錢永

摘 要： 地理是一門跨科學(xué)與人文兩個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的學(xué)科，數(shù)學(xué)方法在地理教學(xué)中的應(yīng)用備受關(guān)注。本文總結(jié)了作者教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)集合、數(shù)形結(jié)合、分類討論、立體幾何、函數(shù)與方程等方法在地理教學(xué)中的應(yīng)用，對(duì)地理教師的教學(xué)實(shí)踐有一定的借鑒作用。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)方法 地理教學(xué) 實(shí)踐應(yīng)用

地理是一門跨科學(xué)與人文兩個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的學(xué)科，地理試題中有大量新穎靈活的、綜合性較強(qiáng)的高考題及高考模擬題，尤其關(guān)于地球與地圖、大氣環(huán)境等自然地理知識(shí)類題目難度較大，學(xué)生失分較多，此類知識(shí)教學(xué)已成為地理教學(xué)的突破口。教師在解題之中總結(jié)出許多寶貴的經(jīng)驗(yàn)，深入挖掘?qū)W生失分較多的原因，發(fā)現(xiàn)單一的地理知識(shí)已掌握得比較到位，歸根到底是由于學(xué)科之間的知識(shí)遷移能力較弱。恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)定性與定量方法相結(jié)合、綜合歸納與理論演繹方法并用，就能發(fā)展學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有利于把握好能力目標(biāo)的發(fā)展點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)而提高學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)。下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剶?shù)學(xué)集合、數(shù)形結(jié)合、分類討論、立體幾何、函數(shù)與方程等方法在地理學(xué)科教學(xué)中的應(yīng)用，以期對(duì)地理教師的教學(xué)實(shí)踐有一定的借鑒作用。

1.數(shù)學(xué)集合法

集合方法是指運(yùn)用集合論語言描述刻畫數(shù)學(xué)研究對(duì)象和關(guān)系、運(yùn)用集合論觀點(diǎn)分析解決問題的方法。很多地理概念存在包含與被包含的關(guān)系，或需要進(jìn)行分類劃分，用語言表達(dá)往往比較抽象煩瑣，此時(shí)可以借助數(shù)學(xué)中集合的思想方法表示，會(huì)顯得直觀、形象又具有科學(xué)性。地理概念可分為以下幾種類型：

（1）從屬關(guān)系的概念：如能源、一次能源、常規(guī)能源，類似的還有土地資源、土壤資源、耕地資源；銀河系、太陽系、地月系等。

（2）包含并列關(guān)系的概念：如降水、降雨、降雪，有些同學(xué)總是把降水與降雨、降雪混淆，特別是降水與降雨常?；煊茫聦?shí)上，降雨、降雪只不過是降水的兩個(gè)并列獨(dú)立子集，用集合表示就很直觀；類似的還有鋒、暖鋒、冷鋒，準(zhǔn)靜止鋒；淡水與各種陸地淡水資源的關(guān)系等。

（3）交叉關(guān)系的概念：如可再生能源、新能源、二次能源；類似的還有自然資源、礦產(chǎn)資源、能源等。

（4）排斥關(guān)系的概念：如可再生資源和不可再生資源；巖漿巖、沉積巖、變質(zhì)巖、褶皺、斷層等[1]。

案例1（湘教版必修1，自然資源的范疇）：

在“自然資源與人類活動(dòng)”與“自然資源保護(hù)”中需要把握一組概念：能源、一次能源、常規(guī)能源的從屬關(guān)系，如果要從文字上區(qū)別，首先得記住這三個(gè)概念的定義、內(nèi)涵與外延，這樣學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)太重，會(huì)增加學(xué)習(xí)難度。如將集合思想滲透地理概念，就淺顯易懂了（見圖1），只不過是簡單的包含與被包含關(guān)系，學(xué)生很容易明確。

2.數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”。在地理解題中，同樣可以將簡單的文字或數(shù)字以圖形的方式呈現(xiàn)，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化地理解題途徑的作用。此思想方法廣泛適合正午太陽高度變化、氣候類型的判斷等知識(shí)塊的“滲透”。

案例2（湘教版必修1，正午太陽高度的分布規(guī)律）：

正午太陽高度分布規(guī)律的教學(xué)是高中地理中最難的部分，新教材為降低難度，只給予一個(gè)結(jié)論性的概括，雖有圖思考，顯然不太直觀，學(xué)生學(xué)習(xí)和理解都感到非常困難，為增加學(xué)生學(xué)習(xí)的直觀性，同時(shí)讓學(xué)生能夠連貫地思考，現(xiàn)根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想重新設(shè)計(jì)，通過師生共同活動(dòng)組織教學(xué)，以下是教學(xué)過程。

