劉偉祖　錢芬芳

摘 要：對(duì)于時(shí)空域的地震記錄，經(jīng)過二維傅里葉變換到頻率-波數(shù)域，不同視速度不同頻率的波映射為頻-波圖中過原點(diǎn)的不同斜率的射線上的點(diǎn)。通過識(shí)別干擾波的視速度和頻率范圍，我們就可以設(shè)計(jì)頻率-波數(shù)域?yàn)V波因子對(duì)干擾波進(jìn)行消除或壓制。本文采用FFTW離散傅里葉變換計(jì)算庫實(shí)現(xiàn)二維傅里葉變換，實(shí)現(xiàn)了頻率-波數(shù)域?yàn)V波。采用野外淺層地震單炮數(shù)據(jù)作了消除干擾的試驗(yàn)，得到了預(yù)期的效果。

關(guān)鍵詞：頻率-波數(shù)域?yàn)V波；FFTW；淺層地震勘探

中圖分類號(hào)：P631.443 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）23-0182-02

淺層地震勘探的環(huán)境一般較為復(fù)雜，容易受到人類活動(dòng)、工業(yè)生產(chǎn)、車輛等機(jī)械振動(dòng)形成的干擾[1]。這些干擾噪聲可能來自不同的方向，不同的時(shí)間。通過識(shí)別有效波與干擾波之間的視速度和頻率差異，就可以對(duì)地震數(shù)據(jù)中的這些噪聲進(jìn)行壓制或消除。本文，我們對(duì)頻率-波數(shù)域?yàn)V波（F-K濾波）的原理進(jìn)行簡單的介紹，然后通過野外淺層地震數(shù)據(jù)對(duì)該濾波器的應(yīng)用效果進(jìn)行試驗(yàn)分析。

1 F-K濾波基本原理

假設(shè)有地震記錄，只對(duì)空間x做傅里葉變換到波數(shù)k域，得到時(shí)間-波數(shù)域波場(chǎng)，然后對(duì)時(shí)間t做傅里葉變換到頻率f域，得到頻率-波數(shù)域波場(chǎng)，即可實(shí)現(xiàn)二維傅里葉變換。通常把在（f，k）平面上的投影圖稱為頻-波圖（圖1a所示），其中頻率與波數(shù)之比為視速度。

對(duì)于頻-波圖有以下結(jié)論：

視速度為某一定值時(shí)的任何平面簡諧波在頻波圖中都映射為過原點(diǎn)的同一條射線，頻波圖上直線的斜率就是直線上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面波所具有的視速度。由，其中為相鄰檢波點(diǎn)的距離，為波到達(dá)相鄰檢波點(diǎn)的時(shí)差，可知在時(shí)間剖面上同相軸斜率。即在時(shí)間剖面上同相軸傾斜越厲害，則降低；同相軸較平緩，則較大；反映在頻-波圖上則為對(duì)應(yīng)的角較大，越小，而角越小，則越大[2]。如圖1a，二維頻率-波數(shù)域?yàn)V波（F-K濾波）就是保留給定門[f1，f2]，與速度門[v1，v2]共同區(qū)域D的波頻譜，而把D外的區(qū)域全部充零。F-K濾波可表示為：

（1）

其中為頻-波譜，為頻-波域?yàn)V波響應(yīng)，為濾波后的結(jié)果。

的設(shè)計(jì)需要注意兩點(diǎn)：一是濾波區(qū)域的選擇；二是避免因截?cái)嘈?yīng)產(chǎn)生的Gibbs效應(yīng)。對(duì)于給定的M道地震數(shù)字記錄，其中，，它是以為周期的雙周期函數(shù)，故時(shí)間域基頻，空間域基頻。在波頻譜中，是Z矩陣的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，以點(diǎn)為中心的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上波頻譜與為共軛復(fù)數(shù)，如圖1b中，區(qū)域1和區(qū)域3對(duì)稱，區(qū)域2和區(qū)域4對(duì)稱[3]。

在二維的地震記錄中，隨著x增加，波組t0值增大的波組，稱為正視速度波組。而隨著x的增加，波組t0值減小的波組稱為負(fù)視速度波組。根據(jù)對(duì)稱性，正視速度波組在F-K譜中，能量主要集中在第二、四象限，負(fù)視速度波組能量集中在第一、三象限。根據(jù)周期性可知，在圖1b中，正視速度波組對(duì)應(yīng)2、4區(qū)域（灰色區(qū)），負(fù)視速度波組對(duì)應(yīng)1、3區(qū)域（黑色區(qū)）。趙訪熊、李慶揚(yáng)證明，若保留圖1b中2、4區(qū)，則保留正視速度波組；若保留圖1b中1、3區(qū)，則保留負(fù)視速度波組；若全部保留，則會(huì)產(chǎn)生炕席現(xiàn)象[4]。

