彭 斌，李要紅，趙生顯，朱永軍，張朋成

（蘭州理工大學(xué)，甘肅蘭州 730050）

1 前言

對于渦旋機械原理的研究，最早是由法國工程師Leon Creux提出［1］，并在1905年于美國取得專利。但由于當(dāng)時其優(yōu)勢并未被發(fā)掘以及技術(shù)的限制，渦旋機械沒有得到深入發(fā)展。直到20世紀80年代渦旋壓縮機才得以廣泛研究，而渦旋膨脹機則是由渦旋壓縮機改裝而來。經(jīng)相關(guān)資料顯示，渦旋膨脹機最早是由日本某汽車生產(chǎn)公司用于rankine中，作為回收余熱裝置，以提高發(fā)動機的效率，得出回收的能量約占機車輸出總能量的3%［2］。近年來，由于資源的短缺、環(huán)境問題的日益加重，渦旋機械的研究已得到國內(nèi)外各研究機構(gòu)的重視。作為回收余熱裝置關(guān)鍵部件的渦旋式膨脹機，因其結(jié)構(gòu)緊湊、體積較小、可靠性好、振動小和容積效率高等優(yōu)點得到廣泛的使用。渦旋膨脹機性能的研究更是成為國內(nèi)外研究的熱點。為了分析渦旋膨脹機整機的性能，其幾何模型的研究是基礎(chǔ)。關(guān)于渦旋膨脹機的研究，主要集中在對其熱力學(xué)、動力學(xué)和泄漏方面的分析，實際上，對其幾何模型的研究也是較為重要的。

由于渦旋膨脹機是由渦旋壓縮機改裝而來，因此，渦旋膨脹機的幾何模型與渦旋壓縮機幾何模型極其相似。Morishita第一次對渦旋壓縮機幾何和動力學(xué)模型進行了詳細的論述［3］。型線的構(gòu)成結(jié)構(gòu)對渦旋壓縮機的性能影響較大，型線主要有圓漸開線、線段漸開線和正多邊形漸開線等，目前常用的漸開線為圓漸開線。由于加工型線時干涉的存在，使得齒頭形成尖角，這會產(chǎn)生很大的應(yīng)力，在高溫高壓下容易損壞；渦旋線始端剛性降低，使變形增大，磨損加快，而且加工時難以保證加工精度，因此對型線始端的修正也是必不可少的。對于型線始端的修正，也做了大量的研究。王君等通過雙圓弧修正的方式，得出圓漸開線型線雙圓弧修正的生成方法［4］。文獻［5～7］通過雙圓弧修正以及對稱雙圓弧加直線修正，得出壓縮腔面積直接影響壓縮過程中氣體的壓力、溫度變化和最終的壓縮比，中心腔的面積影響排氣口的速度和壓力變化。

本文以圓漸開線為型線對渦旋膨脹機的幾何模型展開研究。以雙圓弧修正為基礎(chǔ)，得出雙圓弧加直線修正后膨脹機的吸氣容積，為膨脹機動力學(xué)、熱力學(xué)模型做好基礎(chǔ)。

2 圓漸開線以及型線的生成

一條直線與半徑為rb的圓相切，直線繞圓轉(zhuǎn)動，直線上某一點的軌跡即為圓的漸開線，該圓則稱為基圓。如圖1所示，以φ為參數(shù)建立坐標系，由幾何關(guān)系可求得漸開線上一點的坐標M（x，y），φ為與M點相對應(yīng)的漸開角，于是漸開線的方程可寫為：

式中 rb——基圓半徑

為計算方便，假設(shè)內(nèi)外壁型線的漸開線起始角相等，取為α。進而可求得渦旋膨脹機內(nèi)外壁型線的方程：

式中 α——內(nèi)外壁漸開線起始角i，o——下標，內(nèi)、外壁線

圖1 圓漸開線生成

圖2所示為壁厚為t的靜渦旋盤型線。動渦盤由靜渦盤旋轉(zhuǎn)180°得來，因此動靜渦盤型線相同。

圖2 靜渦盤示意

3 渦旋型線修正

常見的渦旋修正型線有雙圓弧修正、圓弧加直線修正、多對圓弧修正、三角函數(shù)修正和二次曲線修正等。為了滿足渦旋膨脹機渦旋齒齒頭的剛度，一般采用雙圓弧加直線修正。

