駱文娟

幾何思維是指以幾何圖形為符號語言、運用幾何知識、采用必要的幾何圖形表現(xiàn)工具進行的思維過程。荷蘭學者范希爾夫婦認為幾何思維水平是指學生在解決問題過程中對幾何圖形的觀察、分解、組合和想象所到達的操作水平，指出學生幾何思維能力存在五個水平：直觀、分析、推理、演繹、嚴謹，這些不同的水平是不連續(xù)的，卻是順次的，學生在進入某一水平學習之前，必須掌握之前水平的大部分內容。

圖形變式教學是通過對幾何圖形的非本質特征的改變，從而突出其本質特征的教學方式，能夠發(fā)展學生邏輯思維、空間想象、幾何直觀等數(shù)學核心素養(yǎng)，提升幾何思維能力。常見的圖形變式有兩種形式：一種是圖形變式單獨出現(xiàn)，僅僅是位置或形狀作變式處理；另一種是圖形出現(xiàn)間隔、缺損、重疊、交錯等干擾，幾何對象的本質成分有時會被次要的復合成分掩蓋。

在“圖形與幾何”的教學中，我們可以對例題或習題通過變換已知條件、求證問題、圖形表象等形式，運用一圖多解、多圖一解、一圖多變或一圖多用等方法，開闊學生的視野，激發(fā)學生的想象力，培養(yǎng)學生的幾何思維能力。本文以“相似三角形的復習”為例，探索圖形變式在教學中的運用。

一、抓住題根巧變式

題根是母題，有些題根是常見的數(shù)學模型或基本圖形。找準題根，會使相關問題呈“蜘蛛網”狀態(tài)呈現(xiàn)在眼前，順著題根，能找到這一系列知識的網絡，可完成相關數(shù)學知識的梳理，對典型問題進行分析，達到“做一題，帶一類，連一片”的教學效果，從而實現(xiàn)圖形變式教學的價值。

[題根]如圖1，在△ABC中，點D是AB上異于A、B的一定點，過D作線段DE交AC于E，使得以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似。

通過對題根的探索，引出相似三角形性質與判定的綜合運用，串聯(lián)三角形相關知識點，滲透分類討論思想，培養(yǎng)學生邏輯推理能力。

二、利用變式圖形優(yōu)化課堂教學

由題根的一個圖形出發(fā)，精心預設，添加點和線等進行多次變式，由局部到整體層層深入，自然生成一節(jié)課的全部內容。把所有數(shù)學問題融入變式圖中，生成環(huán)環(huán)相扣的問題，既符合學生心理，又兼顧不同層次學生的復習要求，有助于優(yōu)化課堂教學。

通過變式圖形盡展知識的探究過程，凸顯知識的“預設”與“生成”，學生自主探索、合作交流，經歷觀察、猜測、推理等活動過程，積累數(shù)學活動經驗，培養(yǎng)學生的幾何直觀和邏輯推理能力，提升幾何思維能力。

變式1 如圖2，當△ADE∽△ACB時，連接CD、BE，探索∠ABE與∠ACD的關系，并說明你的理由。

變式2 如圖2，CD與BE相交于點O，求證： △BDO ∽△CEO。

變式3 如圖2，△DEO和△BCO相似嗎？試說明你的理由。

變式4 如圖3，在△ABC中， DE//BC，連接CD和BE，相交于點O，連接AO并延長，交DE于點K ，交BC于點M ， 探索線段BM 和CM 的數(shù)量關系，并證明你的結論。

通過一組變式練習進行相似三角形的復習，綜合運用三角形相似的性質與判定定理，在對題根進行分類討論的前提下，產生兩組變式，變式1 、變式2、變式3層層遞進，下一個變式練習是以上一個變式練習為基礎，變式4是對題根的另一種分類情況下的變式，有一定的思考性。變式練習設計非常自然，能發(fā)展學生的高階思維，提升學生的幾何思維能力，引導學生深度學習。

三、感悟數(shù)學思想培養(yǎng)幾何思維能力

數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，在積極參與教學活動的過程中，學生通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想提升幾何思維能力。這節(jié)“相似三角形的復習”課能否取得成功？就是看課堂上能否引發(fā)學生思考，能否滲透數(shù)學思想，能否提升學生的幾何思維能力。

沒有數(shù)學思想指引就沒有數(shù)學思考，因此任何一節(jié)數(shù)學課必須在數(shù)學思想引領下學習。本節(jié)課充分設計變式訓練，讓學生經歷一個符號語言和圖形語言轉化的過程，借助幾何直觀解決數(shù)學問題，培養(yǎng)學生邏輯思維能力和幾何思維能力?？傮w來說，這節(jié)課體現(xiàn)了三個數(shù)學思想：

一是分類討論思想。當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，需要把研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。本節(jié)課的分類討論思想體現(xiàn)在對題根分類討論上，分兩種情況的三角形相似。

二是數(shù)形結合思想。數(shù)形結合是一種抽象思維和形象思維的結合，通過“以數(shù)助形”和“以形解數(shù)”的思想方法，降低思維難度，使復雜的圖形更加形象直觀。本節(jié)課的數(shù)形結合思想體現(xiàn)在“以形解數(shù)”：由兩個三角形的相似得到對應邊成比例，體現(xiàn)在“以數(shù)助形”：兩個三角形對應邊成比例得到兩個三角形相似，從而得到對應角相等，借助圖形得到相應的結論。

三是化歸思想。將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題。本節(jié)課的化歸思想體現(xiàn)在變式1中，證明∠ABE=∠ACD轉化為證明△ABE∽△ACD；或在變式4中，要證明BM=CM轉化為證明[BMCM]=[CMBM]。

綜上所述，培養(yǎng)學生幾何思維能力，不僅能夠培養(yǎng)學生的直觀想象能力，還能提高解決問題的能力，以此來提高學生的審美能力以及社會實踐能力?！皥D形與幾何”對培養(yǎng)學生的空間觀念、發(fā)展學生的幾何思維能力有著十分重要的意義，在教學中，教師應當經常運用圖形變式，通過幾何概念、性質之間的聯(lián)系和圖形的運動、變化來培養(yǎng)學生的幾何思維能力。

（作者單位：廣東省深圳市人大附中深圳學校）

責任編輯 周瑜芽

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