張北帆+李然+楊暉

摘要： 散斑可見(jiàn)度光譜法是近年來(lái)興起的研究密集顆粒流運(yùn)動(dòng)的新方法。針對(duì)散斑可見(jiàn)度光譜法測(cè)取顆粒溫度的實(shí)驗(yàn)中，如何消除相干因子測(cè)量過(guò)程中的誤差進(jìn)行了研究。比較了靜態(tài)散斑對(duì)比度以及散斑對(duì)比度系數(shù)的計(jì)算方法以及消除相干因子的方法，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果表明，由散斑對(duì)比度系數(shù)消除相干因子的方法能最大程度地保留測(cè)量準(zhǔn)確度。該方法能夠消除由環(huán)境不同及激光不穩(wěn)定所帶來(lái)的誤差，使得同類實(shí)驗(yàn)具有更好的對(duì)比性。同時(shí)給出了計(jì)算量較大導(dǎo)致的時(shí)間分辨率較低這一問(wèn)題的解決方法。

關(guān)鍵詞：

散斑可見(jiàn)度光譜法； 相干因子； 顆粒流； 顆粒溫度

中圖分類號(hào)： TN 247；O 436.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2017.06.007

Abstract：Based on the speckle visibility spectroscopy that is developed to study the dense particle flow in recent years，we discuss and compare the different methods to determine granular temperature through coherence parameter β，and draw a conclusion that using the method of calculating speckle visibility ratio to eliminate coherence parameter β can reduce the measurement error to the greatest extent.It makes better compared results from various experimental conditions because of elimination of the environmental error.Furthermore，we provide a solution to keep the high timeresolution，which is proved by experiments.

Keywords：

speckle visibility spectroscopy； coherence factor； particle flow； granular temperature

引言

散斑可見(jiàn)度光譜法（SVS）是近年來(lái)在擴(kuò)散波光譜（DWS）理論基礎(chǔ)上發(fā)展的一種用于研究時(shí)變動(dòng)力學(xué)的新方法[1]，該方法有效解決了DWS法不適用于非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的問(wèn)題。其原理是利用各態(tài)遍歷系統(tǒng)具有時(shí)空等效的特點(diǎn)，用高速線陣CCD相機(jī)同時(shí)測(cè)量多個(gè)散斑，代替了DWS系統(tǒng)中只測(cè)量單個(gè)顆粒散斑的光電倍增管，通過(guò)空間遍歷代替時(shí)間遍歷的方法，實(shí)現(xiàn)了時(shí)變隨機(jī)過(guò)程的顆粒流動(dòng)力學(xué)測(cè)量。目前該方法已經(jīng)被用于研究流化床中顆粒的碰撞運(yùn)動(dòng)[2]，沙堆表面的顆粒崩塌過(guò)程[34]，以及泡沫結(jié)構(gòu)的演變過(guò)程。

顆粒的均方速度也稱為顆粒溫度，是一個(gè)用于表征顆粒物質(zhì)間相互作用以及顆粒流運(yùn)動(dòng)活躍程度的重要參數(shù)。雖然SVS用于顆粒溫度測(cè)量的理論已經(jīng)基本完備，但到目前為止相關(guān)的研究和論述還很少，這是由于基于SVS測(cè)量顆粒溫度的理論還不夠系統(tǒng)和完善，使得大多數(shù)研究者都不能很好地理解和掌握；另一方面，由于對(duì)實(shí)際測(cè)量裝置中的一些參數(shù)還缺少系統(tǒng)的研究，這就阻礙了該方法成為一種通用的標(biāo)準(zhǔn)顆粒溫度測(cè)量方法，由此導(dǎo)致不同的研究結(jié)果之間可比性較差。鑒于此本文針對(duì)SVS中較為關(guān)鍵的相干因子β進(jìn)行討論研究，希望能建立一套研究標(biāo)準(zhǔn)，使得同類方法的研究結(jié)果具有更好的可對(duì)比性與可參照性。

