李茹+張濤+朱秋煜

摘 要： 通信過(guò)程中因信道畸變而產(chǎn)生的碼間干擾（ISI）嚴(yán)重影響通信質(zhì)量，該問(wèn)題常采用均衡技術(shù)來(lái)解決。介紹了傳統(tǒng)定步長(zhǎng)盲均衡CMA算法原理，仿真分析了其不能兼顧收斂速度快與穩(wěn)態(tài)誤差小的問(wèn)題，為解決這一問(wèn)題，提出一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)盲均衡算法。為解決碼間串?dāng)_問(wèn)題，對(duì)CMA算法進(jìn)行改進(jìn)并對(duì)改進(jìn)算法原理進(jìn)行闡述，分析了參數(shù)對(duì)算法性能的影響。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)了改進(jìn)算法能夠加快收斂速度，同時(shí)能保持較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

關(guān)鍵詞： 均衡技術(shù)； 恒模算法； 碼間干擾； Sigmoid函數(shù)； 收斂速度； 穩(wěn)態(tài)誤差

中圖分類號(hào)： TN911.5?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2018）03?0010?04

Abstract： The inter?symbol interference generated by channel distortion in communication process affects the communication quality seriously， and is solved with equalization technology. The principle of traditional fixed step blind equalization constant modulus algorithm （CMA） is introduced. The problem that the fast convergence rate and small steady?state error can′t be both balanced is analyzed with simulation. To solve this problem， a variable step blind equalization algorithm based on Sigmoid function is proposed. The CMA is improved to eliminate the inter?symbol interference， and principle of its improved algorithm is elaborated. The effect of the parameters in the algorithm on the algorithm performance is analyzed. The results of simulation experiments show that the algorithm can maintain a small steady?state error while accelerating the convergence speed.

Keywords： equalization technology； constant modulus algorithm； inter?symbol interference； Sigmoid function； convergence rate； steady?state error

0 引 言

通信信號(hào)在傳輸過(guò)程中常會(huì)受到因信道畸變而產(chǎn)生碼間干擾（Inter?Symbol Interference，ISI）的問(wèn)題，這嚴(yán)重影響了通信質(zhì)量，降低了通信的可靠性與穩(wěn)定性。均衡算法作為解決該問(wèn)題的一種有效方式，在經(jīng)濟(jì)、軍事等諸多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。其核心算法主要分為最小均方誤差、遞歸最小二乘和盲均衡算法三大類。其中由Godard等人提出的CMA盲均衡算法[1]計(jì)算量小，不占用頻譜資源，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、通信等領(lǐng)域。

但CMA算法只在收斂速度和收斂精度方面做折中處理，這大大制約了算法的性能，因此，針對(duì)固定步長(zhǎng)CMA算法的缺陷提出了一系列變步長(zhǎng)改進(jìn)算法。 文獻(xiàn)[2]提出基于瑞利分布的盲均衡算法，利用非線性函數(shù)控制步長(zhǎng)的思想；文獻(xiàn)[3]將CMA算法與判決反饋算法相結(jié)合，用以提高收斂速度與減小穩(wěn)態(tài)誤差；文獻(xiàn)[4]揭示了CMA算法的收斂速度與均衡器輸出功率特性的關(guān)系，通過(guò)在均衡器后加入增益調(diào)節(jié)過(guò)程來(lái)控制均衡器的輸出功率特性；文獻(xiàn)[5]指出用剩余誤差MSE作為控制步長(zhǎng)的變量控制步長(zhǎng)的變化，提出直接用MSE控制變化。雖然開(kāi)始時(shí)收斂速度快，但隨著誤差的減小，步長(zhǎng)同時(shí)很快變小，有可能算法未完全收斂時(shí)步長(zhǎng)已經(jīng)很小，導(dǎo)致算法整體收斂速度沒(méi)有提高。這些算法都遵循以下原則：在算法初始階段，取較大步長(zhǎng)值，以得到較快的收斂速度和自動(dòng)跟蹤能力；在算法接近收斂時(shí)，取較小步長(zhǎng)值，以取得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

本文基于上述改進(jìn)原理，在CMA算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)CMA算法。

