牛 冉，李寶寬，劉中秋，李向龍

(東北大學(xué) 冶金學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

球狀金屬顆粒在流動(dòng)熔體中熔化過(guò)程的數(shù)學(xué)模型

牛 冉，李寶寬，劉中秋，李向龍

(東北大學(xué) 冶金學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

針對(duì)冶金過(guò)程中常涉及到的固態(tài)金屬在液態(tài)金屬中的熔化過(guò)程建立數(shù)學(xué)模型，用焓法描述相變過(guò)程，采用有限體積法，對(duì)過(guò)熱熔體中球狀金屬顆粒熔化過(guò)程及其影響參數(shù)進(jìn)行研究.結(jié)果表明，金屬顆粒的熔化受顆粒初始溫度、熔體過(guò)熱度以及熔體流動(dòng)強(qiáng)度的影響.熔體流動(dòng)對(duì)相變影響作用較大，受周?chē)黧w對(duì)流強(qiáng)度的影響，顆粒從表面凝固殼形成到熔化過(guò)程呈現(xiàn)非均勻性，在靠近上游的顆粒前端以及下游尾跡處顆粒熔化速度較快，而顆粒邊緣熔化速度較慢.

熔化過(guò)程；數(shù)學(xué)模型；球狀金屬顆粒

相變過(guò)程直接影響材料加工、連續(xù)鑄造、包覆電鍍等過(guò)程的生產(chǎn)效率，其中一些過(guò)程涉及球狀金屬顆粒在其過(guò)熱液態(tài)形式中的熔化.事實(shí)上，對(duì)于凝固過(guò)程，由于冷卻環(huán)境容易得到，因此目前研究較多.而對(duì)于熔化過(guò)程，特別是金屬的熔化，需要維持高于金屬熔點(diǎn)的溫度，這需要消耗大量能源，所以對(duì)于熔化的研究相對(duì)較少.固體金屬顆粒熔化過(guò)程中熱傳遞特性對(duì)冶金過(guò)程的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義.

許多學(xué)者對(duì)不同材料的顆粒在其熔體中的熔化過(guò)程進(jìn)行了研究.Hao等[1-2]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了冰球在流動(dòng)水中的融化和傳熱過(guò)程，得到了球體的總?cè)诨俾屎椭車(chē)黧w的流動(dòng)特性.Mwansa等人[3]對(duì)Cu-Ni顆粒在Cu2S熔融液中的熔化過(guò)程進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，得到了自然對(duì)流換熱條件下顆粒的熔化過(guò)程.Argyropoulos 等人[4-5]測(cè)量了不同情況下不同金屬球體在他們過(guò)熱熔體中的熔化時(shí)間，得到了熔化時(shí)間在對(duì)流換熱條件下的無(wú)量綱的表達(dá)式.然而，由于成本高、不確定性強(qiáng)，采用實(shí)驗(yàn)方法對(duì)相變系統(tǒng)進(jìn)行研究難度較大.在這種情況下，數(shù)值方法能夠?qū)θ刍^(guò)程中的熱傳遞特性進(jìn)行深入研究.

關(guān)于這方面已經(jīng)有了一些研究結(jié)果，利用有限體積法，Kumar等人[6]擬合了球狀顆粒在同一材料熔池熔化的時(shí)間與雷諾數(shù)、斯蒂藩數(shù)和普朗特?cái)?shù)的關(guān)系，但沒(méi)有考慮溫度變化引起的自然對(duì)流以及凝固殼形成階段的影響.Argyropoulos等人[7]通過(guò)數(shù)值方法對(duì)形成于冷鋼柱表面的鋁殼的凝固和熔化速率進(jìn)行了研究，但中心鋼柱沒(méi)有參與相變過(guò)程.Melissari等人[8]開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)模型，用于預(yù)測(cè)具有不同普朗特?cái)?shù)的金屬球狀顆粒在熔體中的熔化時(shí)間，但對(duì)流體的流動(dòng)引起的球體不均勻熔化卻沒(méi)有考慮.鑒于常溫球狀顆粒在浸入過(guò)熱液態(tài)金屬后首先在其表面形成凝固殼，同時(shí)其熔化過(guò)程受熔體強(qiáng)迫對(duì)流強(qiáng)度的影響，本文建立固態(tài)球狀顆粒在流動(dòng)熔體中的熔化模型，揭示對(duì)流換熱下顆粒相變過(guò)程及規(guī)律.

