張?jiān)?劉海勇

摘 要：本文針對(duì)激光顯示領(lǐng)域激光光束光強(qiáng)均勻分布要求，本研究基于非球面透鏡組激光光束進(jìn)行整形設(shè)計(jì)。文中通過(guò)闡述激光光束光強(qiáng)均勻分布原理，著重論述了出射光束分布選擇、線映射函數(shù)及球面參數(shù)確定3個(gè)非球面透鏡組設(shè)計(jì)內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上，選擇勻化洛倫茲函數(shù)為輸出光束的光強(qiáng)分布函數(shù)，展開(kāi)實(shí)例設(shè)計(jì)分析，旨在基于該設(shè)計(jì)方法將入射光束準(zhǔn)直的單模高斯激光光束整形為光強(qiáng)均勻分布的準(zhǔn)直平頂激光光束。

關(guān)鍵詞：非球面透鏡組；激光光束整形；設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：TN249 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

激光具有高亮度、高單色性優(yōu)點(diǎn)，但其在光存儲(chǔ)、平板印刷、顯示領(lǐng)域?qū)す夤馐木鶆蛐砸蠛芨摺Ｒ蚣す夤馐鈴?qiáng)服從高斯分布，故為了獲得均勻性很好的激光光束，通常需對(duì)高斯激光光束進(jìn)行整形。以往在激光光束整形時(shí)，需對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)束，然后通過(guò)光闌獲取均勻分布的激光光強(qiáng)。這種激光光束整形設(shè)計(jì)方法盡管較為簡(jiǎn)單，但其受光學(xué)元件光束光強(qiáng)透過(guò)率影響，能量損失較大。在此背景下，國(guó)外學(xué)者rieden于20世紀(jì)60年代提出一種基于非球面透鏡組的激光光束整形方法，該方法不僅可獲得均勻分布的光強(qiáng)，而且當(dāng)激光光束通過(guò)光學(xué)元件時(shí)，能量損失較小。

1 基于非球面透鏡組激光光束整形原理

兩個(gè)非球面透鏡即可構(gòu)成一個(gè)非球面透鏡組整形系統(tǒng)。結(jié)合一個(gè)非球面透鏡形狀可將非球面透鏡組整形系統(tǒng)劃分為兩種類型。若一個(gè)非球面透鏡形狀為凸面時(shí)，非球面透鏡組整形系統(tǒng)為開(kāi)普勒型；若一個(gè)非球面透鏡形狀為凹面時(shí)，非球面透鏡組整形系統(tǒng)為伽利略型。

本文著重以伽利略型的非球面透鏡組整形系統(tǒng)為例，對(duì)激光光束光強(qiáng)均勻分布原理進(jìn)行論述、分析。該整形系統(tǒng)分別由一個(gè)關(guān)于光軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的“平-凸”非球面鏡L2和“平-凹”非球面鏡Ll組成。其中，非球面鏡L2的主要功能是對(duì)激光光束的相位分布狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整，以保證經(jīng)Ll調(diào)制的準(zhǔn)直激光光束在“平一凸”非球面鏡L2中平行出射，從而獲得強(qiáng)度均勻分布的激光光束。

對(duì)此，基于這一原理，本研究主要遵循兩非球面透鏡間任意光束光程相等、斯涅爾折射定律及激光入射與出射束能量守恒定律，對(duì)非球面透鏡組整形系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)分析。

2 選擇合適的輸出光束形狀

只有激光出射光光強(qiáng)均勻分布，方可滿足激光光束均勻化要求。故基于非球面透鏡組進(jìn)行激光光束整形設(shè)計(jì)時(shí)，首先需對(duì)激光輸出光束的具體形狀進(jìn)行合理選擇。因激光出射光束函數(shù)分布狀態(tài)趨于階梯形，邊界陡峭，故通常選擇Lorentzian函數(shù)、Fermi-Dirac distribution函數(shù)、超高斯函數(shù)等，作為激光出射光的均勻分布光束函數(shù)。