1 CMA盲均衡算法原理

CMA算法采用最陡梯度下降法來(lái)迭代均衡器的抽頭系數(shù)，逐步尋找代價(jià)函數(shù)的最小值點(diǎn)，當(dāng)代價(jià)函數(shù)達(dá)到最小時(shí)，均衡器的權(quán)值就穩(wěn)定在最優(yōu)解附近。CMA非線性無(wú)記憶函數(shù)的表達(dá)式為：

以為步長(zhǎng)，控制算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的參量，為保證算法收斂，步長(zhǎng)取值范圍[6]為。

均衡算法性能的優(yōu)劣主要看收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差兩個(gè)指標(biāo)，最優(yōu)的算法性能要求收斂速度快、穩(wěn)態(tài)誤差小。根據(jù)式（1）～式（5）對(duì)CMA算法進(jìn)行仿真，測(cè)試步長(zhǎng)對(duì)算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的影響。

仿真實(shí)驗(yàn)中步長(zhǎng)取0.01，0.004，0.000 3，仿真結(jié)果如圖1所示，其中橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)表示誤差。由仿真結(jié)果來(lái)看，隨著步長(zhǎng)取值的增大，收斂速度變得越來(lái)越快，但穩(wěn)態(tài)誤差越來(lái)越小，所以收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差相互制約，降低了CMA算法的性能。為提高算法性能，加快收斂速度的同時(shí)，減小穩(wěn)態(tài)誤差，在CMA算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)CMA算法。endprint

2 基于Sigmoid函數(shù)的盲均衡算法分析

改進(jìn)算法以Sigmoid函數(shù)[7]為基礎(chǔ)，變換得到一個(gè)步長(zhǎng)與誤差的非線性函數(shù)關(guān)系：

圖2為變換后的步長(zhǎng)?誤差曲線圖。

圖像在軸正半軸，隨著誤差的增大，圖像斜率先變大后減小，這種變化規(guī)律使得在誤差大時(shí)，步長(zhǎng)值維持在一個(gè)較大值；隨著誤差的逐步減小，步長(zhǎng)值也逐漸減小為零，這與變步長(zhǎng)的設(shè)計(jì)原則相符。

因此，為得到性能更優(yōu)且可控的步長(zhǎng)調(diào)整函數(shù)[2，8]，引入?yún)?shù)和對(duì)式（6）進(jìn)行如下調(diào)整：

當(dāng)時(shí)，前面提到，要使算法收斂，需滿足因此的取值范圍為小于1的正數(shù)。

下面再深入討論這幾個(gè)參數(shù)對(duì)步長(zhǎng)調(diào)整函數(shù)性能的影響。

圖3為由外向內(nèi)，依次取0.05，0.1，0.3，0.6，0.8，1.5，2，其他參數(shù)取1時(shí)，步長(zhǎng)與誤差函數(shù)的曲線圖。

由圖3可以看出，各曲線均滿足步長(zhǎng)調(diào)整原則，在誤差取5時(shí)，圖中多數(shù)曲線均接近最大步長(zhǎng)值，說(shuō)明此時(shí)收斂速度非?？?，有利于朝著誤差減小的方向變化；在誤差逐漸減小至零的過(guò)程中，步長(zhǎng)值也逐漸變化為零。但是由于穩(wěn)態(tài)誤差也與步長(zhǎng)有關(guān)，在系統(tǒng)接近收斂即誤差接近零的過(guò)程中，快速變化的步長(zhǎng)可能使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)失調(diào)產(chǎn)生較大震蕩，造成穩(wěn)態(tài)誤差很大。因此，為保證算法性能，要求系統(tǒng)收斂時(shí)，步長(zhǎng)值應(yīng)緩慢減小為零[7]。

圖3中當(dāng)取值在[0.05，0.3）范圍內(nèi)，在誤差為5時(shí)（此時(shí)誤差已經(jīng)非常大了），步長(zhǎng)才維持在最大值附近，如果采用該范圍的值，算法在誤差非常大時(shí)就已經(jīng)開(kāi)始執(zhí)行，這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增大，使系統(tǒng)處理時(shí)間變長(zhǎng)；當(dāng)取值在[0.6，2]范圍內(nèi)，誤差在2附近已達(dá)到步長(zhǎng)最大值，該范圍內(nèi)在圖3中可以看出誤差接近零時(shí)（系統(tǒng)收斂），步長(zhǎng)變化劇烈，前文提到該種情況下會(huì)造成系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)失調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差較大。