不同于DWS法中用光電倍增管測(cè)量單顆粒散斑，散斑可見(jiàn)度光譜法測(cè)量某區(qū)域整體散斑，如圖1（a）所示，當(dāng)激光照射在密集的顆粒樣品表面時(shí)，一部分光可以在穿透一些樣品后最終從入射反方向離開(kāi)，稱為后向散射光（也稱為背散射光），這部分后向散射光被CCD相機(jī)記錄。由于光的波粒二相性，當(dāng)存在一對(duì)走過(guò)相同路程的光子時(shí)，它們之間就會(huì)產(chǎn)生干涉，如圖1（b）所示，從而形成亮暗相間的顆粒狀光強(qiáng)分布模式，稱為散斑效應(yīng)。當(dāng)照射區(qū)域內(nèi)顆粒發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，光子的光程會(huì)發(fā)生變化，從而引起散斑圖像發(fā)生變化，稱為散斑可見(jiàn)度或時(shí)變散斑，并且散斑的變化速率與顆粒的運(yùn)動(dòng)速率呈正相關(guān)。

顆粒運(yùn)動(dòng)速率的表征可以借鑒氣體分子運(yùn)動(dòng)論的分析方法，將顆粒隨機(jī)運(yùn)動(dòng)與氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)相比擬，用顆粒溫度描述由于碰撞造成的顆粒運(yùn)動(dòng)速度隨機(jī)脈動(dòng)，其定義為顆粒脈動(dòng)速度平方的總體均值：

δv2=1m∑mi=1（vi-v—）2

（1）

式中：m為總顆粒數(shù)；vi為第i個(gè)顆粒的運(yùn)動(dòng)速度；v—為全部顆粒運(yùn)動(dòng)的平均速度[5]。

SVS通常利用CCD相機(jī)進(jìn)行散斑圖樣采集，根據(jù)成像原理，每一個(gè)像素輸出的灰度值即為該像素點(diǎn)表面光強(qiáng)在一定曝光時(shí)間內(nèi)的積分，所以在相同的曝光時(shí)間下，散斑隨時(shí)間變化越快，每一個(gè)像素點(diǎn)上的光強(qiáng)波動(dòng)越劇烈，則CCD輸出的灰度值隨時(shí)間變化越平緩，該點(diǎn)的能見(jiàn)度越低。圖2所示為線陣CCD相機(jī)在相同的曝光時(shí)間T時(shí)，測(cè)得不同運(yùn)動(dòng)速度的顆粒所產(chǎn)生的散斑可見(jiàn)度圖像，其中橫坐標(biāo)為檢測(cè)時(shí)間，縱坐標(biāo)為CCD相機(jī)的像素。對(duì)于靜止的散斑圖像，CCD成像中每一個(gè)像素點(diǎn)測(cè)得的光強(qiáng)值不隨檢測(cè)時(shí)間改變，因此輸出的灰度值也不變，成像圖案表現(xiàn)為明暗相間的條紋，此時(shí)圖像的對(duì)比度最高。隨著散斑圖像的變化，CCD相機(jī)每一個(gè)像素點(diǎn)上的光強(qiáng)也隨時(shí)間發(fā)生變化，光強(qiáng)變化越劇烈，積分后輸出的灰度值越平緩，圖像對(duì)比度越低。因此，通過(guò)計(jì)量成像圖案隨時(shí)間變化的對(duì)比度，就可以度量顆粒的運(yùn)動(dòng)速率，即顆粒溫度。endprint

2散斑對(duì)比度V2（T）與相干因子β

根據(jù)統(tǒng)計(jì)光學(xué)理論[6]，散斑圖像的對(duì)比度V2（T）可以表示為光強(qiáng)平方的均值與光強(qiáng)均值的平方之比：