3.1 雙圓弧加直線修正

為了避免由刀具干涉導(dǎo)致齒頭形成尖角，修正是必不可少的。強建國等人采用等角雙圓弧加直線的修正方法，推導(dǎo)出修正之后齒頭增加的面積計算方法［8］，但過于復(fù)雜。如圖 3（a）所示為雙圓弧加直線修正示意。圖中，φ為修正角，Oo、Of分別為動靜渦盤基圓中心，O2和O1為修正圓弧的圓心，l為修正直線的長度，θ＊為開始膨脹角。首先給出修正角φ，可得點C和點D的坐標，通過C、D兩點做基圓切線，交于內(nèi)外壁線A和B，過基圓圓心與X軸成γ角的直線分別與直線AD、CB交于點O2和O1，O2、O1即為兩修正圓弧的圓心。分別以AO2和O1B為半徑做圓，最后做出兩圓的內(nèi)切線（即修正直線EF），由渦旋齒的嚙合得到圖 3（b）。

圖3 雙圓弧加直線修正

圖中幾何關(guān)系由下式表示：

根據(jù)文獻［8］，可求得E、F的坐標為：

3.2 修正后增加的壁厚面積

修正后渦旋壁厚所增加的面積，即為如圖3（a）所示陰影部分的面積。其具體求解方法為：

其中，S1為內(nèi)壁型線從發(fā)生角α到A點時的發(fā)生角φA所形成的面積，由圓漸開線的展開特性可知該部分面積的計算方法為：

式（7）中各扇形和三角形的面積可由幾何關(guān)系得到，文中不做詳細的推導(dǎo)。

3.3 修正參數(shù)對吸氣容積的影響

渦旋膨脹機吸氣容積的大小，主要和渦旋齒始端型線的修正有關(guān)，而雙圓弧加直線修正型線主要是由起始修正角γ和修正角φ決定。在假定起始修正角 γ 不變的情況下（本文取γ=110°），通過改變修正角φ的大小，并結(jié)合式（4）～（6）計算出修正所用其他的參數(shù)，從而計算出修正之后渦旋齒始端的投影面積，最后計算出渦旋膨脹機吸氣容積的大小變化。

圖4所示為起始修正角γ=110°時修正型線隨修正角φ的變化，表1為主軸轉(zhuǎn)角 θ=90°時修正參數(shù)的變化及吸氣容積的變化參數(shù)，從圖4和表1中可以看出，在起始修正角一定的情況下，隨著修正角的增大，渦旋膨脹機吸氣容積增大，增大修正角能增加渦旋膨脹機的吸氣容積，進而增大膨脹比。當(dāng)φ=41.5°時，齒頭始端形成尖角，容易造成應(yīng)力集中，應(yīng)當(dāng)避免；當(dāng)φ=52°時，修正變?yōu)殡p圓弧修正。因此修正角的取值范圍為41°≤φ≤52°。

圖4 修正型線隨φ的變化

表1 修正參數(shù)及各吸氣容積

4 渦旋膨脹機幾何模型

4.1 渦旋膨脹機工作原理

渦旋膨脹機經(jīng)吸氣、膨脹、排氣3個工作過程，由高溫高壓的有機工質(zhì)帶動動渦盤做功，將氣體的內(nèi)能轉(zhuǎn)化為機械能輸出。其渦旋齒嚙合過程如圖5所示。

圖5 膨脹機工作過程

此處規(guī)定渦旋膨脹機主軸轉(zhuǎn)角θ=θ＊時膨脹機開始吸氣，主軸轉(zhuǎn)角θ=2π+θ＊時吸氣結(jié)束，θ＊為開始膨脹角，動渦盤齒頭與靜渦盤內(nèi)壁面嚙合，開始膨脹。直到主軸轉(zhuǎn)角θ=θd時，進入排氣階段，開始排氣。即進入的一團氣從吸氣、膨脹、排氣完成一次工作過程。θd為開始排氣角，也叫膨脹結(jié)束角。

4.2 未修正工作腔容積計算

對于圓漸開線作為型線的渦旋膨脹機工作腔容積的計算，目前有2種計算方法，一種是根據(jù)圓漸開線的展開特性，通過積分直接計算出工作腔容積的解析計算公式［11］，從而得出其月牙形腔軸向投影面積；另一種是根據(jù)法向等距法，將封閉月牙形工作腔的軸向投影面積等價為相互嚙合的兩型線組成的等寬度環(huán)槽面積，通過計算等寬度環(huán)槽中心型線的長度與公轉(zhuǎn)半徑的乘積，得到工作腔容積［12，13］。

