嚴(yán)蘭蘭，溫榮生，饒智勇

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三次三角域Bézier曲面的同次擴(kuò)展

嚴(yán)蘭蘭，溫榮生，饒智勇

(東華理工大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013)

為了在不提升基函數(shù)次數(shù)的前提下賦予三次三角域Bézier曲面形狀調(diào)整的能力，構(gòu)造了一組含一個(gè)參數(shù)的三次雙變量基函數(shù)，由之定義了由10個(gè)控制頂點(diǎn)確定的三角域曲面片。新曲面具有角點(diǎn)插值性，在角點(diǎn)處的切平面為由角點(diǎn)和其所在的兩條邊上與之相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的平面。改變參數(shù)取值，可以調(diào)整曲面形狀。為了方便應(yīng)用，給出了曲面片之間的1光滑拼接條件及曲面的幾何迭代算法，分析了算法的收斂性以及收斂速度與參數(shù)取值之間的關(guān)系。圖例顯示了所給方法的正確性和有效性。

三角域Bézier曲面；形狀調(diào)整；幾何迭代；插值；曲面拼接

在幾何設(shè)計(jì)中，Bézier方法是應(yīng)用較為廣泛的曲線曲面表示方法之一，其包括Bézier曲線、四邊域上的張量積Bézier曲面、三角域上的Bernstein- Bézier曲面。雖然Bézier方法具有很多利于形狀設(shè)計(jì)的優(yōu)良性質(zhì)，但也存在不足。當(dāng)控制頂點(diǎn)給定時(shí)，Bézier曲線曲面的形狀便被唯一確定，若要調(diào)整形狀，只能修改控制頂點(diǎn)，重新計(jì)算曲線曲面方程。這種方式不僅使用不便，而且當(dāng)控制頂點(diǎn)是取自實(shí)物的精確測(cè)量點(diǎn)時(shí)，修改控制頂點(diǎn)顯得有些勉強(qiáng)。

與曲面相比，曲線結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，更易于討論，目前有很多文獻(xiàn)通過在基函數(shù)中引入?yún)?shù)，來賦予Bézier曲線形狀調(diào)整的能力。由于張量積Bézier曲面與Bézier曲線均以單變量Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)，因此只要構(gòu)造出能對(duì)Bézier曲線作改進(jìn)的基函數(shù)，就可以對(duì)張量積Bézier曲面作出相應(yīng)改進(jìn)。然而Bernstein-Bézier曲面為非張量積形式，其采用雙變量Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)，要想對(duì)三角域Bézier曲面作改進(jìn)，必須單獨(dú)為其構(gòu)造基函數(shù)。

三角域曲面具有重要的應(yīng)用價(jià)值，其可以避免矩形域曲面片出現(xiàn)退化的問題，適合于不規(guī)則與散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的幾何造型，因此研究帶形狀參數(shù)的三角域曲面片的構(gòu)造方法是有意義的。目前圍繞三角域Bézier曲面在形狀調(diào)整方面的不足進(jìn)行改進(jìn)的成果主要有：文獻(xiàn)[1]和[2]分別構(gòu)造了含3個(gè)、6個(gè)參數(shù)的三次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，定義了以二次三角域Bézier曲面為特例的曲面；文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了含3個(gè)參數(shù)的三次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，文獻(xiàn)[4]和[5]分別構(gòu)造了含1個(gè)、2個(gè)參數(shù)的四次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，文獻(xiàn)[3-5]中的曲面都以三次三角域Bézier曲面為特例；文獻(xiàn)[6]和[7]分別構(gòu)造了含1個(gè)、多個(gè)參數(shù)的次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，定義了以任意次三角域Bézier曲面為特例的曲面；文獻(xiàn)[8]構(gòu)造了+1次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，定義了以任意次三角域Bézier曲面為特例的含多個(gè)形狀參數(shù)的曲面；文獻(xiàn)[9]在初始三次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)的基礎(chǔ)上遞推得到+1次基函數(shù)，文獻(xiàn)[10]和[11]在初始四次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)的基礎(chǔ)上遞推得到+2次基函數(shù)，文獻(xiàn)[9-11]中的曲面都含1個(gè)形狀參數(shù)，并以任意次三角域Bézier曲面為特例；文獻(xiàn)[12-14]定義了結(jié)構(gòu)與三次三角域Bézier曲面相同的含3個(gè)形狀參數(shù)的曲面，文獻(xiàn)[12]和[13]定義在三角多項(xiàng)式空間中，文獻(xiàn)[14]定義在指數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的混合空間中。

上述文獻(xiàn)均從純代數(shù)角度出發(fā)，直接給出含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)來定義新曲面，且少有文獻(xiàn)討論曲面的光滑拼接條件和幾何迭代算法，這不利于曲面的應(yīng)用。本文則基于由可調(diào)控制頂點(diǎn)定義可調(diào)曲面的直觀幾何思想，通過在控制頂點(diǎn)中引入?yún)?shù)，構(gòu)造含1個(gè)形狀參數(shù)的三次三角域Bézier曲面，討論了曲面的1光滑拼接條件，給出了曲面的幾何迭代算法及收斂性分性，為曲面的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，也為構(gòu)造其他類型的形狀可調(diào)曲線曲面提供了可以借鑒的思路和方法。