V2（T）=σTI2=I2I2-1

（2）

式中：T為曝光時(shí)間；σT為光強(qiáng)在曝光時(shí)間T內(nèi)的方差；I為散射光強(qiáng)。

對(duì)于CCD來(lái)說(shuō)，其輸出的灰度值x等于曝光時(shí)間內(nèi)光強(qiáng)的積分大小，因此有

xi，T=∫T0Ii（t′）dt′/T

（3）

式中xi，T為CCD相機(jī)第i個(gè)像素在曝光時(shí)間為T時(shí)輸出的灰度值。

可得

I2=∑Ni（xi，T）2N=∑Ni∫T0∫T0Ii（t′）Ii（t″）dt′dt″/T22N

（4）

對(duì)于高斯光束有Siegert公式：

（Ii（t′）Ii（t″））=I2{1+β[g1（t′-t″）]2}

（5）

式中：β為系統(tǒng)的相干因子，主要與光學(xué)系統(tǒng)中的測(cè)量區(qū)域大小及其與探測(cè)器的測(cè)量距離有關(guān)；g1（t）為散射光場(chǎng)的自相關(guān)函數(shù)。將式（5）代入式（4）可得

I2=I2∫T0 ∫T0{1+β[g1（t′-t″）]2}dt′dt″/T2

（6）

再將式（6）代入式（2）得到散斑圖像的對(duì)比度為

V2（T）=β∫T0∫T0[g1（t′-t″）]2dt′dt″/T2=

β∫T021-tT[g1（t）]2dtT

（7）

圖1所示為顆粒物質(zhì)中兩路散射光經(jīng)過(guò)多次散射并最終產(chǎn)生固定相位差的示意圖。其中任一路光子的光程s為

s=∑Ni=0ri+1（t）-ri（t）=∑Ni=0kiki[ri+1（t）-ri（t）]

（8）

式中：ki為入射光經(jīng)過(guò)i次散射后的波矢；ri（t）表示在t時(shí)刻顆粒的位置。

在此過(guò)程中，光子的相位改變?chǔ)眨╰）為

φ（t）=∑Ni=0ki（t）[ri+1（t）-ri（t）]

（9）

探測(cè)器測(cè)得的光強(qiáng)為

E（t）=∑pEpexp[φ（t）]

（10）

式中Ep表示光程為p的光子的電場(chǎng)強(qiáng)度。

根據(jù)散射光場(chǎng)的自相關(guān)函數(shù)定義

g1（t）=E（0）E（t）E2

（11）

將式（8）～（10）代入式（11）可以得到

g1（t）=∑∞j=0P（sj）exp-N6q2Δr2（t）（12）

式中：P（s）為光子傳播路徑的概率分布；Δr2（t）=（δvt）2為顆粒均方位移；q為散射矢量，其值可表示為

q=ki-ki+1=2k0sinθ2

（13）

式中：k0=2πn0/λ為散射矢量，λ為入射光波長(zhǎng)，n0為介質(zhì)的折射率；θ為散射角。

因此，有

q2=4k20（1-cosθ）=2k0（1-cosθ）=2k0l*l

（14）

式中：l*和l分別為光子傳播和散射的平均自由程。

將式（14）代入式（12）可得

g1（t）=∫∞0P（s）exp-13k20Δr2（t）sl*ds

（15）

求解g1（t）的核心問(wèn)題是求解光子傳播路徑的概率分布P（s），P（s）是一個(gè)與待測(cè)顆粒樣本、激光入射位置以及散射光出射位置有關(guān)的函數(shù)，對(duì)于顆粒樣品厚度為L(zhǎng)的后向散射結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻(xiàn)[7]的計(jì)算結(jié)果，g1（t）為

g1（t）=sinh（L-z0）l*k0Δr2（t）+23k0Δr2（t）cosh（L-z0）l*k0Δr2（t）1+49k20Δr2（t）sinhLl*k0Δr2（t）+43k0Δr2（t）coshLl*k0Δr2（t）

（16）

式中：z0為從激光入射到顆粒表面到開(kāi)始擴(kuò)散的距離。如果樣品的厚度足夠大，即Ll，則式（16）可化簡(jiǎn)為

g1（t）=exp-z0l*k0Δr2（t）1+23k0Δr2（t）≈exp[-γk0Δr2（t）]

