☉浙江寧波市寧波大學附屬學校 葉元劍

一、背景介紹

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中課程內(nèi)容的教學要求（以下簡稱“課標要求”）是課堂教學活動的指南，也是教學評價的尺度和標準.但在以浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊第四章第1節(jié)“用字母表示數(shù)”為載體的“多人同課異構”式的研修活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學普遍與“課標要求”存在較大偏差.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似的現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思基礎上，對該課的教學進行重建，改進后的教學過程與效果得到了同仁的認可.現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

二、教學實錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧并提出問題的過程——明確研究問題.

師：在小學，我們學過用數(shù)表示具體的量，知道數(shù)能簡明地表示不同意義的量和數(shù)量關系，并且數(shù)可以參與運算，能給研究數(shù)學和解決問題帶來方便.在小學，我們也學過用字母表示數(shù).例如，用字母表示未知量，用字母表示圓的面積公式：S=πr2，用字母表示路程、時間、速度的關系：S=vt，用字母表示加法交換律：a+b=b+a……用字母表示數(shù)有何意義？本節(jié)課就來研究這個問題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：經(jīng)歷產(chǎn)生含有字母的式子的過程——滲透用字母表示數(shù)的意義.

師：中國工程院院士袁隆平研究的超級雜交水稻，以單季畝產(chǎn)1138kg創(chuàng)世界紀錄.問：

（1）若某人種3畝這樣的水稻，總產(chǎn)量是多少？你是怎樣計算的？

（2）若某人種10畝這樣的水稻，總產(chǎn)量是多少？你是怎樣計算的？

（3）一般地，可以提出怎樣的問題？

師（稍停頓后）：誰來解答（1）？

生1：因為總產(chǎn)量＝畝產(chǎn)×種植畝數(shù)，所以種3畝這樣水稻的總產(chǎn)量=1138×3=3414（kg）.

師：好的.你用的是從一般到特殊的思想.誰來解答（2）？

生2：因為總產(chǎn)量＝畝產(chǎn)×種植畝數(shù)，所以種10畝這樣水稻的總產(chǎn)量=1138×10=11380（kg）.

師：好的.誰來解答（3）？

生3：若某人種n畝這樣的水稻，總產(chǎn)量是多少？

師：不錯.類似地，能計算種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量嗎？

生3：因為總產(chǎn)量＝畝產(chǎn)×種植畝數(shù)，所以種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量=1138×n（kg）.

師：這里“1138×n”表示什么？

生3：它表示種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量.

生4：它表示計算種這樣水稻的總產(chǎn)量的式子.

生5：當n取不同數(shù)時，它表示一個會變化的數(shù)值.

師：了不起！能給“1138×n”作出多種解釋.它是算式“1138×3，1138×10……”的抽象概括，一般化地、簡明地表達了種這樣水稻的總產(chǎn)量與畝產(chǎn)及種植畝數(shù)的關系，其數(shù)學意義是1138與n的乘法運算，其實際意義是種n畝這樣水稻的總產(chǎn)量.

師：為何1138與表示種植畝數(shù)的n可以一起參與運算？

生6：因為數(shù)可以參與運算，而n表示數(shù)，所以1138與表示數(shù)的n可以一起參與運算.

師：有道理.字母和數(shù)一樣可以參與運算.但數(shù)和表示數(shù)的字母相乘，或字母和字母相乘時，乘號可以省略不寫，或用“·”來代替.數(shù)和字母相乘，在省略乘號時，要把數(shù)寫在字母的前面.例如，1138×n可以寫成1138n或1138·n，但不能寫成n1138.

師：奶粉每罐200元，橘子每千克6元.問：

（1）若買2罐奶粉和3千克橘子，則共需多少元？

（2）若買3罐奶粉和5千克橘子，則共需多少元？

（3）一般地，可以提出怎樣的問題？

師（稍停頓后）：誰來解答（1）？

生7：因為購買物品的應付款＝物品的價格×購買物品的數(shù)量，所以買2罐奶粉和3千克橘子的應付款=200×2+6×3=400+18=418（元）.

師：好的.你用的是從一般到特殊的思想.誰來解答（2）？

生8：買3罐奶粉和5千克橘子的應付款＝200×3+6×5=600+30=630（元）.

師：不錯.誰來解答（3）？

生9：若買a罐奶粉和b千克橘子，則共需多少元？

師：不錯.類似地，能計算買a罐奶粉和b千克橘子共需多少元嗎？

生9：買a罐奶粉和b千克橘子共需（200a+6b）元.

師：你不但計算正確，而且書寫規(guī)范.用字母表示數(shù)的結果是加減運算時，如有單位，要將式子用括號括起來.

師：這里“200a+6b”表示什么？

生10：它表示買a罐奶粉和b千克橘子所需要的錢數(shù)，也表示200×a+6×b.

生11：當a、b取不同數(shù)時，它表示一個會變化的數(shù)值.

