾處重合，其投影點(diǎn)的距離為零)，所以算法1所得凸包中的d1、d3和算法2凸包中的d1xy、d3xy不一定滿足fpxy→p映射關(guān)系，其余特征點(diǎn)情況類似。由前面鉛筆的例子可以發(fā)現(xiàn)，如果點(diǎn)云數(shù)據(jù)本身存在干擾點(diǎn)(在z軸方向上距離點(diǎn)云平面偏大的點(diǎn))，算法1有可能會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果，而算法2則不然，其點(diǎn)云投影以及反映射的處理過程使其可以排除Z軸方向上的干擾點(diǎn)，這也表明算法2的抗干擾性要強(qiáng)于算法1。

為形象比較算法1和算法2所得瓷磚特征點(diǎn)坐標(biāo)的差異，下面給出兩組坐標(biāo)在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的差異圖及其相關(guān)圖(相關(guān)圖上的點(diǎn)越逼近直線，證明其相關(guān)程度或相似度越高)。需要說明的是，由于兩組坐標(biāo)過于相似，為增強(qiáng)顯示效果，在顯示算法2所得坐標(biāo)時(shí)，統(tǒng)一將其下移3個(gè)單位，顯示效果如下。

圖7 瓷磚表面點(diǎn)云(點(diǎn)云數(shù)：100000)Fig.7 Tile surface point cloud (Point cloud number: 100000)

圖8 瓷磚表面點(diǎn)云(點(diǎn)云數(shù)：10000)Fig.8 Tile surface point cloud (Point cloud number: 10000)

圖9 算法1所得瓷磚特征點(diǎn)Fig.9 Tile feature points resulting from Algorithm 1

圖10 算法2所得瓷磚特征點(diǎn)Fig.10 Tile feature points resulting from Algorithm 2

表2 算法1檢測的瓷磚特征點(diǎn)坐標(biāo)Tab.2 Tile feature point coordinates detected by Algorithm 1

表3 算法2檢測的瓷磚特征點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 Tile feature point coordinates detected by Algorithm 2

圖11 算法1、算法2所得瓷磚特征點(diǎn)坐標(biāo)示意圖及相關(guān)圖(圖(a)(b)(e)標(biāo)記點(diǎn)說明：‘.’算法1特征點(diǎn)坐標(biāo)；‘＊’算法2特征點(diǎn)坐標(biāo))Figure.11 Schematic diagrams for detection of tile feature point coordinates by Algorithm 1 and algorithm 2(Marking points in (a)(b)(e): ‘.’ Algorithm 1 detected feature point coordinates; ‘*’ Algorithm 2 detected feature point coordinates)

由于本實(shí)驗(yàn)3D掃描系統(tǒng)的高精度性能，算法1與算法2所得瓷磚特征點(diǎn)坐標(biāo)誤差極小。從瓷磚特征點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)圖(圖11(b)、(d)、(f))可以看到，兩組特征點(diǎn)坐標(biāo)的x、y、z坐標(biāo)相關(guān)圖呈線性分布，證明兩組坐標(biāo)相關(guān)度極高。用MATLAB自帶的corr2()函數(shù)比較兩組坐標(biāo)數(shù)據(jù)的相似度，其x坐標(biāo)相似度為0.9999，y坐標(biāo)相似度為1.0000，z坐標(biāo)相似度為0.9999，總體相似度為1.0000，驗(yàn)證了我們的判斷。

下面比較算法1與算法2的執(zhí)行效率，分別統(tǒng)計(jì)二者各運(yùn)行10次的時(shí)間，如表4所示。

由上表可以看到算法2比算法1的運(yùn)行效率更高。這是由于算法1直接在三維空間中尋找凸包，而瓷磚點(diǎn)云不一定全部處于同一平面，此時(shí)多個(gè)凸包頂點(diǎn)存在交叉，而算法2不存在這個(gè)問題。理論上二維空間點(diǎn)集的凸包頂點(diǎn)數(shù)滿足三維空間點(diǎn)集的凸包定點(diǎn)數(shù)滿足n為100000時(shí)二者比值為6.81。本實(shí)驗(yàn)中算法1所得三維凸包頂點(diǎn)數(shù)高達(dá)360，去掉重復(fù)點(diǎn)為119，算法2為20，二者比值為5.95，與理論值6.81相比這個(gè)數(shù)值是合理的。很容易理解，凸包頂點(diǎn)數(shù)越多算法的運(yùn)行時(shí)間也就越長，在這里近似認(rèn)為算法運(yùn)行時(shí)間與凸包定點(diǎn)數(shù)呈正相關(guān)，由于算法2有一個(gè)從二維到三維的反映射過程，因此算法2與算法1的運(yùn)行時(shí)間比值要小于5.95，而實(shí)際比值為3.28，故算法2的運(yùn)行效率是算法1的3倍以上是合理的。

表4 算法執(zhí)行時(shí)間(單位：秒)Tab.4 Algorithm running time (Unit: second)

4 結(jié) 論

本文將3D掃描技術(shù)用于瓷磚平整度檢測領(lǐng)域，并提出了一種基于點(diǎn)云投影的瓷磚凸包特征點(diǎn)檢測算法。算法創(chuàng)造性地將三維空間中特征點(diǎn)的檢測轉(zhuǎn)換為在二維空間中對其特征點(diǎn)投影的檢測，極大提高了算法執(zhí)行效率。實(shí)驗(yàn)證明，本文提出的點(diǎn)云投影檢測算法性能明顯優(yōu)于直接檢測算法，不僅具備一定的抗噪能力，而且執(zhí)行效率較高，0.6秒內(nèi)便可完成瓷磚特征點(diǎn)的提取，這對3D掃描儀應(yīng)用于瓷磚平整度檢測實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化、高效化具有重要意義。