1 數(shù)學(xué)模型

由Hao[2]等的實(shí)驗(yàn)研究可知，顆粒在熔化過(guò)程中以直徑處水平面為對(duì)稱軸呈對(duì)稱分布，因此建立一個(gè)二維軸對(duì)稱模型，以一個(gè)球截面以及一定范圍流體域作為計(jì)算域.解決的物理問(wèn)題可描述為直徑為D的球狀金屬顆粒置于具有一定流速的過(guò)熱熔體中，顆粒初始溫度遠(yuǎn)低于其熔點(diǎn).顆粒球心位于距流體入口4D處，為防止回流的影響，出口位于流體下游距離球體中心8D處.過(guò)熱熔體掠過(guò)冷金屬顆粒表面，使其熔化.所建立的計(jì)算域模型示意圖及顆粒區(qū)域局部網(wǎng)格如圖1所示.

圖1 計(jì)算域模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation domain for the model

1.1 控制方程

綜合考慮流動(dòng)、傳熱以及熔化問(wèn)題，采用固定網(wǎng)格均相法建立數(shù)學(xué)模型.掠過(guò)半球的流體視為層流不可壓縮牛頓流體，連續(xù)性方程可表示為：

(1)

其中:v為速度分量，m/s;ρ為流體密度，隨溫度變化.

動(dòng)量方程為：

(2)

其中:SB為溫度變化引起的浮升力動(dòng)量源項(xiàng)，可表示為：

SB=ρ0β(T-T0)g

(3)

Sp為采用多孔介質(zhì)假設(shè)，依據(jù)達(dá)西定理，考慮凝固對(duì)流動(dòng)的阻礙作用引入的動(dòng)量源項(xiàng)，可表示為：

(4)

糊狀區(qū)常數(shù)：

Amush=1.016×106kg/sm3

其中:g為顆粒與流體交界處糊狀區(qū)的液相率，T

在TTl時(shí)，g=1.

凝固與熔化過(guò)程中伴隨放熱與吸熱，為準(zhǔn)確描述相變過(guò)程，采用焓法進(jìn)行描述[9-10].控制方程為：

(5)

(6)

其中keff為導(dǎo)熱系數(shù)，L為相變潛熱.

1.2 初始條件及邊界條件

左側(cè)熱熔體入口x=-4D， 0

vx=u∞，vy=0,T=T∞

右側(cè)熱熔體出口x=8D， 0

中心對(duì)稱軸 ，y=0， -4D

邊界熔體自由發(fā)展區(qū)y=8D， -4D

vx=u∞，vy=0,T=T∞

初始時(shí)刻當(dāng)t=0時(shí)，

在固體球狀顆粒區(qū)域，

T=T0,vx=vy=0

在流動(dòng)熱熔體區(qū)域，

T=T∞,vx=vy=0

2 計(jì)算方法

本文以半徑為1 mm鋁制小球浸入過(guò)熱鋁液中的模型為基礎(chǔ)，建立固態(tài)球狀顆粒在流動(dòng)過(guò)熱熔體中的傳熱、流動(dòng)以及相變模型.采用有限體積法，將方程(1)(2)(5)進(jìn)行耦合計(jì)算，應(yīng)用SIMPLE算法求解.控制方程采用二級(jí)迎風(fēng)模式進(jìn)行離散.熱流體掠過(guò)固態(tài)球狀顆粒時(shí)傳熱過(guò)程示意圖如圖2所示,在此過(guò)程中假設(shè)固體顆粒不隨流體運(yùn)動(dòng). 計(jì)算采用商業(yè)軟件FLUENT 12.0，

