黃文峰，徐艷艷

(1. 株式會社MILIZE，日本 東京 105-0012； 2. 西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610039)

利率的變化既是現(xiàn)代金融市場的重要組成部分，也是現(xiàn)代金融理論中最為復(fù)雜的部分，涉及資產(chǎn)分析、金融產(chǎn)品定價(jià)以及風(fēng)險(xiǎn)管理的方方面面。對作為隨機(jī)過程的利率，研究人員以及市場參與者力求用精確的模型來刻畫它，以期準(zhǔn)確地計(jì)算各種金融產(chǎn)品的內(nèi)在價(jià)值。

在國際金融市場上，基于利率的金融衍生品占據(jù)了金融機(jī)構(gòu)間交易產(chǎn)品很大的份額?；Q(swap)是金融市場的一種重要合約，有許多種類。本文里的互換指的是標(biāo)準(zhǔn)利率互換(interest rate swap)，即一方以固定利率支付利息，獲取浮動利息，另一方收取固定利息，按浮動利率支付利息。互換期權(quán)(swap option，被簡稱為Swaption)是基于互換基礎(chǔ)上的期權(quán)。互換期權(quán)廣泛存在于國際金融市場，有流動性大的特點(diǎn)，它的理論價(jià)值(定價(jià))依從于利率的理論模型。正是基于這些特點(diǎn)，互換期權(quán)也是校正利率模型參數(shù)的一個(gè)重要工具。

從發(fā)展歷史看，利率模型經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜的過程，還從單因子演變到多因子，由期限均一類型演變成反映期限結(jié)構(gòu)的類型。利率模型的發(fā)展核心驅(qū)動因素便是模型能否快速有效地捕捉到市場信息，并準(zhǔn)確地給出利率的預(yù)測值。

僅就單因子的模型而言，經(jīng)典模型如Black-Scholes模型[1]、Black模型[2]利率呈對數(shù)正態(tài)分布，非常簡單，很多債券期權(quán)和利率上限、下限期權(quán)、互換期權(quán)都有理論解；但缺陷是利率模型不反映期限結(jié)構(gòu)，容易偏離市場實(shí)態(tài)。CIR模型[3]和Hull-White模型[4]能反映一定的期限結(jié)構(gòu)；但利率有變負(fù)值的可能，無法很好控制其變動范圍。Pelsser[5]提出的二次高斯模型(Quadratic Gaussian)可以保證利率為正值，也反映了一定的利率期限結(jié)構(gòu)；但遠(yuǎn)期利率值容易偏高，與雷曼事件后的全球性低利率甚至負(fù)利率金融環(huán)境不太相容。Kijima 等[6]推廣了二次高斯模型，稱作Quadratic Gaussian++模型(以下簡稱QG++)，與日本的低利率環(huán)境中比較吻合。Kishida等[7]在實(shí)際業(yè)務(wù)中，將QG++作為房產(chǎn)抵押債券定價(jià)用的利率模型，得到很多金融機(jī)構(gòu)的認(rèn)可。Huang等[8]再進(jìn)行推廣，加強(qiáng)對期限結(jié)構(gòu)的表達(dá)，以適應(yīng)短期負(fù)利率、長期低利率的金融環(huán)境。然而，QG++由于模型的復(fù)雜性，其參數(shù)的確定成為一個(gè)課題，也影響了它的廣泛使用。

校正利率模型常用的方法之一是通過計(jì)算互換期權(quán)價(jià)值來優(yōu)化利率模型參數(shù)，需要反復(fù)用到對互換期權(quán)的價(jià)值計(jì)算。除此之外，互換期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度(value at risk, VaR)測算、回顧測試(back test)也要用到互換期權(quán)價(jià)值的反復(fù)計(jì)算，因而互換期權(quán)價(jià)值的高速計(jì)算是必須克服的技術(shù)障礙。

