馬世龍

(哈爾濱師范大學(xué))

一類具有次臨界指數(shù)方程組解的存在性研究

馬世龍

(哈爾濱師范大學(xué))

主要研究一類具有次臨界指數(shù)方程組解的存在性，證明中的主要原理是利用Nehari流形方法說明方程組解的存在性.

Nehari流行；次臨界指數(shù)；橢圓方程組

0 引言

該文考慮如下橢圓方程組

其中x∈Ω?Rn(n≥3)是一個具有光滑邊界額有界區(qū)域,α,β,γ∈R,α>0,γ>0,β2-αγ<0,2

0<λ1≤λ2，αu2+2βuv+γv2≥0，且

λ1(u2+v2)≤αu2+2βuv+γv2≤λ2(u2+v2)

(2)

其中α>0,γ>0,β2-αγ<0.

近年來，關(guān)于利用Nehari流形證明含有臨界指數(shù)或次臨界指數(shù)方程組解的存在性得到了廣泛的研究.樊自安[1]研究了如下方程組

解的存在性，得到了當(dāng)0<λ1≤λ2<η1,2

1 主要結(jié)果

定義1.1 (u,v)∈E是方程組(1)的一個弱解是指任意的(ω1,ω2)∈E滿足：

定理1.2 假設(shè)0<λ1≤λ2<η1，2

2 定理1.2證明

定義能量函數(shù)：

則Φ(u,v)∈C1(E,R),考慮Nehari流形

Mλ={(u,v)∈E(〗(0,0)}|〈Φ′(u,v),(u,v)〉=0}

所以(u,v)∈Mλ當(dāng)且僅當(dāng)

〈Φ′(u,v),(u,v)〉=‖(u,v)‖2-T(u,v)-K(u)-B(v)=0

(4)

對于(u,v)∈Mλ

則Φ(u,v)有下界.

定義Γ(u,v)=〈Φ′(u,v),(u,v)〉 .

對于(u,v)∈Mλ

〈?！?u,v),(u,v)〉

=2(‖(u,v)‖2-T(u,v))-pK(u)

-qB(v)

=(2-p)K(u)+(2-q)B(v)<0.

把Mλ分成三個部分

Φ′(u0,v0)=0，即(u0,v0)是Φ(u,v)的一個臨界點.

證明證明過程參考文獻(xiàn)[7].

其中，m=min{p,q}.

由(4)， 所以

其中n=max{p,q}

則由(5)，(6)有

于是由(7)可得到ξ->1.

證明設(shè)(u,v)∈E且K(u)>0，B(v)>0設(shè)

h′(t)=t[‖(u,v)‖2-T(u,v)]-tp-1K(u)-tq-1B(v)

令h′(t)=0即

t[‖(u,v)‖2-T(u,v)]-tp-1K(u)-tq-1B(v)=0

得到t=t0=1，h(0)=0，t→-∞，h(t)→-∞，當(dāng)t∈[0,t0=1)，h′(t0)>0，當(dāng)t∈[t0=1,

+∞),h′(t0)<0.

因此h(t)在t=t0處達(dá)到最大值.

由(5)有

其中m=min{p,q}.

所以當(dāng)n→∞，

或

(8)

[1] 樊自安. 包含次臨界和臨界Sobolev指數(shù)的橢圓方程組解的存在性. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2015(9): 835-844.

[2] 樊自安. 包含次臨界和臨界Sobolev指數(shù)的Schr"{o}dinger-Possion方程的正解. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2017(6):247-254.

[3] Alves C O, Morais Filho, Souto D C, et al. On systems of elliptic equations involving subcritical or critical Sobolev exponents. Nonlinear Analysis,2000,42: 771-787.

[4] Liu Z, Han P G. Existence of solutions for singular elliptic system with critical exponents. Nonlinear Analysis: Theory, Methods&Applications, 2008,69(9): 2968-2983.

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[6] 張文麗. 一類奇異臨界的(p,q)-Laplacian擬線性方程組非負(fù)基態(tài)解的存在性. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2014(5): 602-611.

[7] Brezis K J, Zhang Y. The Nehari manifold for a semilinear elliptic problem with a sign changing weight function[J]. J Differential Equations ,2003,1993:481-499.

AKindofExistenceStudyofSolutionstotheSystemofSubcriticalExponentialEquations

Ma Shilong

(Harbin Normal University)

In this paper, the existence of solutions to the system of subcritical exponential equations is mainly studied. The main principle of the proof is to illustrate the existence of solution of equations by using Nehari manifolds.

Nehari manifold; Subcritical exponents; Elliptic systems

于達(dá))

O175.25

A

1000-5617(2017)04-0014-04

2017-07-03