可確定激光光束軸上光強(qiáng)最大值Δzmax。

當(dāng)S=0時(shí)，公式（7）過(guò)渡到光闌-透鏡分離系統(tǒng)，最終可得到所需的平頂高斯光束。通過(guò)上述函數(shù)關(guān)系運(yùn)算分析可知，選擇Lorentzian函數(shù)或超高斯函數(shù)都可得到設(shè)計(jì)所需的平頂光束分布。當(dāng)確定激光出射光的光強(qiáng)均勻分布后，還需對(duì)“平——凸”非球面鏡L2和“平——凹”非球面鏡Ll兩個(gè)非球面之間的光線映射函數(shù)進(jìn)行確定；同時(shí)，需合理確定“平——凸”非球面鏡L2和“平——凹”非球面鏡Ll兩個(gè)非球面各自的間距和具體形狀，從而完成非球面透鏡組激光光束整形設(shè)計(jì)。

3 確定線映射函數(shù)

在設(shè)計(jì)過(guò)程中，要想獲得“平——凸”非球面鏡L2和“平——凹”非球面鏡Ll兩個(gè)非球面各自的形狀，需基于能量守恒定律，確定以下勻化洛倫茲光束分布函數(shù)（即光線映射函數(shù)）不同曲線之間的關(guān)系，如圖2所示。

根據(jù)能量守恒條件可知，激光出射光束包括在s內(nèi)的能量與出射光束包括在s范圍內(nèi)的能量相等。則由激光出射與入射光束間的能量守恒定律可得如下洛倫茲函數(shù)：

4 確定描述兩個(gè)非球面形狀的方程

在對(duì)兩個(gè)不同形狀的非球面方程進(jìn)行描述時(shí)，可基于光線傳輸時(shí)的等方程條件和斯涅爾折射定律及幾何光學(xué)方法等，確定非球面參數(shù)。20世紀(jì)70年代，國(guó)外學(xué)者reuzer提出了一種通用的非球面參數(shù)確定方法，其中在球面形狀計(jì)算原理示意圖中，出射光線、第二個(gè)非球面的交點(diǎn)與光軸的垂直距離用r2表示，入射光線、第一個(gè)非球面的交點(diǎn)與光軸的垂直距離用r1表示；另外，R和d分別表示兩個(gè)透鏡的最大尺寸和兩個(gè)球非球面之間的距離；t為兩個(gè)非球面透鏡平面之間的間距。故基于非球面透鏡組進(jìn)行激光光束整形設(shè)計(jì)時(shí)，可結(jié)合非球面形狀計(jì)算原理，對(duì)t與d、折射角、入射角4個(gè)參數(shù)進(jìn)行確定。其中，θ表示兩個(gè)非球面間的光軸與光線的夾角；W表示位于兩個(gè)非球面之間的激光光線長(zhǎng)度。

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)流程，本研究假設(shè)兩個(gè)非球面透鏡之間夾雜的主要介質(zhì)為空氣，折射率均n=1；兩個(gè)非球面透鏡的形狀分別由z1（r）和z2（r）表示，函數(shù)如下：

（11）

由此得到描述兩個(gè)非球面形狀的函數(shù)，二者均不存在解析解，計(jì)算時(shí)需對(duì)各自的間距值進(jìn)行求解。在具體計(jì)算過(guò)程中，可基于激光光束經(jīng)光闌-透鏡分離系統(tǒng)后的函數(shù)矩陣，假設(shè)激光光束波長(zhǎng)λ和兩個(gè)非球面透鏡之間的焦距f分別為1.06m和200mm。