（17）

式中γ=z0l*+23是一個(gè)與顆粒大小和光學(xué)系統(tǒng)偏振態(tài)有關(guān)的常數(shù)。

將Δr2（t）=（δvt）2和k0=2πn/λ代入式（17），考慮到SVS系統(tǒng)的γ值在2左右，空氣的折射率為1，得到

g1（t）≈exp（-4πδvt/λ）=exp（-Γt）

（18）

式中Γ=4πδv/λ為自相關(guān)函數(shù)g1（t）的衰減線寬。

將式（18）代入式（7）并進(jìn)行積分，可以得到散斑對(duì)比度V2（T）與衰減線寬Γ的關(guān)系為

V2（T）=βexp（-2ΓT）-1+2ΓT2（ΓT）2

（19）

至此，建立了散斑對(duì)比度V2（T）與相干因子β和衰減線寬Γ的關(guān)系，其中V2（T）由成像系統(tǒng)直接采集，衰減線寬Γ與δv呈線性關(guān)系，因此求解顆粒溫度轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庀喔梢蜃应碌膯?wèn)題。

3相干因子β的計(jì)算與消除

3.1由靜態(tài)散斑對(duì)比度V2（T）s計(jì)算相干因子β

根據(jù)散斑對(duì)比度的定義可知，當(dāng)散斑靜止時(shí)，對(duì)比度達(dá)到最大值，此時(shí)系統(tǒng)的相干因子β即為靜態(tài)散斑對(duì)比度：

β=V2（T）s

（20）

式中：V2（T）s為顆粒系統(tǒng)靜止時(shí)的散斑對(duì)比度。

由于β只與光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，與顆粒物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，因此在測(cè)得系統(tǒng)的相干因子β后，代入動(dòng)態(tài)散斑可見(jiàn)度對(duì)比度V2（T），可以得到散射光場(chǎng)衰減線寬Γ，再由δv2=Γλ4π2可以計(jì)算得到顆粒流的顆粒溫度。endprint

3.2由散斑對(duì)比度系數(shù)R（mT） 消除相干因子β

通過(guò)測(cè)量靜態(tài)散斑對(duì)比度V2（T）s計(jì)算相干因子β的方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能存在2個(gè)問(wèn)題：1） 由于外部環(huán)境和CCD相機(jī)自身的噪聲影響，通過(guò)靜態(tài)散斑測(cè)量系統(tǒng)的相干因子β存在一定的誤差；2） 如果要檢測(cè)的對(duì)象無(wú)法靜止，則無(wú)法測(cè)得系統(tǒng)的相干因子β。

為了解決上述問(wèn)題，可以計(jì)算2組不同曝光時(shí)間下散斑圖像的對(duì)比度，然后將2組對(duì)比度相除就可以消去系統(tǒng)的相干因子β。

定義散斑對(duì)比度系數(shù)R（mT）為

R（mT）=V2（mT）V2（T）=exp（-2mΓT）-1+2mΓT[exp（-2ΓT）-1+2ΓT]m2，m=2，4，8，16，…

（21）

mT表征了不同的采樣時(shí)刻，其中m為倍率，通過(guò)計(jì)算臨近時(shí)刻散斑對(duì)比度V2（T）的比值可以消去相干因子β，即得到散斑對(duì)比度系數(shù)R（mT），再由R（mT）計(jì)算出衰減線寬Γ，最后由δv2=Γλ4π2計(jì)算出顆粒流的顆粒溫度δv2。散斑對(duì)比度系數(shù)R（mT）法和散斑對(duì)比度V2（T）法相比，消除了系統(tǒng)的相干因子β的影響，能提高測(cè)量的準(zhǔn)確性。但另一方面，該方法增加了系統(tǒng)運(yùn)算量，降低了時(shí)間分辨率。

4實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析

為了驗(yàn)證以上理論分析，針對(duì)兩種計(jì)算顆粒溫度的方法分別進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)對(duì)比，實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示。裝置由透明水平滾筒（直徑110 mm，長(zhǎng)度200 mm）、波長(zhǎng)為532 nm的激光器、線陣CCD相機(jī)及其他光學(xué)器件組成；滾筒內(nèi)填充粒徑為1.5 mm的透明玻璃珠，填充度為50%；滾筒由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。隨著滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)抬升，顆粒呈現(xiàn)周期性崩塌，對(duì)比實(shí)驗(yàn)通過(guò)測(cè)取該過(guò)程顆粒溫度從而比較兩種方法的測(cè)量結(jié)果。