通過指導(dǎo)學(xué)生閱讀湘教版第20頁的二分二至日正午太陽高度數(shù)據(jù)，得到以下三組數(shù)據(jù)（見下表）。

根據(jù)三條曲線變化規(guī)律歸納與總結(jié)正午太陽高度分布規(guī)律：同一天，全球各緯度的正午太陽高度由直射緯線向南北兩側(cè)遞減。通過師生共同活動(dòng)，教學(xué)過程更加直觀，突破教學(xué)難點(diǎn)，徹底打通學(xué)習(xí)的“任督二脈”。在地理教學(xué)中使用數(shù)形結(jié)合思想方法，可以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感，同時(shí)豐富學(xué)生的形象思維與抽象思維，使多種思維互相促進(jìn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，更有助于學(xué)生綜合能力的提高。

3.分類討論法

所謂分類討論，在數(shù)學(xué)中也叫“窮舉法”：就是把原問題分解成相對(duì)獨(dú)立的“小問題”處理，綜合對(duì)這些小問題進(jìn)行解答，便可推證出原問題的結(jié)論。

案例3（湘教版必修1 三圈環(huán)流）：

三圈環(huán)流的形成，這部分內(nèi)容是高中自然地理中最難理解的知識(shí)點(diǎn)之一，內(nèi)容較為抽象，其中概念和原理離學(xué)生實(shí)際生活很遠(yuǎn)，難以聯(lián)系、想象，對(duì)學(xué)生的抽象思維和空間思維能力要求較高。在講解時(shí)，教師需要由淺入深，借助學(xué)生已有知識(shí)和直觀的圖像，幫助學(xué)生深化理解。教學(xué)過程如下：形成全球性大氣環(huán)流的主導(dǎo)因素有：太陽輻射的緯度差異、地球的自轉(zhuǎn)、太陽直射點(diǎn)的南北移動(dòng)。試著根據(jù)這三個(gè)主導(dǎo)因素來三次假設(shè)，層層深入，分類討論，最后綜合總結(jié)，得出正確結(jié)論。

假設(shè)一：地表性質(zhì)均勻、太陽直射赤道，地球不自轉(zhuǎn)，繪制單圈環(huán)流圖（見圖3）。

假設(shè)三：地表性質(zhì)均勻。

在假設(shè)三的基礎(chǔ)上，需要考慮直射點(diǎn)的移動(dòng)，則氣壓帶與風(fēng)帶的位置也會(huì)移動(dòng)。

假設(shè)四：無。

在假設(shè)四的基礎(chǔ)上，需要考慮同一緯度的地表性質(zhì)差異，則氣壓帶將變成塊狀。

整個(gè)分類討論過程層層深入，使復(fù)雜問題簡單化，學(xué)生學(xué)會(huì)將大問題分解為幾個(gè)子問題，再逐一突破的問題解決方法，培養(yǎng)分析能力和綜合概括能力。

4.幾何法

地理教學(xué)中，為使地理原理、規(guī)律更加直觀，需要模擬、演示地理實(shí)驗(yàn)或去野外進(jìn)行地理實(shí)踐，而在這些實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`活動(dòng)中需要運(yùn)用幾何方法解決地理問題，如太陽高度角的測定、兩樓間最佳距離的確定等。

案例4（湘教版必修1，黃赤交角）：endprint

必須借助幾何圖形與立體模型說明該概念，同時(shí)應(yīng)用幾何知識(shí)理解該概念及影響。黃赤交角的概念，即公轉(zhuǎn)平面（黃道平面）與自轉(zhuǎn)平面（赤道平面）的夾角，就是二平面所成的二面角?？赏ㄟ^集合圖形和立體模型說明黃道平面和赤道平面的概念。在說明這兩個(gè)概念的時(shí)候，可向?qū)W生出示地球公轉(zhuǎn)軌道示意圖（圖5）、地球儀（圖6）及一盞固定安裝于某個(gè)高度的白熾燈[2]。