圖2 顆粒與過(guò)熱熔體傳熱示意圖Fig.2 Schematic diagram of the heat transfer between the melting particle and the fluid

計(jì)算過(guò)程中時(shí)間步長(zhǎng)為 0.0001 s；為保證結(jié)果準(zhǔn)確，連續(xù)、動(dòng)量方程殘差收斂至10-6，能量方程收斂至殘差為10-8.計(jì)算所采用的材料熱力性質(zhì)如表1所示.

表1 材料的熱力性質(zhì)

3 結(jié)果與討論

3.1 模型的驗(yàn)證

利用該模型計(jì)算固態(tài)Cu-Ni顆粒浸入液態(tài)Cu2S過(guò)程中顆粒半徑隨時(shí)間的變化.其結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，液態(tài)Cu2S溫度分別為 1 200° 和 1 300°，固體球狀顆粒的初始溫度為 800°.由圖3所示，通過(guò)模型計(jì)算得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合得較好，說(shuō)明了該模型的準(zhǔn)確性.這里顆粒半徑是等效半徑，即通過(guò)計(jì)算固態(tài)區(qū)域總體積反推出顆粒半徑：

(7)

(8)

圖3 模型驗(yàn)證示意圖Fig.3 Verification of the model

3.2 相變過(guò)程分析

利用驗(yàn)證的模型對(duì)不同工況下球狀金屬顆粒在過(guò)熱熔體中的熔化規(guī)律進(jìn)行研究.主要研究了顆粒初始溫度，熔體過(guò)熱度以及流動(dòng)強(qiáng)度對(duì)顆粒相變過(guò)程的影響.由于球狀顆粒初始溫度低于金屬熔點(diǎn)，在浸入過(guò)熱熔體中之初，會(huì)在其表面形成一定量的“凝固殼”，待其溫度達(dá)到熔點(diǎn)后，由外至內(nèi)開(kāi)始熔化.在本模型中，以h=hs處為液態(tài)與固態(tài)的交界處，通過(guò)跟蹤該界面，可得到顆粒浸入過(guò)熱鋁液后完整的相變過(guò)程以及顆粒完全熔化所需時(shí)間.圖4所示為具有不同初始溫度的顆粒浸入具有不同過(guò)熱度的熱流體時(shí)顆粒半徑隨時(shí)間的變化規(guī)律，這里采用的半徑為等效半徑，計(jì)算公式為：

(9)

由結(jié)果可知，在顆粒初始溫度為20℃，金屬熔體過(guò)熱度為30℃時(shí)，初期形成的“凝固殼”最大，可達(dá)1.3r0. 最大“凝固殼”厚度隨初始溫度的增大而減小，隨熱流體過(guò)熱度的增大而減小，隨流動(dòng)強(qiáng)度的增大而減小.在同一工況下，流動(dòng)強(qiáng)度對(duì)最大“凝固殼”厚度影響不顯著.同時(shí)，顆粒完全熔化時(shí)間隨初始溫度的增大而縮短，隨熱流體過(guò)熱度的增大而減小，隨流動(dòng)強(qiáng)度的增大而減小.