師：不錯.它是算式“200×2+6×3，200×3+6×5……”的抽象概括，一般化地、簡明地表達了應付款與奶粉的價格、購買量及橘子的價格、購買量的關系，其數(shù)學意義是200×a+6×b，其實際意義是買a罐奶粉和b千克橘子所需要的錢數(shù).

師：長方體的體積=長方體的長×長方體的寬×長方體的高.問：

（1）若一個長方體包裝盒的長是70cm，寬是50cm，高是30cm，則它的體積是多少？

（2）若一個長方體包裝盒的長是90cm，寬是60cm，高是20cm，則它的體積是多少？

（3）一般地，可以提出怎樣的問題？

師（稍停頓后）：誰來解答（1）？

生12：因為長方體的體積＝長×寬×高，所以它的體積=70×50×30=105000（cm3）.

師：你運用了從一般到特殊的思想.誰來解答（2）？

生13：因為長方體的體積＝長×寬×高，所以它的體積=90×60×20=108000（cm3）.

師：好的.誰來解答（3）？

生14：若一個長方體的長是acm，寬是bcm，高是ccm，則它的體積是多少？

師：它的體積是多少？

生14：它的體積是abccm3.

師：這里“abc”表示什么？

生15：它表示長方體的體積，也表示a×b×c.

生16：當a、b、c取不同數(shù)時，它表示一個會變化的數(shù)值.

師：好的.它是算式“70×50×30，90×60×20……”的抽象概括，一般化地、簡明地表達了長方體的體積與其長、寬、高的關系，其數(shù)學意義是a×b×c，其幾何意義是長為acm、寬為bcm、高為ccm的長方體的體積.

環(huán)節(jié)3：參與用字母表示數(shù)的活動——體驗用字母表示數(shù)的意義.

師：下面請大家依次回答下列問題.

問題1：下列表述中，字母表示什么？

（1）正方形的面積為a2.

（2）七年級（1）班有男生20人，全班共有（20+a）名同學.

（3）買20千克西瓜需20s元.

（4）底面積為50cm2的長方體的體積為100hcm3.

師（稍停頓后）：誰來回答這個問題？

生17：（1）中的a表示正方形的邊長；（2）中的a表示七年級（1）班的女生人數(shù)；（3）中的s表示西瓜的價格；（4）中的h表示長方體的高.

師：恭喜你，全對！一般地，表示數(shù)的字母可以表示什么？

生17：表示數(shù)的字母可以表示不同意義的量.

師：不錯.你運用了歸納思想.字母可以表示不同意義的量，還可以一般化地表示數(shù).

問題2：（1）若長方形的長是a米，寬是3米，則它的面積是多少？周長是多少？

（2）若小明每小時走v千米，則1.5v表示什么？tv表示什么？

（3）若練習簿的單價為a元，則100本練習簿的總價是多少？

（4）某產(chǎn)品前年產(chǎn)量是n件，去年產(chǎn)量是前年產(chǎn)量的m倍，則去年產(chǎn)量是多少？

師（稍停頓后）：誰來回答？

生18：（1）它的面積是3a平方米，它的周長是2（a+3）米；（2）1.5v表示小明走1.5小時的路程，tv表示小明走t小時的路程；（3）100本練習簿的總價是100a元；（4）去年產(chǎn)量是nm件.

師：太好了，能脫口而出.一般地，含有字母的式子能表示什么？

生18：含有字母的式子能一般化地、簡明地表示數(shù)和數(shù)量關系.

師：好的.含有字母的式子還表示某些運算.

問題3：字母還可以表示數(shù)學規(guī)律.例如，加法交換律：a+b=b+a；乘法結合律：（ab）c=a（bc）；等.能再舉幾個用字母表示數(shù)學規(guī)律的例子嗎？

生19：數(shù)a的相反數(shù)可用-a表示，數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)可用表示.

生20：分配律可用a（b+c）=ab+ac表示，數(shù)a的立方根可用表示.

……

師：這說明含有字母的式子還能一般化地、簡明地表示數(shù)學規(guī)律.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——內(nèi)化用字母表示數(shù)的意義.

師：由于字母可以表示不同意義的量，所以含有字母的式子可以有多種解釋.能賦予“3a”不同的意義嗎？請大家給出盡可能多的解釋.

生21：3a表示3×a，當a取不同數(shù)時，3a是一個會變化的數(shù)值.

生22：a可以表示數(shù)量，如葡萄的價格是3元/千克，則3a表示買a千克葡萄的金額.

生23：a可以表示長度，如一個正三角形的邊長為a千米/時，3a表示這個正三角形的周長.

生24：a可以表示速度，如一個人行走的速度為a，3a表示這個人走3小時的路程.

