張世林++田金政

高考題和各地的模擬題經(jīng)常涉及多元函數(shù)的條件最值問題，這類問題對(duì)考生的能力要求較高，稍不注意就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤. 為此，本文將這類問題的常見求解策略舉例分析如下.

直接放縮

直接對(duì)條件求解式利用均值不等式進(jìn)行放縮，此時(shí)應(yīng)特別注意等號(hào)成立的條件.

例1 （1）若，，則的最小值為____________.

（2）已知正數(shù)滿足，試求，的范圍.

解析 （1）∵，

∴.

∴，或.

∵，

∴.

（2）方法一：∵，，

.

即

解得，.

當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立.

故的取值范圍是.

又，

即

解得，.

當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立.

故的取值范圍是

方法二：∵，，

，且.

則.

∵，即.

則

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

故的取值范圍是.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

故的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng) 第（2）問中，方法一是換元與放縮的結(jié)合，方法二是減元與函數(shù)思想的結(jié)合.

合理配湊

將已知等式合理變形、恰當(dāng)配湊，使之能用條件且保證和（或積）為常數(shù)，其間滲透著換元的思想.

例2 （1）已知，，且，則的最大值為 .

（2）已知，，，則的最小值是（ ）

A. 3 B. 4

C. D.

解析 （1）由題意得，

.

，

則.

（2）因?yàn)椋?/p>

所以.

整理得，.

即.

又，.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

答案 （1） （2）B

“1”的代換與消元

例3 已知正數(shù)滿足，求的最小值.

解析 方法1： （均值不等式法）由得，

則

.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.

故此函數(shù)的最小值是18.

方法2：（消元法）由得，

又，即

，故

則

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

故此函數(shù)的最小值是18.

例4 已知兩正數(shù)滿足，求的最小值.

錯(cuò)解一 因?yàn)閷?duì)，恒有.

從而.

所以的最小值是4.

錯(cuò)解二 由題意得，.

所以的最小值是.

分析 錯(cuò)解一中，等號(hào)成立的條件是，且相矛盾. 錯(cuò)解二中，等號(hào)成立的條件是，這與相矛盾.

正解 由題意得，

=

.

令， 則.

因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)，有最小值.

所以當(dāng)時(shí)，有最小值.

挖掘隱含條件

例5 已知是不相等的正數(shù)，且，則的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解析 由得，

.

于是.

故

解得，.

答案 B

點(diǎn)評(píng) 本題容易漏掉這個(gè)隱含條件而誤選A.endprint