圖4 顆粒有效半徑隨時(shí)間變化Fig.4 Variation of non-dimensional effective radius with time (a) —ΔT=300 T0=20℃; (b)—ΔT=300 T0=500℃; (c)—ΔT=30 T0=20℃; (d)—ΔT=30 T0=500℃

圖5 不同工況下顆粒熔化時(shí)間隨熔體流動(dòng)強(qiáng)度的變化Fig.5 Melting time of the particle as a function of Reynolds number under different conditions

3.3 流動(dòng)對(duì)相變的影響

在掠過(guò)顆粒表面的過(guò)熱熔體有流動(dòng)的情況下，顆粒熔化過(guò)程明顯不同于其浸于靜止流體中的情況.隨著流動(dòng)強(qiáng)度的增大，顆粒熔化速度明顯提高，完全熔化時(shí)間顯著縮短.這是由于隨著熔體流動(dòng)強(qiáng)度的增大，顆粒外部對(duì)流換熱量顯著增大，較大的對(duì)流換熱量減小了其與冷顆粒吸收熱量之差[11]，從而在熔化之初形成較少的“凝固殼”.流動(dòng)強(qiáng)度對(duì)球狀顆粒與熱流體之間的換熱的影響體現(xiàn)于顆粒完全熔化所需時(shí)間.圖5所示為同一球狀顆粒的完全熔化時(shí)間隨過(guò)熱流體流動(dòng)強(qiáng)度變化的規(guī)律，流動(dòng)強(qiáng)度用無(wú)量綱數(shù)Re表示.由數(shù)值結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，不同流動(dòng)強(qiáng)度下該規(guī)律的形式基本一致.根據(jù)以上結(jié)果，可擬合熱熔體流動(dòng)強(qiáng)度Re與顆粒熔化時(shí)間tm的函數(shù)關(guān)系，得到：

(10)

由圖可知，擬合曲線與數(shù)值結(jié)果變化趨勢(shì)基本一致，但在雷諾數(shù)較小時(shí)，擬合結(jié)果略低于數(shù)值結(jié)果.由數(shù)值結(jié)果可得到不同工況下的常數(shù)C1、C2，從而可應(yīng)用到預(yù)測(cè)更多工況下顆粒的熔化時(shí)間.

如圖6所示為固態(tài)球狀顆粒在形成外部凝固殼厚度最大時(shí)刻、以及整體熔化初期、熔化中期以及熔化末期的瞬態(tài)顆粒形態(tài).圖中虛線表示顆粒原始尺寸，即r0=1 mm，灰色區(qū)域?yàn)楣虘B(tài)區(qū).由圖可知，受流動(dòng)影響，熔化初期形成的凝固殼與后期熔化呈不均勻形態(tài)，即整體不再保持規(guī)則球狀.距離左側(cè)流體入口較近處即球體前端形成的凝固殼較少.雖然球體與流體交界處導(dǎo)熱量均勻，但由于球體前端對(duì)流強(qiáng)度較大[12]，因此與球體冷卻量之差減小，形成的凝固殼厚度減小.同理，當(dāng)流體速度增大時(shí)，對(duì)流換熱量增大，形成較少的“凝固殼”.整體看來(lái)，在顆粒前端距離上游較近處以及其后端尾跡處熔化較快，邊緣熔化較慢.當(dāng)流體在流過(guò)球形顆粒時(shí)，由于黏性在其表面形成邊界層，在邊緣中部靠后分離，而后由于較大的流速，在尾端形成漩渦，加快了對(duì)流換熱，因此尾部熔化較快.在假設(shè)顆粒各方向?qū)崃肯嗤瑫r(shí)，這也說(shuō)明在與水平不同夾角處，過(guò)熱熔體與固體顆粒之間存在不同的對(duì)流換熱系數(shù).

圖6 不同流動(dòng)強(qiáng)度下顆粒形態(tài)隨時(shí)間變化Fig.6 Variation of non-dimensional effective radius with time (a) —Re=100; (b)—Re=500; (c)—Re=1000

4 結(jié) 論

針對(duì)金屬顆粒在過(guò)熱熔體中的熔化問(wèn)題，建立了該過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)該模型求解不同工況下金屬顆粒在流動(dòng)熔體中熔化規(guī)律，得到如下結(jié)論：

(1) 球狀金屬顆粒在過(guò)熱熔體中的熔化速度受其初始溫度，熔體過(guò)熱度以及熔體流動(dòng)強(qiáng)度的影響.最大“凝固殼”厚度隨初始溫度的增大而減小，隨熱流體過(guò)熱度的增大而減小，隨流動(dòng)強(qiáng)度的增大而減小.

