何黎俊

摘要 自然圖像由于其相鄰區(qū)域具有高度相關性而具有低秩特征。因此，本文設計了基于低秩約束的圖像盲去卷積算法，能夠恢復出更加尖銳和連續(xù)的邊緣，特別是在圖像含有較少邊緣信息時。采用變量分離法將難以求解的目標函數(shù)分解為數(shù)個易于求解的子問題，最終通過交替迭代更新得到最優(yōu)解。

【關鍵詞】低秩約束 圖像去模糊 算法

近年來，數(shù)碼相機、手機攝像、電子監(jiān)控等設備的越來越普及，獲取數(shù)字圖像越來越方便，但是這些圖像，由于抖動、散焦或者攝像頭品質(zhì)等原因而導致圖像模糊。因此，去模糊算法逐漸成為圖像恢復領域的重要問題之一。根據(jù)模糊核是否己知，去模糊算法可以分為非盲去卷積和盲去卷積。其中，盲去卷積是圖像恢復領域中的一個重要問題，目前的主流算法是基于最大后驗概率（MAP， Maximum aposteriori）框架，通過在能量方程中引入不同的先驗約束，迭代求解得到恢復的圖像。

假設圖像被均勻核模糊，則模糊過程可以表示為：

y=x*k十n （1）

其中，y表示模糊圖像，x表示真實圖像，k表示模糊核，n表示噪聲。

1 低秩子空間

其中r表示目標低維子空間的維度，F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)。這一問題可以通過對D做奇異值分解（Singular Value Decomposition），然后把D投影到前r個主成分張成的子空間，得到低秩成分A。

由于PCA假設噪聲是符合高斯分布的，當噪聲的幅值較小時，算法非常有效。但是當矩陣被大幅值的噪聲所污染時，比如遮擋、缺失、斑點等，這一假設并不成立，從而導致PCA算法失效。

因此，需要從被稀疏噪聲污染的數(shù)據(jù)中恢復出真實的低秩成分問題：

其中，rank （A）表示矩陣的特征值數(shù)量，下表O表示LO范數(shù)，是矩陣非零元素的個數(shù)，λ是權重系數(shù)，表示LO范數(shù)的重要程度。

魯棒主成分分析（RPCA，Robust PrincipalComponent Analysis）方法，對稀疏噪聲進行建模和約束，利用Ll范數(shù)來近似求解LO范數(shù)，使矩陣的秩得到較大的降低，從而恢復出真實的低維子空間：

其中，*表示核范數(shù)，即矩陣奇異值之和，是rank（A）的近似值，下標l表示Ll范數(shù)，即各項絕對值之和，是LO范數(shù)的近似值。

增廣拉格朗日乘子法，通過在目標方程中添加增廣拉格朗日懲罰因子，使函數(shù)滿足約束條件，從而將有約束的優(yōu)化問題轉化為無約束的優(yōu)化問題，然后通過交替更新迭代求得優(yōu)化值。根據(jù)增廣拉格朗日乘子法，目標函數(shù)轉換為：

交替更新變量A和E，最終得到數(shù)據(jù)的低秩結構和稀疏噪聲部分。

2 基于低秩約束的圖像去模糊算法

基于最大后驗概率的框架下，通過對待求變量加入合理的正則化項，使得恢復的數(shù)據(jù)不僅與觀測圖像滿足一定的關系，而且盡可能與真實圖像一致：

其中，y是觀測的模糊圖像，x是待恢復的真實圖像，k是模糊核，P（x）和P（k）表示x、y應該滿足的先驗特征。

為了恢復X的低秩結構，利用圖像的低秩特征，引入核范數(shù)進行約束。同時為了保證圖像邊緣的稀疏性，采用LO范數(shù)對梯度進行約束：

由于LO范數(shù)的存在，優(yōu)化上式不是一個容易的問題。對于LO范數(shù)的優(yōu)化，采用變量分離的快速優(yōu)化方法。對于核范數(shù)，采用變量分離方法。通過交替迭代更新，最終得到優(yōu)化值。

采用變量分離法將LO范數(shù)和核范數(shù)分離出來，即引入輔助變量u和g，分別等于x和∨x，并且引入增廣拉格朗日懲罰因子，從而將優(yōu)化方程重寫為：

因此，在保證最優(yōu)值近似不變的情況下，對問題進行了合理轉化，變成了較容易求解的優(yōu)化方程。采用交替更新迭代算法，即固定一些變量，求其他變量的最優(yōu)值，然后交替反復，可以最終得到優(yōu)化值。

3 結語

夜景圖像由于光線不足，拍攝時曝光時間更長，更容易受到抖動的影響而得到模糊的圖像。本文設計了一種基于低秩約束的圖像去模糊方法，能夠克服了這一困難。

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