（1）在光強(qiáng)隨S的變化曲線中，N、Fa和Fw分別取10、2.0與4.0；S依次取0、100、200、300和400。通過(guò)光強(qiáng)隨S的變化曲線圖可知，S不論取何值，焦點(diǎn)處光強(qiáng)均為39.2。但隨著S取值不斷增大，激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax逐漸在由焦點(diǎn)左側(cè)向右側(cè)移動(dòng)。當(dāng)s/f <1，激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax位于焦點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax<0；而隨著S取值不斷減小，激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax逐漸在向左側(cè)移動(dòng)；當(dāng)s/f =1，激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax為0，此時(shí)激光光強(qiáng)最大值位于焦點(diǎn)處；當(dāng)s/f >1，激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax>0。隨著S取值不斷增加，激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax又會(huì)不斷由左向右移動(dòng)，最后遠(yuǎn)離焦點(diǎn)位置。endprint

（2）在光強(qiáng)隨Fa的變化曲線示意圖中，當(dāng)S=100mm時(shí)，N和Fw分別取10、2.0，由激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax隨Fa的變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Fw取2.0，N取10時(shí)，隨著光闌菲涅耳數(shù)Fa不斷增大，焦點(diǎn)附近軸上光強(qiáng)最大值逐漸與非球面透鏡焦點(diǎn)相互靠近。在此過(guò)程中，焦移逐漸減小。當(dāng)光闌菲涅耳數(shù)Fa取值增大到一定程度后，光闌衍射效應(yīng)就會(huì)散失，此時(shí)激光光強(qiáng)分布曲線逐漸趨于穩(wěn)定，激光光束軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax不再焦移。由此分析結(jié)果可知，當(dāng)光闌菲涅耳數(shù)Fw不斷增大時(shí)，焦移現(xiàn)象也會(huì)更加明顯；當(dāng)其達(dá)到一定數(shù)值后，焦移現(xiàn)象散失。

（3）在光強(qiáng)分布隨Fw的變化曲線中，同樣假設(shè)S=100mm，N=10，F(xiàn)a=2.0。此時(shí)由變化曲線可知；隨著Fw不斷增大，軸上光強(qiáng)最大值靠近透鏡焦點(diǎn)，焦移減小。當(dāng)Fw值增大到一定條件后，軸上光強(qiáng)分布最大值Δzmax趨于穩(wěn)定。由此可知，隨著Fa不斷增大，F(xiàn)w不斷減小，仍有焦移現(xiàn)象，F(xiàn)w越小，焦移現(xiàn)象越顯著。

5 基于非球面透鏡組激光光束整形設(shè)計(jì)案例

5.1 整形參數(shù)選取

基于以上理論分析，本文著重選取波長(zhǎng)為10.6μm的CO2激光器出射光線為整形研究對(duì)象，并基于上述研究過(guò)程，選擇勻化洛倫茲函數(shù)作為該CO2激光器激光輸出光束光強(qiáng)分布函數(shù)，結(jié)合不同S值時(shí)的函數(shù)形狀，取激光光束光闌菲涅耳數(shù)Fa=10，F(xiàn)w=3.0，兩個(gè)非球面鏡的半徑r=5mm，兩個(gè)透鏡的折射率n和射光束束腰半徑分別為1.4852mm和2.359mm。

在對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行整形設(shè)計(jì)前，首先需確定透鏡材料及非球面透鏡厚度。因單片透鏡整形系統(tǒng)筒長(zhǎng)小于雙片結(jié)構(gòu)，單片結(jié)構(gòu)與雙片結(jié)構(gòu)相比，其光線在經(jīng)過(guò)第1個(gè)折射面后，會(huì)有較大的偏折角度。所以，為了確保非球面鏡各區(qū)域曲率半徑保持在合理的設(shè)計(jì)范圍內(nèi)，本研究將透鏡厚度d控制在20mm左右。在選擇透鏡材料時(shí)，主要綜合考慮透鏡折射率與透過(guò)率兩大指標(biāo)。因高功率二氧化碳激光器波長(zhǎng)所在波段為紅外波段。故為了提高能量吸收率，本研究所選透鏡材料為ZnSe，其不僅吸熱系數(shù)小，而且折射率符合激光光束整形設(shè)計(jì)要求；當(dāng)波長(zhǎng)為10.6μm時(shí)，其折射率為2.402662。