1 形狀可調(diào)曲面

1.1 曲面構(gòu)造原理

曲面(,,)具有輪換對(duì)稱性、凸包性、角點(diǎn)插值性；曲面的邊界曲線為由邊界控制頂點(diǎn)定義的三次Bézier曲線；曲面在角點(diǎn)處的切平面為由角點(diǎn)和其所在的兩條邊上與之相鄰的控制頂點(diǎn)張成的平面。

將*(,,)看作普通三次三角域Bézier曲面，即

則其控制頂點(diǎn)為

1.2 調(diào)配函數(shù)及性質(zhì)

其中，b(,,) (簡(jiǎn)記為b)的表達(dá)式如下

其中

由式(4)及雙變量三次Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)，可得雙變量函數(shù)的性質(zhì)如下：

(1) 退化性。當(dāng)=1時(shí)，雙變量函數(shù)為雙變量三次Bernstein基函數(shù)。

證明：設(shè)

由雙變量三次Bernstein基函數(shù)的線性無關(guān)性得

1.3 曲面性質(zhì)

由調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)，可知三角-Bézier曲面具備下列性質(zhì)：

(3) 角點(diǎn)插值性。曲面插值于控制網(wǎng)格的3個(gè)角點(diǎn)，即

(4) 角點(diǎn)切平面。曲面在角點(diǎn)(1,0,0)處的切平面由點(diǎn)300、210和201張成；在角點(diǎn)(0,1,0)處的切平面由點(diǎn)030、120和021張成；在角點(diǎn)(0,0,1)處的切平面由點(diǎn)003、012和102張成。

圖1 取不同參數(shù)的三角l-Bézier曲面

2 曲面拼接

為了滿足描述復(fù)雜形狀的需求，下面討論三角-Bézier曲面的光滑拼接條件。

2.1 三次三角域Bézier曲面的拼接

設(shè)有兩張三次三角域Bézier曲面

其中，、為任意因子。條件式(9)可轉(zhuǎn)化為

式(8)、(10)即為三次三角域Bézier曲面的1光滑拼接條件。

2.2 三角l-Bézier曲面的拼接

設(shè)有兩張三角-Bézier曲面

由式(8)可知，當(dāng)

進(jìn)一步地，由式(10)可知，若

3 曲面的幾何迭代算法

幾何迭代法[15]具有明確的幾何意義。該方法從一條初始曲線或一張初始曲面開始，通過迭代調(diào)整其控制頂點(diǎn)，使曲線曲面插值或逼近給定點(diǎn)列。

3.1 算法描述

(c)

構(gòu)造第+1次迭代曲面

3.2 收斂性分析

即曲面序列收斂到插值初始點(diǎn)列的曲面，則稱三角-Bézier曲面對(duì)均勻參數(shù)具有漸進(jìn)迭代逼近性質(zhì)。

將賦給控制頂點(diǎn)的參數(shù)也按字典排序法排列，即

由式(17)可得

其中，為10階單位矩陣；為調(diào)配函數(shù)(18)關(guān)于參數(shù)序列式(19)的配置矩陣，即

圖3 迭代所得三角l-Bézier曲面

4 結(jié)束語

本文從純幾何角度出發(fā)對(duì)三次三角域Bézier曲面從形狀表示的靈活性角度進(jìn)行擴(kuò)展，通過在控制頂點(diǎn)中引入?yún)?shù)，再與雙變量Bernstein基函數(shù)作線性組合來定義曲面，當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，定義曲面的潛在控制頂點(diǎn)發(fā)生改變，曲面形狀隨之變化。在賦予曲面形狀可調(diào)性時(shí)，本文既未改變基函數(shù)的函數(shù)類型，也未提升基函數(shù)的多項(xiàng)式次數(shù)。為降低曲面拼接條件的分析難度，先給出傳統(tǒng)三次三角域Bézier曲面的拼接條件，再通過形狀可調(diào)曲面與三次三角域Bézier曲面之間的關(guān)系，給出了新曲面的1光滑拼接條件。為構(gòu)造視覺上插值于控制頂點(diǎn)的三角域曲面，討論了曲面的幾何迭代算法，對(duì)其收斂性、收斂速度進(jìn)行了分析，為曲面應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

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Extension of the Cubic Triangular Bézier Surface of the Same Degree

YAN Lanlan, WEN Rongsheng, RAO Zhiyong

(College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China)

In order to endow the cubic triangular Bézier surface the ability of shape adjustment, this paper constructs a set of cubic bivariate basis functions with a parameter and defines a new triangular surface determined by ten control points. The new surface has corner interpolation property. The tangent planes at the corner points are determined by the corner points and the two adjacent points which lie on the same edges. Changing the parameter value can adjust the shape of the surface. For convenient application, the1smooth join condition and the geometric iterative algorithm of the surface are given. The convergence as well as the relationship of the convergent rate and the parameter selection of the algorithm is analyzed. The legends show the correctness and validity of the method.

triangular Bézier patch; shape adjustment; geometric iteration; interpolation; surface joining

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2018010097

A

2095-302X(2018)01-0097-07

2017-05-18；

2017-06-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261003，11761008)；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20161BAB211028)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ160558)

嚴(yán)蘭蘭(1982–)，女，湖北浠水人，副教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：yxh821011@aliyun.com