互換期權(quán)價(jià)值在復(fù)雜利率模型下通常沒有解析公式，大多采用近似計(jì)算。比如Piterbarg[9]用到了Taylor展開，給出了通用公式；但未給出解析解答，計(jì)算貼現(xiàn)債券價(jià)值部分需隨時(shí)求解常微分方程組。Kim[10]在Taylor展開的基礎(chǔ)上，適當(dāng)選取狀態(tài)變量的取值空間，對每個(gè)利息支付時(shí)點(diǎn)使用Fourier變換求得互換期權(quán)價(jià)值的下限值。Gambaro等[11]發(fā)展了Kim[10]的方法，還確定了仿射型和二次高斯型多變量利率模型下互換期權(quán)價(jià)值的上限值，并將Kim[10]的多個(gè)Fourier變換縮減為一個(gè)Fourier變換。Kim[10]和Gambaro等[11]的這類方法的特點(diǎn)是具有通用性；但在狀態(tài)變量的取值空間選取上要消耗計(jì)算資源，而且計(jì)算貼現(xiàn)債券價(jià)值時(shí)要用到數(shù)值積分，影響了整體的計(jì)算速度。這類方法對QG++這樣的通過一定技巧可以推導(dǎo)出解析表達(dá)式的模型情況，計(jì)算速度上并不占優(yōu)勢。

本文針對QG++利率模型，通過測度變換和Taylor展開，將復(fù)雜的期望值計(jì)算轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布變量的二次多項(xiàng)式形式的期望值計(jì)算，進(jìn)而得到互換期權(quán)價(jià)值計(jì)算的近似方法。本方法不使用數(shù)值積分，也盡量避開了指數(shù)運(yùn)算，并在精度和速度2方面同時(shí)達(dá)到要求，在實(shí)際工作中發(fā)揮出重要作用。

1 利率模型QG++

1.1 利率模型QG++的隨機(jī)微分方程

Kijima等[6]將QG++模型作為Pelsser[5]的Quadratic Gaussian模型的推廣，定義為

(1)

式中：x為狀態(tài)變量，滿足x(0)=0；r(t)為瞬時(shí)利率；a、σ為正常數(shù)；α、β為常數(shù)；φ(t)為t時(shí)刻的確定性函數(shù)；W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

1.2 QG++模型的貼現(xiàn)債券價(jià)值計(jì)算

貼現(xiàn)債券價(jià)值，或者叫貼現(xiàn)因子(discount factor，DF)是金融產(chǎn)品定價(jià)的基礎(chǔ)。建立完一個(gè)利率模型，需要根據(jù)該模型算出貼現(xiàn)債券價(jià)值，即求出T時(shí)刻的單位面值的債券在該模型下現(xiàn)在時(shí)刻t的價(jià)值的期望值，根據(jù)下面的期望值公式計(jì)算：

(2)

式中：v(t,T;x(t))是單位面值債券的貼現(xiàn)價(jià)值；Et為時(shí)刻t的中立測度下的期望算子。

將式(1)代入，根據(jù)Feynman-Kac定理，可知式(2)滿足下面的微分方程：

(3)

微分方程式(3)的解答如下：

(4)

式中：v(0,t;0)和v(0,T;0)分別為時(shí)刻t和時(shí)刻T對當(dāng)前時(shí)刻0的貼現(xiàn)因子，可通過市場的不同到期利率求得；推導(dǎo)過程和系數(shù)A(t,T)、B(t,T)、C(t,T)表達(dá)式參見附錄A.1，這里從略。

2 互換期權(quán)的近似計(jì)算方法

2.1 互換期權(quán)的價(jià)值公式

互換期權(quán)的理論價(jià)值可以根據(jù)Swaption的定義來推導(dǎo)。

假定Swap期間為[T0,TN]，分別在時(shí)刻T1,T2,…,TN領(lǐng)取浮動利息，則以固定利率S支付利息的一方所支付的單位貨幣的利息在時(shí)刻的理論價(jià)值vfix為

(5)

而同時(shí)，[Ti-1,Ti]期間的浮動利率ri為

(6)

則浮動利率方所支付的利息在t時(shí)刻的理論價(jià)值vfloat為

(7)

在充分競爭的公正市場上，理論上vfix=vfloat，則有

(8)