根據(jù)以上分析，本文參數(shù)選擇最佳取值范圍為[0.3，0.6]，該范圍內(nèi)參數(shù)可以使誤差較大時(shí)步長(zhǎng)曲線具有更快的收斂速度，而在誤差接近零（系統(tǒng)開(kāi)始收斂）時(shí)變化平緩。

圖4為參數(shù)取0.5，0.8，0.99時(shí)步長(zhǎng)與誤差的關(guān)系圖。

從圖4可以看出，各曲線均滿足步長(zhǎng)調(diào)整原則，且誤差為零附近變化緩慢，圖中取值主要影響圖形幅度即步長(zhǎng)變化。由式（8）可知，的取值影響的值，取值范圍為小于1的正數(shù)，因此取值范圍也是小于1的正數(shù)，由圖4中可以看出，誤差為6時(shí)，取[0.5，0.8]范圍內(nèi)步長(zhǎng)變化不明顯，但取[0.8，0.99]范圍內(nèi)步長(zhǎng)差距顯著，取0.99相同誤差下，步長(zhǎng)值太小造成收斂速度慢，因此最佳取[0.5，0.8]范圍內(nèi)。

綜上所述，控制函數(shù)的形狀，決定步長(zhǎng)變化的速度，控制步長(zhǎng)函數(shù)的幅度?；谏鲜龇治觯瑸轵?yàn)證改進(jìn)后算法的性能，本文進(jìn)行了仿真，對(duì)改進(jìn)前后的算法性能進(jìn)行比較。

3 算法仿真與結(jié)果分析

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的性能，對(duì)基于Sigmoid函數(shù)的CMA盲均衡算法和CMA算法的收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行Matlab仿真。仿真環(huán)境的發(fā)射信號(hào)、信道模型、均衡器參數(shù)設(shè)置如下：發(fā)送符號(hào)數(shù)10 000，采用4QAM調(diào)制、信噪比為20 dB，信道采用無(wú)線數(shù)字通信信道[9]，為更好地觀察收斂效果，迭代次數(shù)設(shè)為1 000次。其中CMA算法中步長(zhǎng)=0.001。改進(jìn)算法=0.3，仿真結(jié)果如圖5所示。

分析圖5可知，改進(jìn)后的新算法約50次左右迭代已經(jīng)開(kāi)始收斂，而傳統(tǒng)CMA算法需經(jīng)大概150次迭代開(kāi)始收斂，約在400次趨于穩(wěn)定，對(duì)比兩種算法收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差值，改進(jìn)算法穩(wěn)態(tài)誤差值接近于0.07；而CMA算法穩(wěn)態(tài)誤差值約為0.5，對(duì)比可知改進(jìn)后的算法有效克服了CMA算法不能兼顧收斂速度快與穩(wěn)態(tài)誤差小的問(wèn)題，性能更佳。

為更直觀地觀察迭代過(guò)程中步長(zhǎng)的變化，本文中同時(shí)仿真了步長(zhǎng)隨迭代次數(shù)變化的曲線圖，如圖6所示。

觀察圖6可知，在算法初期步長(zhǎng)值比較大，變化迅速，說(shuō)明此時(shí)收斂速度非?？斓爻`差減小的方向變化，隨著算法收斂，步長(zhǎng)逐漸變小且變化緩慢，說(shuō)明此時(shí)算法趨于穩(wěn)定，因此改進(jìn)方法符合變步長(zhǎng)的設(shè)計(jì)原則。

基于上述分析及比較可以清楚地看出，改進(jìn)后的算法收斂速度明顯比CMA算法快，穩(wěn)態(tài)誤差小且穩(wěn)定，性能優(yōu)于CMA算法。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文分析了固定步長(zhǎng)CMA算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差存在矛盾的問(wèn)題。提出一種改進(jìn)方法，對(duì)改進(jìn)算法進(jìn)行分析與仿真，仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法能夠很好地解決收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差存在矛盾的問(wèn)題，改善了原算法的性能。均衡技術(shù)用于解決碼間串?dāng)_問(wèn)題有良好的應(yīng)用前景，可應(yīng)用于無(wú)線通信、光通信[10?12]、雷達(dá)、聲吶等眾多領(lǐng)域中。

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