(2) 由數(shù)值分析結(jié)果，球狀顆粒熔化時(shí)間與熔體流動(dòng)強(qiáng)度Re之間的關(guān)系可表示為：

(3) 與浸入靜止熔體中不同，在流動(dòng)熔體中，顆粒熔化呈現(xiàn)非均勻性，具體地說(shuō)，在前端與尾跡處熔化速度較快而中間邊處熔化速度較慢.

[1] Lao Y L. Heat transfer characteristics of melting Ice, spheres under forced and mixed convection[J]. Journal of Heat Transfer, 2002, 124(124): 891-903.

[2] Hao Y L, Tao Y X. Melting of a solid sphere under forced and mixed convection: flow characteristics[J]. Journal of Heat Transfer, 2001, 123(5): 937-950.

[3] Mwansa J C, Warner N A. Natural convective heat transfer between single ore pellets and molten copper-nickel matters[M]. African Mining, London, 1987: 253-266.

[4] Argyropoulos S A, Mikrovas A C. An experimental investigation on natural and forced convection in liquid metals[J]. International Journal of Heat & Mass Transfer, 1996, 39(3): 547-561.

[5] Argyropoulos S A, Mikrovas A C, Doutre D A. Dimensionless correlations for forced convection in liquid metals: Part I. single-phase flow[J]. Metallurgical and Materials Transactions B, 2001, 32(2): 239-246.

[6] Kumar A, Roy S, Kumar A, et al. Heat transfer characteristics during melting of a metal spherical particle in its own liquid[J]. International Journal of Thermal Sciences, 2010, 49(2): 397-408.

[7] Sukhram M, Argyropoulos S A. Solidification and melting of aluminum onto circular cylinders under forced convection: experimental measurements and numerical modeling[J]. Metallurgical and Materials Transactions B, 2014, 45(5): 1723-1738.

[8] Melissari B, Argyropoulos S A. Development of a heat transfer dimensionless correlation for spheres immersed in a wide range of Prandtl number fluids[J]. International Journal of Heat & Mass Transfer, 2005, 48(21-22): 4333-4341.

[9] Swaminathan C R, Voller V R. A general enthalpy method for modeling solidification processes[J]. Metallurgical Transactions B, 1992, 23(5): 651-664.

[10] Swaminathan C R, Voller V R. On the enthalpy method [J]. International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 1993, 3(3): 233-244.

[11] Melissari B, Argyropoulos S A. Measurement of magnitude and direction of velocity in high-temperature liquid metals. Part II: Experimental measurements[J]. Metallurgical and Materials Transactions B, 2005, 36(5): 639-649.

[12] Kumar A, Roy S. Melting of a solid sphere placed in an Infinite medium-effect of forced convection[J]. Numerical Heat Transfer Part A Applications, 2009, 55(6): 594-609.

Amathematicalmodelofmeltingprocessforsphericalsolidparticlesinaflowingmelt

Niu Ran, Li Baokuan, Liu Zhongqiu, Li Xianglong

(School of Metallurgy， Northeastern University, Shenyang 11089, China)

Aimed at the solid metal melting in the liquid melt, a mathematical model was built. The finite volume method was used to study the factors affecting the melting process of the spherical particle. The results indicated that the melting process is affected by the particle initial temperature, the melt superheat and the flowing strength of the liquid melt. The convection around the sphere has a big effect on the phase change process. From the solidification sheath formation on the melting process, there is an uneven situation. The melting rate on front and rear region is faster than that on edge of the particle.

melting process; mathematical model; spherical solid particles

10.14186/j.cnki.1671-6620.2017.04.003

TF 703.4

A

1671-6620(2017)04-0250-06