黃文蝶

摘要：用變量代換解微分方程可以使微分方程的求解問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易.將不能解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以能夠解決的問(wèn)題。本文通過(guò)實(shí)際的例子，探討了變量代換在求解幾類(lèi)微分方程之中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：變量代換；求解微分方程

可分離變量的微分方程可以直接分離變量求出方程的通解，一階線性微分方程可以通過(guò)常數(shù)變異法求出其通解。但是對(duì)于許多一階微分方程來(lái)說(shuō)，不能通過(guò)前面講的方法直接求出微分方程的通解。但是可以把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，或者用式子代替某些變量，從而使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這種方法也叫換元法。換元法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)換，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換。變量代換是微分方程求解得一種重要方法，本文通過(guò)一些具體的例題介紹了如何用變量代換求解一階長(zhǎng)微分方程的幾種方法。

1. 型的微分方程

對(duì)微分方程 作變量變換 ，求微分得 ，代入方程將 替換即得原方程得通解。

例1 求解方程

解 對(duì)上式作變量變換 ，求微分得

代入方程將 替換得

變形積分得原方程得通解為

2. 型的微分方程

微分方程 ，通過(guò)變量變換 ，則兩邊微分得

代入原方程化簡(jiǎn)即得原方程得通解。

例2求解方程

解：對(duì)上式做變量變換 ；則兩邊微分得 ，

代入原方程化簡(jiǎn)得 ；

再令 而 ，兩邊微分得

將上式代入化簡(jiǎn)得其通解為

總結(jié)：當(dāng)方程中出現(xiàn) 等形式的項(xiàng)的時(shí)候，通常要做相應(yīng)的變量替換 ...

3、伯努利方程

（ ）

當(dāng) 時(shí)，我們用 乘兩邊，得到 現(xiàn)令 ，兩邊對(duì) 求導(dǎo)有 代入原方程即為

上式就是我們講解的一階線性非齊次方程，因此，可求得它的通解。此外，當(dāng) 的時(shí)候，方程還有解

例3 求解方程

解：當(dāng) 時(shí)，滿足方程，是方程的解

當(dāng) 時(shí)，將該方程變形為 ，現(xiàn)令

于是方程變形為 為一階線性微分方程

得到原方程的通解為

4.一階隱式微分方程

第一類(lèi)：微分方程 ，引入?yún)?shù) ，則 ，兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，則 是關(guān)于 的顯式方程。

第二類(lèi)：微分方程 ，引入?yún)?shù) ，則 ，兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，則 是關(guān)于 的顯式方程。

第三類(lèi)：微分方程 ，引入?yún)?shù) 。對(duì) 求微分并代入

則 ，又 ，則 是可分離變量微分方程。

第四類(lèi)：微分方程 ，引入?yún)?shù) ，對(duì) 求微分并代入 ，則 是可分離變量微分方程。

例4 求解方程

解：令 得 代入原方程得 ，由此可得 ，

，又

所以 為可分離變量的微分方程，求解得

通過(guò)以上幾類(lèi)微分方程的分析可以看出，變量代換作為一種基本技巧，是求解一階微分方程的一種重要方法。它可以將復(fù)雜的微積分形式通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)換為常見(jiàn)的一階微分方程，方便求解。

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