根據(jù)van CittertZernike定理[13]，直徑為dm的散射區(qū)在距離為D的CCD相機(jī)表面形成的散斑尺寸ds為

ds=4λDπdm

（22）

應(yīng)保證散斑尺寸ds大于CCD像素尺寸的2倍以上。

4.1由靜態(tài)散斑對(duì)比度V2（T）s計(jì)算相干因子β

根據(jù)式（20），可以通過(guò)測(cè)量顆粒靜止時(shí)的散斑對(duì)比度V2（T）s來(lái)計(jì)算相干因子β。理論上，靜態(tài)散斑對(duì)比度不因激光功率改變而改變，因此不同入射光功率下系統(tǒng)的相干因子β應(yīng)一致。為驗(yàn)證該理論，測(cè)量5組不同激光功率入射下的相干因子β，每組實(shí)驗(yàn)測(cè)量10次，并進(jìn)行對(duì)比。β的計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

由圖4可見(jiàn)，在不同功率下以及同一功率下的多次測(cè)量結(jié)果中，相干因子β值都有較明顯差異。這說(shuō)明靜態(tài)散斑對(duì)比度法對(duì)噪聲干擾敏感：入射激光太弱時(shí)，信噪比過(guò)低；激光太強(qiáng)時(shí)對(duì)比度過(guò)小。

另外，改變CCD相機(jī)與滾筒的距離，并在不同距離D時(shí)分別測(cè)取顆粒溫度（以方便與散斑對(duì)比度系數(shù)法進(jìn)行比較）。測(cè)量距離直接影響CCD成像區(qū)域大小，對(duì)相干因子β以及顆粒溫度結(jié)果均有影響。激光功率恒定300 mW時(shí)，不同測(cè)量距離D下的顆粒溫度結(jié)果如圖5所示。

可以看出靜態(tài)散斑對(duì)比度法的測(cè)量結(jié)果受接收距離D的影響較大。隨著D的增大，所測(cè)得的顆粒溫度整體呈現(xiàn)降低趨勢(shì)。這使得同種方法的測(cè)量結(jié)果無(wú)法比較，因而不是理想的結(jié)果。

4.2由散斑對(duì)比度系數(shù)R（mT）計(jì)算顆粒溫度

采用散斑對(duì)比度系數(shù)法測(cè)取顆粒溫度來(lái)進(jìn)行對(duì)比，測(cè)量時(shí)滾筒轉(zhuǎn)速以及環(huán)境與之前保持一致。實(shí)現(xiàn)效果如圖6所示。

可見(jiàn)選取不同的系數(shù)m對(duì)于測(cè)量結(jié)果影響不大，均能較好地反映顆粒流運(yùn)動(dòng)劇烈程度，可根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求的時(shí)空分辨率選擇對(duì)比系數(shù)m。在此選擇對(duì)比系數(shù)m=2來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)比與靜態(tài)散斑對(duì)比度法同樣的接收距離D下所測(cè)得的顆粒溫度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

可以看出，在不同的接收距離D下，散斑對(duì)比度系數(shù)法的測(cè)量結(jié)果較為相近。這說(shuō)明采用散斑對(duì)比度系數(shù)法能較好地避免由于背景噪聲與接收距離系統(tǒng)參數(shù)不同而造成的誤差。

總體來(lái)說(shuō)，靜態(tài)散斑對(duì)比度法對(duì)噪聲敏感，環(huán)境變動(dòng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響較大，而散斑對(duì)比度系數(shù)法則能消除環(huán)境影響，具有更高的準(zhǔn)確性。隨著計(jì)算機(jī)處理能力的快速提升，超大運(yùn)算量的計(jì)算已不需要像以往那樣花費(fèi)大量時(shí)間，在處理時(shí)間可接受的前提下，采用散斑對(duì)比度系數(shù)R（mT）來(lái)消除相干因子β可在最大程度上保障測(cè)量準(zhǔn)確性。同時(shí)圖像采集過(guò)程與計(jì)算處理過(guò)程獨(dú)立進(jìn)行能在保障采樣時(shí)空分辨率的同