為了避免因?yàn)榻財(cái)嘈?yīng)而產(chǎn)生Gibbs效應(yīng)，我們需要給濾波器鑲邊，我們采用的鑲邊函數(shù)公式為：

（2）

其中，L為鑲邊長度，可以根據(jù)具體情況給定。

2 計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

我們采用FFTW離散傅里葉變換計(jì)算庫實(shí)現(xiàn)二維傅里葉變換，該庫計(jì)算效率高、速度快，可以計(jì)算任意長度數(shù)據(jù)的一維、二維及更多維的傅里葉變換。FFTW由麻省理工學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)實(shí)驗(yàn)室超級(jí)計(jì)算技術(shù)組開發(fā)的一套離散傅立葉變換（DFT）的計(jì)算庫，開源、高效和標(biāo)準(zhǔn)C語言編寫的代碼使其得到了非常廣泛的應(yīng)用[5]。

有了二維傅里葉變換，我們就可以實(shí)現(xiàn)速度濾波。首先應(yīng)用二維傅里葉變換，將x-t域地震記錄變換到f-k域；然后乘以f-k域?yàn)V波因子H（f，k）；最后，通過二維逆傅里葉變換將數(shù)據(jù)變換到時(shí)空域。濾波器的設(shè)計(jì)需要給定頻率區(qū)間[f1，f2]與速度區(qū)間[v1，v2]。為了避免Gibbs效應(yīng)，我們需要給濾波器鑲邊。

3 實(shí)際數(shù)據(jù)試驗(yàn)分析

我們選取了某地區(qū)一條測(cè)線的淺層地震數(shù)據(jù)來驗(yàn)證F-K濾波的效果。該測(cè)線總共31炮，單邊放炮，0.125ms采樣，每炮有12道接收，5m道間距。圖2a所示中的數(shù)據(jù)是該測(cè)線的第24炮的炮集數(shù)據(jù)，我們對(duì)該數(shù)據(jù)做了一維帶通濾波和面波切除處理，目的消除面波并壓制低頻和高頻的干擾。

圖2a單炮數(shù)據(jù)的采集震源點(diǎn)位于第1道的左端，偏移距為20m。因此，其有效波波組隨道號(hào)的增加，其旅行時(shí)（t/s）應(yīng)逐漸增大。即圖2a中正向的波組為有效波，反向的波組為噪音。該噪音可能來自于接收道末端方向的工業(yè)生產(chǎn)、車輛等機(jī)械振動(dòng)形成的干擾。我們通過設(shè)置濾波門[30Hz，75Hz]、[400m/s，4000m/s]，且只保留正視速度波組（圖1b中2、4區(qū)域），用F-K濾波對(duì)反向波組的噪音進(jìn)行壓制。我們?yōu)V波后的結(jié)果如圖2b所示，其中負(fù)向波組的噪音已經(jīng)完全被壓制，說明了F-K濾波對(duì)這種噪音壓制的有效性。

4 結(jié)語

通過F-K濾波原理的敘述和實(shí)際數(shù)據(jù)的分析，說明了F-K濾波可以很好地壓制與有效波視速度有差異的干擾。F-K濾波作為二維濾波，其可以結(jié)合地震數(shù)據(jù)的頻率和視速度，對(duì)有效波頻率和視速度之外的干擾進(jìn)行壓制，從而提高地震數(shù)據(jù)的信噪比和分辨率。需要注意的是，F(xiàn)-K濾波參數(shù)選擇不當(dāng)可能會(huì)出現(xiàn)虛假的同相軸，所以對(duì)于濾波參數(shù)的設(shè)置需要根據(jù)具體情況進(jìn)行對(duì)比分析。

參考文獻(xiàn)

[1]劉保金，張先康，方盛明，等.城市活斷層探測(cè)的高分辨率淺層地震數(shù)據(jù)采集技術(shù)[J].地震地質(zhì)，2002，（4）：524-532.

[2]張白林，潘樹林，尹成.地震資料數(shù)字處理方法.第2版[M].石油工業(yè)出版社，2011.

[3]清華大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)油田科研組，等.傅里葉變換濾波在地震勘探數(shù)字處理中的應(yīng)用[J].石油地球物理勘探，1978，（5）：1-15.

[4]何潮觀.F-K數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)和應(yīng)用[J].石油地球物理勘探，1985，（5）：474-489.

[5]Frigo M， Johnson S G. The Design and Implementation of FFTW3[J]. Proceedings of the IEEE， 2005， 93（2）：216-231.