本文采用Morishita在假定內(nèi)外壁線漸開角相等的情況下，推導(dǎo)出的壓縮過程和排氣過程工作腔容積表達式［3］。未修正時渦旋齒的嚙合如圖6所示，從圖中可以看出，各腔體V1～V3、Vd的劃分以及各嚙合點1～4，圖中 θ 為主軸轉(zhuǎn)角。當(dāng)θ=θ＊時，吸氣腔開始吸氣，隨著主軸轉(zhuǎn)角的增大，吸氣容積增大，至θ=2π+θ＊時即吸氣結(jié)束，開始膨脹。當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角θ=θd時，膨脹結(jié)束由于在開始排氣時繼續(xù)膨脹，因此體積繼續(xù)增大，隨著主軸轉(zhuǎn)角的繼續(xù)增大，進入排氣過程，氣體體積減小。

圖6 未修正型線嚙合

吸氣腔容積V0的計算與渦旋壓縮機排氣腔體積的計算類似，其計算方法為：

h——渦旋體高度

Si——渦旋盤內(nèi)壁面型線形成的面積

So——渦旋體壁厚部分投影面積

Sl——兩基圓之間圍成的面積

各面積計算方法如下：

以第一膨脹腔V1為例，計算由嚙合點1和嚙合點2所形成月牙腔容積：

式中 P——渦旋體節(jié)距

t——渦旋體壁厚

則第i（i≥1）個膨脹腔的容積為：

排氣腔的容積為：

式中 r0——回轉(zhuǎn)半徑

4.3 修正后工作腔容積計算

如圖3（a）所示，陰影部分S的面積為修正之后渦旋體壁厚所增加的面積。So為修正渦旋體壁厚所減少的面積。文獻［9］對修正后的工作腔容積計算做了詳細的推導(dǎo)。實際上，從圖3可以看出，齒端的修正只對膨脹機的開始膨脹角θ＊有影響，其吸氣的過程與未修正之前一樣，忽略修正對壁厚中心線的影響，則對于修正后工作腔容積的計算方法可近似與未修正之前一樣，只是在吸氣過程中，吸氣容積總體減小2（S-So）h。其中S由式（7）求得，So的求解方法為：

5 泄漏

對渦旋膨脹機熱力學(xué)的研究，泄漏線的長度以及泄漏面積的計算是必不可少的。渦旋壓縮機的泄漏有切向泄漏和徑向泄漏2種。Halm給出了2種泄漏的計算方法，但是沒有考慮泄漏線是控制容積的哪一側(cè)［13］。Chen分別對控制容積兩側(cè)的泄漏線給出了不同的計算方法［14］。

5.1 切向泄漏

由于存在徑向間隙，會產(chǎn)生切向泄漏，其途徑包括吸氣腔與膨脹腔、膨脹腔與膨脹腔、膨脹腔與排氣腔之間的泄漏。切向泄漏線的長度為渦旋型線的高度，其泄漏面積的計算方式為：

5.2 徑向泄漏

動靜渦盤在裝配時存在軸向間隙，產(chǎn)生徑向泄漏。渦旋膨脹機的徑向泄漏是高壓腔體中的工質(zhì)氣體通過軸向間隙流向低壓腔體。本文假設(shè)每一對月牙腔內(nèi)氣體的壓強分布均勻，即不考慮一對腔體之間存在的泄漏。則徑向泄漏由兩部分組成，即由上一腔體的泄入和向下一腔體的泄出。如圖7所示為渦旋膨脹機徑向泄漏示意。

圖7 徑向泄漏示意

如圖所示，由上一腔體泄入的泄漏線長度是動渦旋齒外壁型線的長度，由圓漸開線的幾何關(guān)系可知，膨脹機工作腔徑向泄漏由上一腔體泄漏進來。泄漏線長度及泄漏面積計算公式為：

φk，φm—— 動靜渦盤嚙合點處渦旋齒型線的漸開角

向下一腔體泄出的泄漏線長度是靜渦旋盤內(nèi)壁型線的長度。月牙腔向下一腔體的泄漏線長度及泄漏面積為：

δf，δr—— 切向間隙和徑向間隙，一般與吸氣壓力和排氣壓力的比值有關(guān)δf和δr由以下兩式求得［15］：

當(dāng)對圓的漸開線最初一段進行修正時，會影響到單位寬度漸開線的中心線長度（渦旋體壁厚中心線），即處于吸氣腔內(nèi)的徑向泄漏線長度的計算。但為了便與計算，以及從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，可以忽略型線齒端修正所造成的徑向泄漏線長度變化量。

6 算例與分析

本文采用MATLAB軟件，對渦旋膨脹機的容積變化進行編程計算，渦旋膨脹機的具體參數(shù)見表2。圖8，9分別為渦旋齒未修正時，渦旋膨脹機容積變化曲線以及容積變化率。

表2 渦旋膨脹機幾何參數(shù)

