王月宏

（陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與信息工程學(xué)院，咸陽 712000）

1 接觸有限元分析

彈性接觸問題隸屬于邊界非線性問題，它所涉及的問題既有因接觸區(qū)內(nèi)的變化而引起的非線性問題，又有因接觸壓力的分布變化而引起的非線性問題和接觸間由于摩擦存在而產(chǎn)生的非線性問題，求解過程可以認(rèn)為是反復(fù)迭代尋求精準(zhǔn)接觸狀態(tài)的過程。因此，在求解之前先設(shè)定一個(gè)可能的潛在接觸狀態(tài)，然后把設(shè)定條件帶入求解方程，可以求解得到具體接觸位置的接觸內(nèi)力和位移，并由此結(jié)果判斷是否滿足條件。當(dāng)求解值不滿足所需的接觸條件時(shí)，修改接觸點(diǎn)起初的接觸狀態(tài)進(jìn)行重新求解，直至所有接觸點(diǎn)的接觸狀態(tài)都滿足接觸條件。

物理特征接觸狀態(tài)過程是依賴于時(shí)間，并且伴隨著材料的非線性以及幾何形狀的非線性變化的一個(gè)不確定過程。在一些特殊的接觸過程中，物體接觸界面的求解參數(shù)是未知的，如接觸區(qū)域、形狀和它的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的狀態(tài)等。這些求解的特點(diǎn)，決定了接觸問題一般采用增量法求解。

運(yùn)用增量求解方法時(shí)，首先將施加載荷分為若干個(gè)小單元f0，f1，…fm，那么相應(yīng)的變形位移也可以分為若干小單元a0，a1，……am。它的一般步驟是假設(shè)第m步的載荷fm和相對(duì)應(yīng)的位移am已知，而下一步施加的載荷增加為fm+1=(fm+Δfm)，再求解am+1=(am+Δam)。假設(shè)每一步的載荷增量足夠小，那么解函數(shù)的收斂性可以保證。同時(shí),可以求解得到在加載過程中每一階段的中間數(shù)值結(jié)果，以便研究結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力等參數(shù)隨著載荷變化的具體情況。

接觸條件的約束關(guān)系均是不等式的，所以其被稱為單邊約束關(guān)系。此外，接觸區(qū)域的范圍和接觸狀態(tài)都是未知的，怎樣將接觸面條件巧妙地引入求解過程是求解接觸問題的關(guān)鍵。針對(duì)非線性接觸問題的特殊性，一般的求解過程都要經(jīng)過試探-校核的嘗試迭代方法進(jìn)行逐步求解，每一個(gè)增量步的求解迭代過程可以歸納為：

（1）根據(jù)上一增量步的求解結(jié)果和當(dāng)前增量步所給定的載荷條件，經(jīng)過接觸狀態(tài)條件的檢查和搜索，假定此增量步的第一次迭代的接觸面和接觸狀態(tài)已知。這里的接觸狀態(tài)一般有“滑動(dòng)”狀態(tài)或“粘著”狀態(tài)。

（2）根據(jù)第一步的假設(shè)，對(duì)于接觸區(qū)域上的所有點(diǎn)，把運(yùn)動(dòng)學(xué)或者動(dòng)力學(xué)的理論關(guān)系上的不等式約束條件改為等式約束條件，作為定解條件帶入方程并進(jìn)行求解。

（3）利用接觸區(qū)域上的初次計(jì)算結(jié)果和步驟（2）中所提及的運(yùn)動(dòng)學(xué)或者動(dòng)力學(xué)的不等式約束關(guān)系，對(duì)初步假設(shè)的某一種接觸狀態(tài)進(jìn)行檢查校驗(yàn)。如果接觸區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)都滿足校核條件，即完成了本增量步的求解過程并進(jìn)入下一個(gè)增量步的計(jì)算，否則就要審視并修改相應(yīng)的接觸狀態(tài)，返回到步驟（1）進(jìn)行再次搜索和迭代求解，直至所有接觸區(qū)域上點(diǎn)的解狀態(tài)都滿足良好的校核條件，進(jìn)而再進(jìn)入下一個(gè)增量步進(jìn)行求解[1]。

2 有限元軟件的接觸分析

2.1 ANSYS的接觸類型

ANSYS Workbench分析軟件共存在兩種接觸類型。它們分別是剛體-柔體類型和柔體-柔體接觸類型。剛-柔接觸，指是適用于兩個(gè)剛體之間相差較大的物體之間的接觸，一般認(rèn)為剛度較大的物體為剛體。通常，一種軟（塑性）材料和一種硬（脆性）材料的接觸，即可被定義為剛-柔接觸類型。柔體-柔體之間的接觸是普遍應(yīng)用的一種接觸類型，一般需要假設(shè)兩個(gè)接觸物體都是變形體，它是指適用于彈性模量和結(jié)構(gòu)剛性都相等或者比較接近的物體之間的接觸。

