林 松

（江蘇省儀征市第三中學(xué)）

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建模型解決問題的過(guò)程.從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，也可以理解成是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程.章建躍博士指出，數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的外化形式，數(shù)學(xué)素養(yǎng)訴諸數(shù)學(xué)實(shí)踐表現(xiàn)為數(shù)學(xué)能力，離開數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中就無(wú)從表現(xiàn)、觀察、確證和把握.因此，從素養(yǎng)層面上講，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)建模能力的內(nèi)化形式，而數(shù)學(xué)建模能力屬于實(shí)踐活動(dòng)范疇，在實(shí)際教學(xué)中是可以操作和評(píng)價(jià)的.所以初中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)融會(huì)在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過(guò)程之中，在建模教學(xué)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)、能力、素養(yǎng)的共同提升.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過(guò)程簡(jiǎn)化為這樣的三個(gè)環(huán)節(jié)：首先，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題；然后，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.這一步中，學(xué)生要通過(guò)觀察、分析、抽象、概括、選擇、判定等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型.這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié).最后，通過(guò)模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義.如何培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)？筆者認(rèn)為可以圍繞數(shù)學(xué)建模的三個(gè)環(huán)節(jié)，做以下四個(gè)方面的努力.

一、培養(yǎng)動(dòng)眼能力，從數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)問題

建模教學(xué)要求從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.面對(duì)具體的情境，學(xué)生首先要學(xué)會(huì)動(dòng)眼觀察，要從數(shù)學(xué)的視角去觀察現(xiàn)實(shí)生活和具體情境，要擁有一雙數(shù)學(xué)的眼睛.動(dòng)眼不能流于形式，要有數(shù)學(xué)的思考，要學(xué)會(huì)將教學(xué)情境抽象化、符號(hào)化.因而要培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)眼觀察能力，深度感知其中存在的數(shù)學(xué)模型就顯得尤為重要.

例如，在蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第11章第1節(jié)“生活中的不等式”一課的教學(xué)中有如下的教學(xué)情境.

情境1：天平左盤中放有三個(gè)質(zhì)量都為x克的小球，右盤放5克砝碼，此時(shí)天平平衡.

情境2：從天平左盤中拿去一個(gè)小球，此時(shí)天平發(fā)生傾斜.

情境3：向左盤中加一個(gè)重m克的物體，可能有哪些情況？

此情境設(shè)計(jì)的意圖是讓學(xué)生通過(guò)觀察天平平衡到天平發(fā)生傾斜，讓學(xué)生的思維從“相等”走向“不等”，從而實(shí)現(xiàn)從方程模型到不等式模型的過(guò)渡.教學(xué)中，首先，要讓學(xué)生帶著目的去觀察這個(gè)實(shí)驗(yàn)情境；其次，要讓學(xué)生用科學(xué)的方法去觀察，觀察的方法有很多.例如，全面觀察法、比較觀察法、定量觀察法等，不同的內(nèi)容有不同的觀察方法，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察前，根據(jù)觀察目的選擇合適的觀察方法，有重點(diǎn)、有針對(duì)性地進(jìn)行觀察；最后，要有一定的內(nèi)容記載，如向左盤中加一個(gè)重m克的物體，讓學(xué)生觀察發(fā)生的結(jié)果，這個(gè)過(guò)程就需要學(xué)生進(jìn)行記載，可以采用表格或記錄單的形式，將學(xué)生的觀察結(jié)果記錄下來(lái)，便于以后的思考總結(jié).在整個(gè)情境教學(xué)過(guò)程中，動(dòng)眼觀察是必須的，但在觀察的背后要有數(shù)學(xué)的思考，要善于發(fā)現(xiàn)隱藏在現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)問題.教師要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地看情境，抽象地、一般性地發(fā)現(xiàn)問題.愛因斯坦說(shuō)過(guò)：你能不能觀察到眼前的現(xiàn)象，不僅僅取決于你的肉眼，還要取決于你用什么樣的思維，思維決定你到底能觀察到什么.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生用心去看情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，要引導(dǎo)學(xué)生看到事物背后隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì).如果教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中經(jīng)常性設(shè)置帶有數(shù)學(xué)思考的情境，并讓學(xué)生去觀察思考，讓學(xué)生擁有一雙數(shù)學(xué)的眼睛，那么觀察就成為一種習(xí)慣，習(xí)慣養(yǎng)成了，素養(yǎng)也就自然形成了.