5.2 計(jì)算與擬合矢高

將初始設(shè)計(jì)參數(shù)代入前文勻化洛倫茲函數(shù)中，可得透鏡半徑與前后表面矢高之間的關(guān)系數(shù)據(jù)組[（z，r）和（Z，R）]；然后，采用龍貝格積分法進(jìn)行參數(shù)求解并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行非線性擬合，從而綜合權(quán)衡激光光束整形難度與擬合精度，最終得到表1所示的包括 8 個(gè)非球面項(xiàng)和一個(gè)二次曲面項(xiàng)在內(nèi)的單片非球面透鏡參數(shù)，該參數(shù)不僅易于加工整形，且具有良好的光學(xué)性能。

5.3 性能優(yōu)化

結(jié)合上述計(jì)算參數(shù)，可求得兩個(gè)球面的數(shù)值解，最終分別由開(kāi)普勒型和伽利略型非球面方程的數(shù)值解曲線，可以發(fā)現(xiàn)光軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的“平—凸”非球面鏡L2和“平—凹”非球面鏡Ll兩種類型的非球面都關(guān)于光軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。

在具體設(shè)計(jì)過(guò)程中，二者主要區(qū)別在于開(kāi)普勒型的第一個(gè)非球面為凸面結(jié)構(gòu)，而伽利略型的第一個(gè)非球面為凹面結(jié)構(gòu)。因ZnSe非球面與基片材料加工成本高，故為了避免在實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中出現(xiàn)技術(shù)缺陷，在整形前，還要對(duì)其設(shè)計(jì)性能進(jìn)行優(yōu)化，主要在ZEM-AX中輸入非球面初始化條件及結(jié)構(gòu)參量，然后基于物理光學(xué)傳播原理進(jìn)行非球面透鏡組激光光束整形設(shè)計(jì)性能優(yōu)化。

最終分析優(yōu)化結(jié)果表明，OPD=±0.01λ，波前峰谷值=0.0002λ，從而使激光出射光束為平頂光束，達(dá)到了激光光束整形目的，且伽利略型的凹面結(jié)構(gòu)彎曲程度要小于開(kāi)普勒型的凸面結(jié)構(gòu)的彎曲程度。

結(jié)語(yǔ)

綜上所言，本文基于非球面透鏡組激光光束整形原理，分別選擇光軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的“平-凸”非球面鏡L2和“平-凹”非球面鏡L1兩種類型的非球面，通過(guò)設(shè)計(jì)一種光闌-透鏡分離系統(tǒng)，依次選擇了Lorentzian函數(shù)、Fermi-Dirac distribution函數(shù)、超高斯函數(shù)等，作為激光出射光的均勻分布光束函數(shù)。遵循兩非球面透鏡間任意光束光程相等、斯涅爾折射定律及激光入射與出射束能量守恒定律，對(duì)非球面透鏡組整形系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)分析。研究過(guò)程中，分別經(jīng)過(guò)選擇合適的輸出光束形狀、確定線映射函數(shù)及確定描述兩個(gè)非球面形狀的方程，通過(guò)具體的非球面參數(shù)對(duì)兩種類型的非球面激光光束進(jìn)行整形優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，基于準(zhǔn)直單模高斯光束整形的非球面透鏡設(shè)計(jì)方法，通過(guò)數(shù)值計(jì)算精度控制和激光輸出光束函數(shù)選擇變換，最終可得到更為精確的數(shù)值解。但該設(shè)計(jì)方法也存在一定的不足，如設(shè)計(jì)過(guò)程忽略了光束衍射效應(yīng)影響。因此，要想得到效果更好的均勻光束，在今后設(shè)計(jì)實(shí)踐中還需考慮激光光束衍射效應(yīng)帶來(lái)的影響。

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