式中：利率S被稱為互換期間[T0,TN]的掉期利率(swap rate)；v(ti,T)為將來時(shí)刻的單位面值債券在時(shí)刻t的價(jià)值(貼現(xiàn)因子)；Δi為期間[Ti-1,Ti]的長度

Δi=Ti-Ti-1。

若行權(quán)利率為K，則只要S>K，則“支付互換期權(quán)”(payer swaption，指支付固定利息收取浮動利息一方的期權(quán))的價(jià)值為

若記

(9)

則Payer Swaption的理論價(jià)值SOPVcall公式可表達(dá)為

SOPVcall(t)=Et[A(t)(S-K)+]。

(10)

式中：A(t)被稱為年金(Annuity)；(·)+為一個(gè)截?cái)嗨惴?，? )內(nèi)的值小于0，則取0值。

有了支付互換期權(quán)SOPVcall的式(10)，則可以根據(jù)買賣期權(quán)平價(jià)關(guān)系(put-call parity)得到“收取互換期權(quán)”(receiver swaption)的價(jià)值SOPVput的公式：

SOPVput(t)=SOPVput(t)-{[v(t,T0;x(t))-v(t,TN;x(t))]-A(t)K}。

(11)

公式(10)根據(jù)分布函數(shù)用積分求解，在復(fù)雜利率模型下，沒有解析表達(dá)式，需通過數(shù)值計(jì)算求得。

2.2 互換期權(quán)價(jià)值公式的近似表達(dá)

若利率是一隨機(jī)變量，則貼現(xiàn)因子v(t)及Swap的掉期利率S也為隨機(jī)變量，分別記為v(t,T;x(t)、S(t;x(t))。這里x(t)是一個(gè)狀態(tài)變量，若利率模型為QG++，則x(t)服從式(1)。

掉期利率S根據(jù)式(8)可表達(dá)成

(12)

Payer Swaption的價(jià)值SOPVcall公式(10)的期望值計(jì)算同時(shí)涉及到年金A(t)、掉期利率S(t;x(t))，難度很大。如果改用年金測度，則可表達(dá)為

SOPVcall(t)=A(t)EA[(S(T0;x(T0))-K)+]。

(13)

Piterbarg[9]推導(dǎo)出上式的嚴(yán)密的理論公式；但是只能用蒙特卡洛法來模擬計(jì)算，于是采用對函數(shù)進(jìn)行Taylor展開取近似值的方法來進(jìn)行計(jì)算。本研究沿用這一近似思路，求取QG++利率模型下的互換期權(quán)的理論價(jià)值。

式(13)的EA[(S(T0;x(T0))-K)+]是年金測度下期望值計(jì)算，可以根據(jù)x(T0)在年金測度下的密度分布積分求解；但沒有解析解答表達(dá)式，計(jì)算速度也較慢。下面就推導(dǎo)其近似的解析表達(dá)式。

(14)

S(0;x(0))=EA[S(T0;x(T0))]，

(15)

可以得到

(16)

(17)

有了式(17)，若已知x(T0)的分布φ(x(T0))，代入式(13)，則可以計(jì)算現(xiàn)在時(shí)刻t=0的互換期權(quán)的理論價(jià)值

(18)

2.3 掉期利率的導(dǎo)函數(shù)

根據(jù)式(12)，可得掉期利率的一階導(dǎo)函數(shù)

(19)

同樣，掉期利率的二階導(dǎo)函數(shù)為

(20)

這里

(21)

(22)

(23)

而貼現(xiàn)債券價(jià)值及其一階、二階導(dǎo)函數(shù)v、v′、v″則因利率模型而異，QG++模型下的表達(dá)式參見附錄。

2.4 狀態(tài)變量的分布和期望值

根據(jù)Radon-Nikodym微分，任意可積、可測函數(shù)f(x(T))，其年金測度下的期望值可以用遠(yuǎn)期中立測度(forward measure)表達(dá)為

(24)

這里的ET[·]為遠(yuǎn)期時(shí)刻T中立測度下的期望值。將式(21)代入，可得

(25)