二、培養(yǎng)動(dòng)口能力，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去提出問題和表達(dá)問題

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體，數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容就是學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力的培養(yǎng).要讓學(xué)生在課堂上敢于張口說(shuō)話，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問題.

例如，“生活中的不等式”教學(xué)情境引入后，教師要讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)：情境1中的天平平衡如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá)？情境2中的天平發(fā)生傾斜如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá)？情境3中的向左盤中加一個(gè)重m克的物體后，我們看到了什么現(xiàn)象，又如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá)？我們還可以讓學(xué)生進(jìn)行這樣的思考：如果向左盤中加一個(gè)重m克的物體后，在下列可能情況下如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá)？

情況1：天平向左傾斜；

情況2：天平向右傾斜；

情況3：天平平衡或向右傾斜；

情況4：天平平衡或向左傾斜；

情況5：天平不平衡.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)谩埃尽薄埃肌薄啊堋薄啊荨薄啊佟北硎疽陨?種可能，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表述.在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行探究交流.

（1）議一議：以上式子有什么特點(diǎn)？

（2）你還能舉出其他具有不等關(guān)系的實(shí)例嗎？

最后讓學(xué)生用語(yǔ)言概括不等式概念：以上這些用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式.

在方程、不等式、函數(shù)的建模教學(xué)中，我們一般的做法是先展示一些相關(guān)實(shí)際問題，讓學(xué)生嘗試說(shuō)出（或?qū)懗觯┍磉_(dá)式，然后再去找出其一般性的規(guī)律特點(diǎn).不僅要讓學(xué)生說(shuō)出表達(dá)式的內(nèi)容，還要說(shuō)出理由.但當(dāng)下學(xué)生不愿張口說(shuō)話已經(jīng)成為課堂中很常見的一種現(xiàn)象.其中的主要原因有三種：一是學(xué)生自身的原因，是羞于說(shuō)話等一些非智力因素；二是學(xué)生缺少課堂表達(dá)的機(jī)會(huì)，動(dòng)口說(shuō)話的能力漸漸弱化；三是教師未重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)，使得學(xué)生難以規(guī)范運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問題.因此，教師應(yīng)該首先在課堂中強(qiáng)化激勵(lì)機(jī)制，進(jìn)行正面的引導(dǎo)，讓學(xué)生不羞于說(shuō)話，而是積極發(fā)言；其次，要給學(xué)生多一些表達(dá)的機(jī)會(huì)，讓不同的學(xué)生都有話說(shuō)，讓學(xué)生擁有課堂上的話語(yǔ)權(quán)，讓課堂成為學(xué)生表達(dá)觀點(diǎn)、放飛思維的場(chǎng)所；三是要加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)，讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言有條理、準(zhǔn)確地闡述觀點(diǎn)，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言合乎邏輯地進(jìn)行討論，揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

三、培養(yǎng)動(dòng)腦能力，用數(shù)學(xué)的思維去分析問題和求解模型

思維是數(shù)學(xué)的靈魂，沒有思維，數(shù)學(xué)就失去了生命和活力.以思維為基礎(chǔ)，能力提升才能得到有效的落實(shí).章建躍先生認(rèn)為，從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點(diǎn)和歸宿來(lái)看，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，發(fā)展學(xué)生的理性精神，這是根本.數(shù)學(xué)的思維可以使學(xué)生對(duì)事物進(jìn)行正確的判斷和分析，形成數(shù)學(xué)學(xué)科特定的認(rèn)識(shí)世界和改造世界的世界觀和方法論.在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，學(xué)生可以通過(guò)信息的重組，獲取解決問題的有效信息，并做出合理的假設(shè)和推斷.能根據(jù)問題情境中的信息提出數(shù)學(xué)問題，能通過(guò)分析情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用知識(shí)、方法等解決非常規(guī)問題.

在過(guò)去的不等式教學(xué)中，我們重視的是對(duì)不等式定義、不等式類型等顯性知識(shí)的教學(xué)，忽視了對(duì)程序性知識(shí)和策略性知識(shí)等隱性知識(shí)的學(xué)習(xí).缺少了不等式概念形成的過(guò)程性教學(xué)，學(xué)生的思維能力未得到有效培養(yǎng).而現(xiàn)在，我們可以讓學(xué)生從生活情境中，把數(shù)量之間多與少的關(guān)系抽象為數(shù)之間大與小的關(guān)系，逐漸形成對(duì)不等式概念的深層理解，從而建立不等式模型.從學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的思想體悟來(lái)看，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)的多情境引入有助于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的調(diào)動(dòng)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)生.通過(guò)列不同類型的不等式，學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)會(huì)逐漸清晰，直至在頭腦中建立起不等式的模型，情境起到了從現(xiàn)實(shí)情境到模型化的作用，學(xué)生可以去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)腦思考的習(xí)慣.