……

師：了不起！能從數(shù)學意義、實際意義、幾何意義、物理意義等角度，賦予“3a”不同的意義.這進一步說明表示數(shù)的字母可以表示不同意義的量，表示數(shù)的字母可以與數(shù)一起參與運算，含有字母的式子能一般化地、簡明地表示數(shù)、數(shù)量關系和數(shù)學規(guī)律，并且同一個含有字母的式子具有不同的意義，即一個含有字母的式子可以看成許多實際問題的數(shù)學抽象.課后請大家繼續(xù)賦予“”

不同的意義.評價標準：給出2種解釋為合格，給出4種解釋為良好，能至少給出5種解釋為優(yōu)秀.

三、教學分析

從具體的量過渡到抽象的數(shù)，這是數(shù)學發(fā)展史中的第一次飛躍；從具體的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，并與數(shù)一起參與運算，這是數(shù)學發(fā)展史中的又一次飛躍.盡管學生在小學階段接觸過用字母表示數(shù)，但學生在小學階段對用字母表示數(shù)的意義的認識是非常膚淺的.“用字母表示數(shù)”的“課標要求”是“理解用字母表示數(shù)的意義”.這條課程目標可以分解為：能知道表示數(shù)的字母和數(shù)一樣可以表示不同意義的量，表示數(shù)的字母可以與數(shù)一起參與運算；能知道含有字母的式子與相應算式的關系，表示數(shù)的字母可以取不同的數(shù)，當字母取不同的數(shù)時，其相應的含有字母的式子表示一個會變化的數(shù)值；能知道含有字母的式子能一般化地、簡明地表示數(shù)、數(shù)量關系和數(shù)學規(guī)律；能體驗含有字母的式子可以從數(shù)學意義和實際意義的角度作出多種解釋；能體驗用字母表示數(shù)能給研究數(shù)學和解決問題帶來方便.但目前許多教師對“理解用字母表示數(shù)的意義”的理解沒有達到一定的“深度”，導致該課的實踐方式達不到“理解用字母表示數(shù)的意義”的要求.例如，在“產(chǎn)生含有字母的式子”的教學中，有些教師只用單一的情景直接列出含有字母的式子，并且列出含有字母的式子之后反思過程缺失，導致失去了學生感悟從特殊到一般思想、數(shù)學抽象思想、函數(shù)思想等的機會，也沒有滲透用字母表示數(shù)的意義.在“用字母表示數(shù)”的教學中，大多數(shù)教師只要求學生回答給定的問題，而沒有回答問題之后的“舉三反一”的抽象概括過程，導致學生對用字母表示數(shù)的意義的理解沒有達到一定的“深度”.在“回顧與思考”的教學中，大多數(shù)教師沒有引導學生經(jīng)歷“舉一反三”解釋含有字母的式子的過程，導致失去了發(fā)展學生發(fā)散性思維能力的機會，也不能滿足學生體驗含有字母的式子的意義的需要.

本課例在“精致化”分析基礎上，將其教學立意定位于“體驗意義、感悟思想、積累經(jīng)驗”，并以有價值的題材為載體，從學生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，運用從特殊到一般、從具體到抽象的思維策略和教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經(jīng)歷了完整的認知過程.在“回顧并提出問題”的教學中，既有回顧用數(shù)表示量的意義和列舉小學用字母表示數(shù)的例子，以激活新知識的“生長點”，又有提出問題的過程，以建立新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學生的學習興趣.在“產(chǎn)生含有字母的式子”的教學中，既有從列算式到列含有字母的式子的過程，以產(chǎn)生含有字母的式子，又有產(chǎn)生含有字母的式子之后的反思，以獲得用字母表示數(shù)的一些事實.在“用字母表示數(shù)”的教學中，既有學生自主思考基礎上的交流，以明確給定問題的答案，又有解答問題之后的“舉三反一”的抽象概括，以進一步明確表示數(shù)的字母可以表示不同意義的量，含有字母的式子能一般地、簡明地表示數(shù)、數(shù)量關系和數(shù)學規(guī)律.在“回顧與思考”的教學中，既有引導學生“舉一反三”解釋含有字母的式子的意義的過程，以明確一個含有字母的式子具有數(shù)學意義、實際意義、物理意義、幾何意義等，又有教師總結性講解，以進一步顯化用字母表示數(shù)的意義和感悟其中所蘊含的數(shù)學思想.

參與研修的教師普遍認為，本節(jié)課遵循了體驗學習的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過程教育和以學為中心的思想，能實現(xiàn)“理解用字母表示數(shù)的意義”的課程目標.因此，一般地，實現(xiàn)過程性目標要經(jīng)歷“滲透、顯化、強化、內(nèi)化”的過程，并要把教學的側重點放在“產(chǎn)生對象”和“解決問題”之后的反思上，以幫助學生體驗對象的意義、感悟所蘊含的數(shù)學思想、體會對象從哪里來和往何處去等.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.范良火.義務教育教科書·數(shù)學（七年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.