注意這里也用到了遠(yuǎn)期中立測度變換公式

ET0[f(x(T0))·v(T0,Ti;x(T0))]=v(T0,Ti;0)·ETi[f(x(T0))]。

得到

v(0,T0)·ET0[f(x(T0))·v(T0,Ti;x)]=v(0,T0;0)·v(T0,Ti;x)·ETi[f(x(T0))]=v(0,Ti;x)·ETi[f(x(T0))]，

記

(26)

則式(25)變成

(27)

即年金測度下的f(T)期望值為遠(yuǎn)期中立測度T1,…,TN下f(T0)期望值的加權(quán)合成結(jié)果。再根據(jù)狀態(tài)變量在遠(yuǎn)期中立測度下的正態(tài)分布特性，可以求得

(28)

及

(29)

這里的記號VT[·]為遠(yuǎn)期時(shí)刻T中立測度下的方差。而年金測度下x(T0)的方差則可表達(dá)為

(30)

可以看出，年金測度下x(T0)是遠(yuǎn)期中立測度T1,…,TN下x(T0)的聯(lián)合正態(tài)分布，其密度函數(shù)φ(x)為

(31)

這里φT(x)為遠(yuǎn)期時(shí)刻T中立測度下x(T0)的密度函數(shù)，因x(T0)為該測度下的正態(tài)分布，可以根據(jù)其期望值ETi[x(T0)]和方差VTi[x(T0)]求得。這里i=1,2,…,N。

這樣，根據(jù)式(17)和式(31)的結(jié)果，式(18)可以轉(zhuǎn)化為以下基本形式求解

(32)

待求的項(xiàng)只有遠(yuǎn)期中立測度下x(T0)的期望值ETi[x(T0)]和方差VTi[x(T0)](i=1,2,…,N)，其計(jì)算方法參見附錄A.2。

式(32)可以用根的判別式求得ax2+bx+c≥0的取值范圍，再積分求解，得到正態(tài)分布函數(shù)和正態(tài)分布密度函數(shù)的線性組合，可以簡單計(jì)算，具體表達(dá)式這里從略。

至此，對于QG++這樣復(fù)雜的利率模型，其互換期權(quán)的價(jià)值也可以通過兩次測度變換，即年金測度和遠(yuǎn)期中立測度變換，以及一次二階Taylor展開，將復(fù)雜函數(shù)的期望值計(jì)算公式(10)，成功轉(zhuǎn)化為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的二次多項(xiàng)式的期望值(32)式求解。因?yàn)椴皇褂脭?shù)值積分和大量避免了指數(shù)運(yùn)算，可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算的高速化。在下一章節(jié)里，將舉一個(gè)互換期權(quán)的計(jì)算實(shí)例，并對其近似結(jié)果進(jìn)行精度評估。

3 互換期權(quán)的近似計(jì)算實(shí)例

3.1 互換期權(quán)的近似計(jì)算實(shí)例

這里根據(jù)文獻(xiàn)[8]提供的貼現(xiàn)因子(根據(jù)2012年5月7日路透社提供的日元市場利率算出)來計(jì)算互換期權(quán)的價(jià)值。貼現(xiàn)因子見表1。

表1 貼現(xiàn)因子一覽

我們根據(jù)2組參數(shù)的情形來進(jìn)行計(jì)算對比，2組參數(shù)的值見表2。

表2 模型參數(shù)一覽

這樣我們得到的Payer Swaption結(jié)果如表3所示。

表3 Swaption計(jì)算結(jié)果的比較

這里的到期T0即對應(yīng)于第2節(jié)的時(shí)刻T0，而T0+互換期則對應(yīng)于該節(jié)的TN。每半年領(lǐng)取一次利息，利息流發(fā)生次數(shù)N=2倍互換期。這里的理論值是指對式(10)用雙重指數(shù)積分[12]得到的結(jié)果。