2.2 ANSYS的接觸方式

ANSYS Workbench分析軟件存在三種接觸方式。它們分別是點(diǎn)與點(diǎn)的接觸方式、點(diǎn)與面的接觸方式以及面與面的接觸方式。點(diǎn)與點(diǎn)接觸方式主要用于模擬點(diǎn)和點(diǎn)之間的接觸行為，分析者需預(yù)先知道準(zhǔn)確的接觸點(diǎn)位置，其僅僅適用于模擬分析接觸區(qū)域之間有微小的相對(duì)滑動(dòng)的情況。點(diǎn)與面的接觸方式是指允許在接觸區(qū)域內(nèi)某一個(gè)節(jié)點(diǎn)和被接觸物體的接觸區(qū)域的某一單元體相接觸，接觸位置可以不用十分精確，而且接觸區(qū)域之間不需要有一致的網(wǎng)格，同時(shí)此種接觸方式允許有物體之間的熱傳導(dǎo)、有較大的變形和比較明顯的相對(duì)滑動(dòng)等非線性行為。面與面的接觸方式，相對(duì)計(jì)算量較少，可適用于復(fù)雜的表面、大變形以及含有摩擦力的復(fù)雜接觸問題的求解。齒輪嚙合傳動(dòng)過程中，接觸部位的剛度變化，會(huì)導(dǎo)致齒面的實(shí)際接觸部位位于接觸線附近有限的齒面上，齒面發(fā)生相互作用時(shí)，其接觸區(qū)域內(nèi)的接觸節(jié)點(diǎn)位置是不固定的，并且齒面的相對(duì)滑動(dòng)也是存在的，因此點(diǎn)-點(diǎn)接觸方式是不適合斜齒輪嚙合接觸分析的。對(duì)于點(diǎn)-面接觸方式，可以把接觸面設(shè)定為一組有規(guī)律的節(jié)點(diǎn)，從而代替面-面的接觸方式。面-面接觸單元相比點(diǎn)-面接觸單元就有很大的優(yōu)勢，比如，它的接觸單元不受剛體接觸面形狀的限制，面-面接觸單元允許有接觸表面不連續(xù)性的存在；允許有大的位移滑動(dòng)和摩擦的存在，協(xié)調(diào)剛度陣的計(jì)算，面-面接觸單元有不對(duì)稱的剛度選項(xiàng)。

2.3 ANSYS的接觸算法

ANSYS Workbench分析軟件有三種求解非線性接觸問題的算法：罰函數(shù)法（Penalty method）、拉格朗日乘子算法（Lagrange method）和增廣拉格朗日乘子法（Augmented Lagrange method）。這里主要介紹拉格朗日乘子算法。

為了滿足無穿透的良好接觸條件，拉格朗日乘子算法增加了一個(gè)單獨(dú)變量，即接觸壓力，也就是說它增加了一個(gè)自由度。此算法不需要人為設(shè)定初始接觸剛度大小，它的穿透量為零，也就是說，它是可以直接實(shí)現(xiàn)真實(shí)良好接觸條件的，計(jì)算結(jié)果比較精確。但是，該方法由于新增加的接觸壓力，就增加了整個(gè)求解系統(tǒng)的變量數(shù)目，并且對(duì)角線元素全部為零的子矩陣也存在于剛度陣中，為了保持計(jì)算精度，必須施加附加的操作，這就給整個(gè)計(jì)算過程帶來困難。在嚙合的過程中，一對(duì)圓柱直齒齒輪的接觸狀態(tài)是不斷發(fā)生變化的，并且接觸力也有突變，接觸狀態(tài)會(huì)出現(xiàn)周期性振動(dòng)式的交替變化，單純的拉格朗日算法無法進(jìn)行求解來滿足接觸狀態(tài)周期性變化和突變條件。此算法主要適用于一些特殊單元界面的接觸分析問題。該算法也有不足之處，接觸物體之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但是它必須限制相對(duì)運(yùn)動(dòng)量，并且發(fā)生的接觸點(diǎn)準(zhǔn)確位置需要預(yù)先知道，人們才能夠施加界面單元。

3 結(jié)論

非線性接觸問題具有復(fù)雜性，筆者研究了接觸有限元方法，得出求解非線性接觸問題的迭代步驟，并分析了有限元軟件的接觸類型、方式以及算法，然后以一對(duì)嚙合齒輪為例，利用ANSYS Workbench軟件進(jìn)行接觸強(qiáng)度分析，

驗(yàn)證了該方法的可靠性。