通過上述圖形和模型學(xué)生充分理解“赤道面”和“黃道面”這兩個(gè)概念。在這樣的知識(shí)儲(chǔ)備前提下，教師再出示平面圖（教材P21）。除黃赤交角外，經(jīng)線與經(jīng)度、緯線和緯度、地平高度、太陽高度、角速度與線速度等概念及其特點(diǎn)，都可通過數(shù)學(xué)幾何圖形給學(xué)生以直觀、形象的印象，通過幾何知識(shí)分析幫助學(xué)生正確、深刻地理解概念，從而起到掌握重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的作用。另外，在地理實(shí)踐活動(dòng)中學(xué)生通過立竿測影計(jì)算某地的正午太陽高度角，學(xué)生結(jié)合幾何方法制作地球儀等地理模型。讓學(xué)生動(dòng)手學(xué)習(xí)，既能提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到事半功倍的效果。

5.轉(zhuǎn)化化歸法

所謂轉(zhuǎn)化化歸法，就是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，不直接解決原問題，而是對(duì)問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(gè)（些）易解決或已解決的問題。也就是把未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題，然后把這些已知的或簡單的問題的結(jié)果作用于原問題而解決原問題的方法。這種方法在解決地理分析計(jì)算問題時(shí)經(jīng)常用到。

解析：本題的關(guān)鍵條件是α、β之差小于6°，α、β角是太陽光線與地面垂線的夾角，對(duì)這兩角的出現(xiàn)開始感覺到陌生、困惑，是否可以將兩角轉(zhuǎn)化成熟悉的夾角，是解題的突破口。嘗試著過M點(diǎn)作地面切線L3（圖9），標(biāo)注角1、2，∠1、∠2為二至日正午太陽高度的大小。發(fā)現(xiàn)∠1+∠α=∠2+∠β=90°，推導(dǎo)：∠1-∠2=∠β-∠α，即角1、2的差值也小于6°，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，將陌生角的差值轉(zhuǎn)化為熟悉角的差值——正午太陽高度差值。對(duì)于二至日的正午太陽高度差值，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為公式，從66.5°-90°、23.5°-66.5°，0°-23.5°三個(gè)緯度范圍分別計(jì)算M點(diǎn)緯度，其中66.5°-90°之間冬至日是極夜，可以排除；23.5°-66.5°之間二至日的正午太陽高度差值是定值47°，亦可排除。這樣計(jì)算就轉(zhuǎn)化為0°-23.5°之間的相關(guān)計(jì)算，設(shè)M點(diǎn)緯度為x，則H夏至日-H冬至日=[90°-（23.5°-x）][90°-（23.5°+x）]=2x，即2x<6°，x<3°，答案A。本題也可以賦特殊值代入轉(zhuǎn)化推導(dǎo)。

本題通過角角轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題。化歸思想在應(yīng)用上具有靈活性和多樣性，解題時(shí)需要學(xué)生依據(jù)問題本身提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維尋求有利于問題解決的變換途徑和方法。

6.函數(shù)與方程法

函數(shù)與方程法是就某個(gè)具體問題通過“建?！保D(zhuǎn)化成函數(shù)或方程，從而解決問題的一種方法。將其運(yùn)用到地理解題中，瞄準(zhǔn)具體的地理計(jì)算問題，通過運(yùn)用地理原理和數(shù)學(xué)方法將問題中展現(xiàn)的地理各要素關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程、函數(shù)，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)和地理原理求解[3]。

案例6：讀某地太陽高度日變化值隨日期變化圖（設(shè)黑夜太陽高度都為0°），回答問題。則：該地的緯度為（ ）。

此題需要借助函數(shù)或方程，通過將太陽高度變化中一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，理清思路，降低難度。實(shí)際操作過程：地理問題→數(shù)學(xué)問題→方程問題。

總之，地理教學(xué)特別是自然地理教學(xué)，綜合性強(qiáng)，難度大，思維方式最接近理科思維，對(duì)學(xué)生的邏輯推理和綜合分析能力要求較高。數(shù)學(xué)方法就是開啟地理教學(xué)的一把金鑰匙，將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于地理教學(xué)之中，有助于加強(qiáng)知識(shí)遷移、空間想象、地理計(jì)算等訓(xùn)練，同時(shí)拓展地理思維水平，開啟地理思維的智慧之門，使地理教學(xué)真正由“煩瑣”走向“無瑣”[4]。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭姝媛.數(shù)學(xué)思想方法在高中地理教學(xué)中的滲透[D].上海：華東師范大學(xué)，2011.

[2]孟凡光.摭談數(shù)學(xué)思想與方法在解答地理選擇題時(shí)的應(yīng)用[J].地理教學(xué)，2010（23）.

[3]孫中旭.地理教學(xué)中的數(shù)學(xué)思考[J].長春教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（9）.

[4]金光澤.計(jì)量思想——高考地理試題所反映出地學(xué)思維和方法[J].中國考試，2007（11）.endprint