謝國(guó)大, 宋開宏, 黃志祥

(安徽大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,安徽 合肥 230039)

修正的卷積完全匹配層技術(shù)

謝國(guó)大, 宋開宏, 黃志祥

(安徽大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,安徽 合肥 230039)

復(fù)頻移的卷積完全匹配層(convolutional perfectly matched layer,CPML)與時(shí)域有限差分(finite-difference time-domain,FDTD)算法遞推公式之間存在數(shù)值計(jì)算時(shí)間不同步的問題,諸多算例結(jié)果表明CPML的吸波效果并沒有達(dá)到一些具有相同二階精度的完全匹配層(perfectly matched layer,PML)的吸波效果。文章采用時(shí)間平均近似方法對(duì)CPML進(jìn)行了修正,使其吸波性能與其他具有相同數(shù)值計(jì)算精度的PML的吸波性能相當(dāng);通過2個(gè)具有代表性的算例,驗(yàn)證了方法的有效性。該方法思路簡(jiǎn)單、清晰,只需在傳統(tǒng)的CPML代碼基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單的修改,計(jì)算時(shí)間大大縮減,該方法對(duì)于CPML在FDTD算法中的高效應(yīng)用具有一定的意義。

時(shí)域有限差分(FDTD)算法;卷積完全匹配層(CPML);吸收效果;時(shí)間平均近似方法;計(jì)算時(shí)間

自從Berenger于1994年提出完全匹配層(perfectly matched layer,PML)[1]吸收邊界條件以后,PML已經(jīng)成為有效的吸收邊界條件技術(shù),隨后一些其他形式的PML也相繼被提出來,例如,各向異性完全匹配層(uniaxial perfectly matched layer,UPML)[2]、坐標(biāo)伸縮完全匹配層(stretched-coordinate perfectly matched layer,SC-PML)[3]等。其中SC-PML成為最受歡迎的一種截?cái)鄷r(shí)域有限差分(finite difference time domain,FDTD)[4-5]計(jì)算區(qū)域的吸收邊界條件。這是因?yàn)镾C-PML不需要進(jìn)行場(chǎng)分裂,很容易應(yīng)用到非均勻、色散、各向異性及非線性媒質(zhì)中。另外,它使得基于伸縮坐標(biāo)方程的復(fù)數(shù)頻率移位完全匹配層(complex frequency shift perfectly matched layer,CFS-PML)的應(yīng)用更加方便[6]。CFS-PML是在1996年被提出來的,其目的是為了改善SC-PML對(duì)倏逝波和低頻波吸收效果差的問題[7]。文獻(xiàn)[8]給出了一種應(yīng)用CFS-PML的方法,該方法基于SC-PML公式,運(yùn)用離散遞歸卷積方法來求解復(fù)數(shù)頻率移位函數(shù)與電場(chǎng)或磁場(chǎng)的空間偏導(dǎo)卷積運(yùn)算。由于在SC-PML中的伸縮因子采用了CFS形式,使得在時(shí)域公式中出現(xiàn)卷積運(yùn)算,對(duì)應(yīng)的SC-PML也被稱為卷積完全匹配層(convolutional perfectly matched layer,CPML)。CPML與其他一些基于遞歸積分(recursive integral,RI)[9]方法、Z-變換方法[10]以及輔助微分方程(auxiliary differential equation,ADE)[11]方法的PML都具有二階精度,因此它們具有可比擬的吸收效果。

然而在一些算例中發(fā)現(xiàn)CPML的吸收效果并沒有其他一些具有相同二階精度的PML的吸收效果好[9]。通過對(duì)CPML算法深入的調(diào)查和研究發(fā)現(xiàn),這與算法本身的數(shù)值計(jì)算精度無關(guān),而是由于CPML中的卷積與FDTD基本算法遞推公式在值的更新時(shí)刻上不同步造成的?；诖?本文提出了一種時(shí)間平均近似方法來解決CPML與FDTD遞推公式之間時(shí)間不同步的問題。

1 CPML理論分析

在頻域和伸縮坐標(biāo)中,根據(jù)安培定律,三維情況下x方向的麥克斯韋方程為:

其中,su(u=x,y,z)為坐標(biāo)伸縮因子[2],其計(jì)算式為:

應(yīng)用CFS算法[7],可將(2)式修改為:

其中,σu、αu、ku為非零實(shí)數(shù),被定義為u方向的一維數(shù)組,控制波在PML層內(nèi)的衰減速度。

由于(1)式中伸縮因子su(u=x,y,z)與頻率有關(guān),過渡到時(shí)域時(shí)(1)式右端出現(xiàn)卷積運(yùn)算。

通過調(diào)查我們了解到，H社區(qū)在進(jìn)行消防安全巡查工作時(shí)，其工作人員本身的技術(shù)是有限的，只能進(jìn)行初步的安全隱患排查，無法達(dá)到專業(yè)的水準(zhǔn)。 由于轄區(qū)內(nèi)商鋪眾多，有些社區(qū)人員只是為了完成指標(biāo)任務(wù)，走馬觀花，達(dá)不到真正防范消防安全隱患的目的。 社區(qū)工作人員說道：

其中,*表示卷積。為了得到(4)式中卷積的有效計(jì)算表達(dá)式,可以將沖擊響應(yīng)ζu(t)離散并定義為:

cuexp{-[(σu/ku)+αu](mΔt/ε0)}

(5)

根據(jù)(5)式,(4)式可在時(shí)間和空間上離散成如下形式:

(6)式右端最后2項(xiàng)是由離散卷積導(dǎo)出的求和項(xiàng)，不便于FDTD時(shí)域步進(jìn)計(jì)算,而根據(jù)文獻(xiàn)[8]的離散遞歸卷積方法可以得到適合FDTD時(shí)域步進(jìn)計(jì)算的公式，即

(7)

(8)

(7)式、(8)式中的bu和cu與文獻(xiàn)[8]中的形式相同。從(6)～(8)式可以看出,卷積計(jì)算發(fā)生在0～(n+1)Δt時(shí)刻,卷積公式里磁場(chǎng)的空間導(dǎo)數(shù)值在nΔt～(n+1)Δt為常數(shù)并等于其在(n+1/2)Δt時(shí)刻的值。因此,(6)式可以寫成如下形式:

從(9)式可以看出FDTD基本公式中電場(chǎng)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)值和磁場(chǎng)的空間導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算發(fā)生在(n+1/2)Δt時(shí)刻，而卷積值的計(jì)算發(fā)生在(n+1)Δt時(shí)刻,這樣在FDTD中每次的時(shí)域步進(jìn)計(jì)算中就產(chǎn)生了數(shù)值計(jì)算時(shí)刻不同步的問題。

將(10)式、(11)式代入(9)式,可得:

2 數(shù)值算例

算例1 驗(yàn)證通過時(shí)間平均近似方法修正的CPML的吸收性能。二維TEz波模型如圖1所示,網(wǎng)格尺寸Δx=Δy=1 mm,激勵(lì)源被放置在二維60 mm×60 mm網(wǎng)格正中心,計(jì)算區(qū)域大小為40 mm×40 mm,卷積完全匹配層厚度為10 mm。時(shí)間步長(zhǎng)Δt為0.98倍的Courant極限。

圖1 二維數(shù)值幾何模型

用多項(xiàng)式縮比模型來定義CPML層內(nèi)的基本參數(shù):

σu(u)=σmax(ρ/d)m

(13)

ku(u)=1+(kmax-1)(ρ/d)m

(15)

αu(u)=αmax(ρ/d)

(16)

其中,ρ為自由空間與PML層、交界面到PML層距離;d為PML層的厚度;m為多項(xiàng)式階數(shù),m=4;kmax=1;αmax=0.25。激勵(lì)源的時(shí)域形式為:

Ey(t)=-2[(t-t0)/tw]exp{-[(t-t0)/tw]2}

(17)

其中,tw為決定時(shí)域波形寬度的參數(shù),tw=26 ps;t0=4tw。觀察點(diǎn)設(shè)在離PML內(nèi)層2個(gè)網(wǎng)格的距離。

為了計(jì)算PML的反射誤差,需要建立一個(gè)參考區(qū)域,該參考區(qū)域的網(wǎng)格尺寸與算例1的網(wǎng)格尺寸相同,每個(gè)方向的網(wǎng)格數(shù)是算例1 的20倍。觀察點(diǎn)的相對(duì)反射誤差計(jì)算公式為:

3種PML在觀察點(diǎn)的相對(duì)反射誤差隨時(shí)間變化的曲線如圖2所示。

圖2 算例1不同PML在觀察點(diǎn)的相對(duì)反射誤差

圖2表明修正的CPML比常規(guī)的CPML具有更好的吸波性能,同時(shí)修正的CPML與遞歸積分PML吸收效果相當(dāng),驗(yàn)證了本文所提方法的正確性。圖2說明常規(guī)的CPML中存在的不同步問題確實(shí)是影響其吸收效果的主要原因,與其CPML自身的數(shù)值計(jì)算精度無關(guān)。

算例2 檢驗(yàn)修正的CPML對(duì)消逝波的吸波性能。三維數(shù)值幾何模型如圖3所示。

三維模型在x、y、z方向的長(zhǎng)度為52 mm×126 mm×26 mm,網(wǎng)格大小為Δx=Δy=Δz=1 mm,完全匹配層的厚度為10 mm,時(shí)間步長(zhǎng)Δt為0.98倍的Courant極限。金屬板置于計(jì)算區(qū)域的中間且大小為25 mm×100 mm,沿著z方向的激勵(lì)源被放置在距離金屬板上方1個(gè)網(wǎng)格的位置,激勵(lì)源形式與(17)式相同,其中,tw=53 ps，t0=4tw。觀察點(diǎn)置于源的斜對(duì)角方向并距離金屬板1個(gè)網(wǎng)格的距離。PML參數(shù)為:m=3,αmax=0.2,kmax=1。3種PML在觀察點(diǎn)的相對(duì)反射誤差如圖4 所示。圖4說明了CPML中存在的時(shí)間不同步現(xiàn)象確實(shí)影響其吸波性能。

圖3 三維數(shù)值幾何模型圖4 算例2不同PML在觀察點(diǎn)的相對(duì)反射誤差

3種方法的計(jì)算內(nèi)存及CPU執(zhí)行時(shí)間(迭代1 600步)對(duì)比見表1所列。從表1可知,修正的CPML在計(jì)算內(nèi)存不增加的情況下,其計(jì)算時(shí)間最短,比傳統(tǒng)的CPML計(jì)算時(shí)間減少了約47%。

表1 3種方法計(jì)算內(nèi)存與計(jì)算時(shí)間對(duì)比

3 結(jié) 論

常規(guī)的CPML與FDTD之間存在的時(shí)間不同步現(xiàn)象對(duì)其吸波性能有一定的影響,本文采用時(shí)間平均近似方法對(duì)CPML進(jìn)行修正,使其吸波性能與其他具有相同數(shù)值計(jì)算精度的PML吸波性能相當(dāng)。該方法簡(jiǎn)單易于理解,應(yīng)用時(shí)在傳統(tǒng)的CPML代碼基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單的修改即可,同時(shí),計(jì)算時(shí)間大大縮減,為CPML在FDTD算法中的應(yīng)用提供了重要依據(jù)。

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Modifiedconvolutionalperfectlymatchedlayertechnique

XIE Guoda, SONG Kaihong, HUANG Zhixiang

(School of Electronics and Information Engineering, Anhui University, Hefei 230039, China)

The numerical computation time is not consistent between the complex frequency-shifted convolutional perfectly matched layer(CPML) and the recursive formula of the finite-difference time-domain(FDTD) method. It is found that the absorption effect of CPML does not reach the absorption effect of some perfectly matched layers(PMLs) with the same second-order accuracy in many numerical examples. In this paper, the time average approximation method is applied to modifying the traditional CPML, making sure that its absorption effect nearly has the same performance with other PMLs which have the same numerical accuracy. The validity of this method is verified by two representative examples. The presented method based on the simple modification to the traditional CPML code can greatly reduce the computation time, which is of significance for the efficient application of CPML in the FDTD algorithm.

finite-difference time-domain(FDTD) algorithm; convolutional perfectly matched layer(CPML); absorption effect; time average approximation method; computation time

2016-09-28；

2017-09-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61471001;51277001)

謝國(guó)大(1991-),男,安徽亳州人,安徽大學(xué)博士生;

宋開宏(1969-),男,安徽合肥人,安徽大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師,通訊作者,E-mail:sk-hong@sina.com;

黃志祥(1979-),男,安徽合肥人,博士,安徽大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.12.027

O441.4

A

1003-5060(2017)12-1725-05

(責(zé)任編輯張淑艷)