圖8 容積變化曲線

圖8中，隨著主軸轉(zhuǎn)角的增大，膨脹機各工作腔容積逐漸增大。吸氣結(jié)束后進入膨脹過程，主軸轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大，到膨脹結(jié)束開始排氣。由于排氣口的節(jié)流作用，使得排氣腔容積繼續(xù)增大，達到最大值后容積逐漸減小，完成吸氣、膨脹和排氣過程。圖9為各腔容積變化率曲線，吸氣腔容積變化率增大，膨脹腔增速不變，排氣腔總體呈負增長趨勢。

圖9 容積變化率

圖10（a）所示為未修正和雙圓弧加直線修正的吸氣腔容積變化對比，圖10（b）為主軸轉(zhuǎn)角θ=90°時膨脹機吸氣容積隨修正角的變化規(guī)律。從圖中可以看出，膨脹機吸氣容積隨著修正角的增大而增大，因此，通過增大修正角，可以增大膨脹機的吸氣容積，從而改變膨脹比，提高膨脹機的效率。

圖10 修正吸氣腔容積

圖11所示為渦旋膨脹機月牙腔徑向泄漏線長度隨主軸轉(zhuǎn)角的變化曲線。隨著主軸轉(zhuǎn)角的增大，徑向泄漏線長度不斷增加。從圖7可以看出，在計算吸氣腔與第一膨脹腔之間的泄漏線時，動渦盤的外壁型線和靜渦盤內(nèi)壁型線之間存在一定的角度差，所以曲線最初一段會出現(xiàn)一微小突變。當(dāng)膨脹機開始排氣時，第四膨脹腔與排氣腔接通，不再有泄漏線，因此曲線末端則變?yōu)榱恪?/p>

圖11 徑向泄漏線長度變化

7 結(jié)論

（1）本文以圓漸開線為渦旋型線為基礎(chǔ)，對渦旋齒齒端的修正展開討論，并對雙圓弧加直線修正做了詳細論述，給出其所增加壁厚的計算方法。

（2）對膨脹機工作過程和工作原理，以及各腔體的劃分做出分析。

（3）用積分法，對未修正以及雙圓弧加直線修正后渦旋膨脹機容積進行計算，使用MATLAB編程得出容積變化和變化率曲線，并對兩者進行簡單的對比分析，得出修正對膨脹機容積的變化比較小，通過增大修正角，可以增大膨脹機的吸氣容積。

（4）對膨脹機工作腔的泄漏做簡單的分析與探討，給出泄漏線長度和泄漏面積的計算方法，并做出膨脹機月牙腔徑向泄漏線長度變化曲線，得出徑向泄漏線的長度隨主軸轉(zhuǎn)角的增大而增加。

［1］ Creux L.Rotary engine［P］. US Patent No 801182，1905.

［2］ Society of Automotive Engineers.New engine design and engine component technolygy［M］. Society of Automotive Engineers（SAE），1993.

［3］ Morishita，Sugihara E M. Scroll compressor analytical model［C］. 1984 International Compressor Engineering Conference at Purdue University，1984：487-495.

［5］ 高秀峰，馮詩愚，顧兆林，等. 對稱圓弧修正齒型渦旋壓縮機排氣孔的開設(shè)分析［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報，2000，34（6）：89-92.

［6］ 李連生，束鵬程. 渦旋型線對排氣口侵入及排氣流速的分析計算［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報，2000，32（7）：56-59.

［7］ 高秀峰，郁永章.對稱修正齒渦旋壓縮機排氣研究［J］.壓縮機技術(shù)，1999，157（5）：3-7.

［8］ 強建國，劉振全. EA-SAL修正渦旋齒端面積計算［J］. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2006，32（5）：36-39.

［9］ Wang，Li B，Shi X，et al. A general ge- ometrical model of scroll compressors based on discretional initial angles of involute［J］.Int. J. Refrig.，2005（28）：958-966.［10］ 劉濤，鄔再新，劉振全. 法向等距線法生成渦旋壓縮機型線的研究［J］. 機械工程學(xué)報，2004，40（6）：55-58.

［11］ 王君，李雪琴. 多齒渦旋機械嚙合型線的構(gòu)建理論［J］. 機械工程學(xué)報，2008，44（4）：74-79.

［12］ 顧兆琳，郁永章，馮詩愚. 渦旋壓縮機及其它渦旋機械［M］. 西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1998.

［13］ Halm N P. Mathematical model of scroll compressor［D］. MasterThesis，Purdue University，1997.

［14］ Chen Yu. Mathematical modeling of scroll compressors［D］. MasterThesis，Purdue University，2004.