時(shí)保留最大的測(cè)量準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)中，顆粒溫度的

時(shí)間分辨率主要受限于線陣CCD的采樣速率，CCD相機(jī)的快速發(fā)展也使得實(shí)驗(yàn)中的時(shí)間分辨率不再是需要考慮的主要問(wèn)題。

5結(jié)論

系統(tǒng)地探討了散斑可見(jiàn)度光譜法中相干因子β的計(jì)算與消除方法，結(jié)果發(fā)現(xiàn)利用散斑對(duì)比度系數(shù)R（mT）來(lái)消除相干因子β能最大程度地避免由于外部環(huán)境或噪聲影響而帶來(lái)的誤差，可以避免測(cè)量系統(tǒng)繁瑣的停轉(zhuǎn)與開(kāi)啟過(guò)程以及該過(guò)程所引入的誤差；同時(shí)給出了散斑對(duì)比度系數(shù)

法中計(jì)算量較大導(dǎo)致的時(shí)間分辨率較低這一問(wèn)題的解決方法。采用散斑對(duì)比度系數(shù)法計(jì)算得

出的顆粒溫度由于方法統(tǒng)一，消除了外部環(huán)境不同造成的測(cè)量結(jié)果差距較大的問(wèn)題，使得不同時(shí)段不同操作環(huán)境的實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有可比性。

參考文獻(xiàn)：

[1]BANDYOPADHYAY R，GITTINGS A S，SUH S S，et al.Specklevisibility spectroscopy：A tool to study timevarying dynamics[J].Review of Scientific Instruments，2005，76（9）：093110.

[2]DIXON P K，DURIAN D J.Speckle visibility spectroscopy and variable granular fluidization[J].Physical Review Letters，2003，90（18）：184302.endprint

[3]ABATE A R，KATSURAGI H，DURIAN D J.Avalanche statistics and timeresolved grain dynamics for a driven heap[J].Physical Review E，2007，76（6）：061301.

[4]KATSURAGI H，ABATEX A R，DURIAN D J.Jamming and growth of dynamical heterogeneities versus depth for granular heap flow[J].Soft Matter，2010，6（13）：30233029.

[5]OGAWA S，UMEMURA A，OSHIMA N.On the equations of fully fluidized granular materials[J].Zeitschrift Für Angewandte Mathematik und Physik Zamp，1980，31（4）：483493.

[6]GOODMAN J W.Statistical optics[M].New York：WileyInterscience，1985.

[7]WEITZ D A，PINE D J.Diffusing wave spectroscopy[M]∥BROWN W.Dynamic light scattering.New York：Oxford University Press，1993：652720.

[8]HUI Y，LI R，KONG P，et al.The dynamics of granular materials under the slumping regime in a rotating drum as revealed by speckle visibility spectroscopy[J].Physical Review E，2015，91（4）：042206.

[9]孫其誠(chéng)，王光謙，楊寧.水平圓筒型混合機(jī)中顆?；旌系碾x散模擬[J].中國(guó)粉體技術(shù)，2002，8（1）：69.

[10]楊暉，鄭剛，王雅靜.用動(dòng)態(tài)光散射現(xiàn)代譜估計(jì)法測(cè)量納米顆粒[J].光學(xué) 精密工程，2010，18（9）：19962001.

[11]GITTINGS A，DURIAN D J.Statistics of bubble rearrangement dynamics in a coarsening foam[J].Physical Review E，2008，78（6）：066313.

[12]LE MERRER M，COHENADDAD S，HHLER R.Bubble rearrangement duration in foams near the jamming point[J].Physical Review Letters，2012，108（18）：188301.

[13]BORN M，WOLF E.Principles of optics：Electromagnetic theory of propagation，interference and diffraction of light[J].Physics Today，2000，53（10）：7778.

（編輯：張磊）endprint