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生生活常識(shí)的系統(tǒng)化，離不開學(xué)生現(xiàn)實(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生對(duì)此產(chǎn)生的思考.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)并不是新知識(shí)，在一定程度上是一種舊知識(shí).課堂上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生生活中有關(guān)數(shù)學(xué)現(xiàn)象和經(jīng)驗(yàn)的升華，每位學(xué)生都能從自己現(xiàn)實(shí)情況出發(fā)，建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)知識(shí).在教學(xué)中，教師要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同學(xué)段的要求，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，逐步使學(xué)生形成模型化素養(yǎng).

四、培養(yǎng)綜合運(yùn)用能力，嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型，最終解決實(shí)際問題

心理學(xué)告訴我們，數(shù)學(xué)模型（概念）在獲得后如不及時(shí)鞏固與內(nèi)化就會(huì)遺忘.所以運(yùn)用鞏固與吸收內(nèi)化數(shù)學(xué)模型（概念）具有十分重要的意義.數(shù)學(xué)建模是結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過(guò)程，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中不僅要能夠建立數(shù)學(xué)模型，還要能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型.

例如，“生活中的不等式”綜合運(yùn)用環(huán)節(jié)有這樣兩個(gè)層次的問題設(shè)計(jì).

問題1：表示下列問題中的不等關(guān)系.

（1）小李從出版社郵購(gòu)2本一樣的雜志，包括1元的郵費(fèi)在內(nèi)總價(jià)超過(guò)5元，如果設(shè)每本雜志x元，則可得不等式__________；（2x+1＞5.）

（2）把5 kg大米分別裝在2個(gè)同樣大小的袋子里，裝滿后剩余不足1 kg,若設(shè)每個(gè)袋子裝大米x kg,則可得不等式_______；（2x+1＞5或5-2x＜1.）

（3）一個(gè)長(zhǎng)為2 m的長(zhǎng)方形菜地的面積比5 m2少不到1 m2,設(shè)該菜地的寬為x m2,則可得不等式______.（2x+1＞5或5-2x＜1.）

問題2：（1）編一道包含不等關(guān)系的實(shí)際問題，并列出相關(guān)不等式；

（2）根據(jù)列出的不等式，你還能給它賦予另外一個(gè)問題背景嗎？

兩個(gè)不同層次的問題設(shè)計(jì)呈現(xiàn)了一個(gè)事實(shí)：不等式模型源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，不同的問題背景可以用同一個(gè)不等式表示，相同的不等式也可以賦予不同的問題背景.問題2給了學(xué)生廣闊的思維空間，教師可以充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生各抒己見，這樣有利于加深學(xué)生對(duì)不等式數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).自然的情境是生活化的，數(shù)學(xué)模型是形式化的，數(shù)學(xué)的形式化能從具體生活化的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，并用符號(hào)來(lái)表示，將問題進(jìn)行一般化.一般化超越了具體問題的情境，深刻地揭示了存在于一類問題中的共性和普遍性，把認(rèn)識(shí)和推理提到一個(gè)更高的水平.教師要結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過(guò)程.

綜上所述，在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，學(xué)生要把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)模型，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，最后利用數(shù)學(xué)的方法去分析、解決問題，這就需要學(xué)生具備敏銳的觀察能力、精確的語(yǔ)言表達(dá)能力、靈活的思維能力和綜合的運(yùn)用能力.這些能力的培養(yǎng)需要教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，充分發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生由被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)構(gòu)建，真正成為學(xué)習(xí)的主人.要把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)：讓學(xué)生動(dòng)眼——多看，動(dòng)嘴——多說(shuō)，動(dòng)腦——多思，動(dòng)手——多用.讓學(xué)生不再是整齊劃一、舉止呆板的“木偶”，而是一個(gè)個(gè)朝氣蓬勃、主動(dòng)探究、積極學(xué)習(xí)的生命體.只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到了提升，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的養(yǎng)成也就水到渠成了.