由表3可以看出，2組參數(shù)的情形，得到的互換期權(quán)的價(jià)值結(jié)果與理論值的相對誤差都比較小。到期時(shí)間越短，其誤差越小。到期1年的互換期權(quán)，誤差不超過0.6%，互換期越長，相對誤差反而越??；而對到期較長的期權(quán)，則相對誤差呈現(xiàn)相反特征，即互換期越長，相對誤差越大。這與狀態(tài)變量在到期1年以內(nèi)的情況下，變動范圍不大，接近其在到期時(shí)刻的期望值，因而使式(14)及式(17)的誤差較小有關(guān)；而到期較長的情況下，狀態(tài)變量x(T0)的變動范圍比較大，Taylor展開得到的式(14)自然誤差就比較大。但即使如此，在最長到期和最長互換期，其最大誤差絕對值也分別不超過3.4%和2.7%，達(dá)到足夠?qū)嵱玫乃健?/p>

3.2 互換期權(quán)的近似計(jì)算效果

表3的結(jié)果驗(yàn)證了本文的近似計(jì)算方法可以達(dá)到相當(dāng)高的精度。如果不使用近似計(jì)算，對式(10)用梯形積分公式，需要積分節(jié)點(diǎn)數(shù)400以上；如果用雙重指數(shù)積分，節(jié)點(diǎn)數(shù)也需要100以上才收斂。用互換期權(quán)來推算利率模型參數(shù)的時(shí)候，不使用近似計(jì)算的話，內(nèi)存為8 G、CPU頻率為2.4 GHz的計(jì)算機(jī)，用時(shí)也要超過10 h，無法實(shí)際應(yīng)用。反之，使用本文的近似計(jì)算方法，時(shí)間可以縮短到3 min左右，速度提高了約200倍。因而，對于復(fù)雜的利率模型，互換期權(quán)價(jià)值的高速計(jì)算是一種必須要克服的技術(shù)障礙。而本文所應(yīng)用的近似計(jì)算則可以同時(shí)達(dá)到精度和速度這兩個(gè)要求，使得迅速推算數(shù)十組狀態(tài)下的模型參數(shù)成為可能，并已經(jīng)在實(shí)際工作中發(fā)揮了重大作用。

4 結(jié) 論

互換期權(quán)的價(jià)值計(jì)算既對債券本身的定價(jià)是必須的，也是推算利率的模型參數(shù)的一個(gè)重要手段。本文將已有的互換期權(quán)的價(jià)值近似計(jì)算方法，應(yīng)用于Quadratic Gaussian++這樣的復(fù)雜模型，通過年金測度和遠(yuǎn)期中立測度以及Taylor展開，將復(fù)雜函數(shù)的期望值計(jì)算轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布變量的二次函數(shù)的期望值求解。本文的計(jì)算實(shí)例表明，此近似計(jì)算具有較高精度，可達(dá)到實(shí)際應(yīng)用的水平，而且近似方法的計(jì)算速度快，解決了推算利率模型參數(shù)必需的高速計(jì)算問題。

本研究工作得到首都大學(xué)東京的室町幸雄教授和株式會社AFG(株式會社MILIZE的前身)前職員岸田則生博士的大力指導(dǎo)，并得到株式會社MILIZE田中徹社長的大力支持，在此致以誠摯的謝意。

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特約專家介紹

黃文峰(1972—)，男，漢族，重慶潼南人，工學(xué)博士。1994年畢業(yè)于清華大學(xué)水利水電工程系，1999年于同系獲工學(xué)博士學(xué)位(巖土工程專業(yè))。中國籍，暫居日本，為株式會社MILIZE高級研究員。歷任日本學(xué)術(shù)振興會外國人特別研究員(博士后)、防災(zāi)科學(xué)技術(shù)研究所特別研究員(博士后)、科學(xué)技術(shù)振興機(jī)構(gòu)研究員(博士后)，專業(yè)方向?yàn)閹r土工程的復(fù)合地基、邊坡穩(wěn)定，金融工程的金融衍生物的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理等。2011年起參加教育部“春暉計(jì)劃”留日博士專家團(tuán)活動。有注冊信息安全工程師、數(shù)據(jù)庫高級工程師、軟件開發(fā)工程師等日本國家資格。