廣州市第十六中學(xué)(510100) 溫伙其

2016年全國(guó)課標(biāo)I卷數(shù)學(xué)應(yīng)用題列表解法剖析*

廣州市第十六中學(xué)(510100) 溫伙其

數(shù)學(xué)應(yīng)用題,近幾年常見(jiàn)于全國(guó)高考卷,是數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn).而現(xiàn)實(shí)教師普遍反映難教,學(xué)生感覺(jué)難學(xué),如2016年全國(guó)課標(biāo)I卷連續(xù)在選擇題、填空題和解答題都出現(xiàn)應(yīng)用題.其中第19題廣東文科考生平均得分1.27,難度系數(shù)為0.106;理科考生平均得分3.08,難度系數(shù)為0.257.產(chǎn)生以上原因?yàn)閼?yīng)用題包含文字信息量巨大,變量多,回歸的數(shù)學(xué)模型抽象.本文將借助2016全國(guó)課標(biāo)I卷考題,分別從流程圖、線性規(guī)劃和概率統(tǒng)計(jì)三個(gè)角度進(jìn)行研究,探索列表法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1 列表法在解題中的應(yīng)用

1.1 在線性規(guī)劃中的應(yīng)用

【2016全國(guó)課標(biāo)I卷文理第16題】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)__元.

解析:這是一道線性規(guī)劃問(wèn)題,這類題的特點(diǎn)是題目中變量比較多,約束條件隱蔽容易混淆,通過(guò)列表法可以理清各個(gè)量之間關(guān)系,清晰找到約束條件來(lái)求最優(yōu)解.

設(shè)生產(chǎn)A、B產(chǎn)品數(shù)量分別為x和y,總收益為z元,列表如下:

甲材料(kg)乙材料(kg)工時(shí)收益(元)產(chǎn)品A(x)1.5x 1x 5x 2100x產(chǎn)品B(y)0.5y 0.3y 3y 900y約束條件/目標(biāo)數(shù)≤150≤60≤600 z=2100x+900y

根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得約束條件為:

目標(biāo)函數(shù)

作出二元一次不等式組①表示的平面區(qū)域,即可行域.如圖中陰影部分所示.

圖1

變形,得

作直線

并平移,當(dāng)直線

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí),z取得最大值.解方程組

得M的坐標(biāo)為(60,100).所以當(dāng)x=60,y=100時(shí),

故生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為216000元.

評(píng)析線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題,主要是正確引入二維變量,然后列齊約束條件和準(zhǔn)確寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù),難點(diǎn)在于約束條件的尋找.借助二維表格,能清晰發(fā)現(xiàn)甲材料,乙材料,工時(shí)的限制條件(即不等式),同時(shí)可以準(zhǔn)確寫(xiě)出利潤(rùn)之和的目標(biāo)函數(shù).

1.2 在流程圖中的應(yīng)用

【2016全國(guó)課標(biāo)I卷文科第10題】

圖2

執(zhí)行上面的程序框圖,如果輸入的x=0,y=1,n=1則輸出x,y的值滿足( )

解析:程序框圖的題目,因?yàn)樽兞坎粩嗟谋毁x值,因此通過(guò)列表的方法可以清晰的把賦值情況呈現(xiàn)出來(lái),列表如下:

x 0 0 13 2 2 y 1 1 2 6 n 1 2 3 3輸入x,y的值x=3 2 x2+y2≥36?N N N Y y=6

故選C

評(píng)析循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖問(wèn)題是算法學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),也是每年高考題中的必考點(diǎn).如何能夠有效破題?本題通過(guò)表格,清晰地反映了退出循環(huán)的“臨界狀態(tài)”,利用表格記錄循環(huán)結(jié)構(gòu)中判斷或循環(huán)次數(shù),以及準(zhǔn)確“追蹤”循環(huán)結(jié)構(gòu)中的每一次的變量值的變化情況,不僅條理清晰,易于檢查對(duì)錯(cuò)情況,同時(shí)可以幫助學(xué)生更容易的理解循環(huán)結(jié)構(gòu).

1.3 在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

【2016全國(guó)課標(biāo)I卷文科第19題】某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:

圖3

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

(I)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;

(II)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5,求n的最小值;

(III)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零件?

解析(I)由題意及頻數(shù)分布表有

套餐內(nèi)更換零件數(shù)套餐外總費(fèi)用購(gòu)買(mǎi)零件數(shù)費(fèi)用額外購(gòu)買(mǎi)零件數(shù)額外費(fèi)用16 19 3800 0 3800 17 19 3800 0 3800 18 19 3800 0 3800 19 19 3800 0 3800 20 19 3800 1 1×500 3800+1×500 21 19 3800 2 2×500 3800+2×500 x(x≥20)19 3800 x?19(x?19)×500 3800+(x?19)×500

填完上表后,就可以得到一個(gè)分段函數(shù)解析式,進(jìn)而解決問(wèn)題了.所以,y與x的函數(shù)解析式為

(II)

更換零件數(shù)≤n 16 17 18 19 20 20概率P(更換零件數(shù)≤n)0.06 0.22 0.46 0.70 0.9 1

所以,由上表得n的最小值為19.

(III)

方案一(每臺(tái)購(gòu)買(mǎi)19件)方案一(每臺(tái)購(gòu)買(mǎi)20件)更換零件數(shù)頻數(shù)套餐內(nèi)套餐外套餐內(nèi)套餐外購(gòu)買(mǎi)零件數(shù)費(fèi)用額外購(gòu)買(mǎi)零件數(shù)額外費(fèi)用購(gòu)買(mǎi)零件數(shù)費(fèi)用額外購(gòu)買(mǎi)零件數(shù)額外費(fèi)用16 6 19 3800 0 0 19 3800 0 0 17 16 19 3800 0 0 19 3800 0 0 18 24 19 3800 0 0 19 3800 0 0 19 24 19 3800 0 0 19 3800 0 0 20 20 19 3800 1 1×500 19 3800 0 0 21 10 19 3800 2 2×500 19 3800 1 1×500

由上表易得

方案一所需費(fèi)用的平均數(shù)為

方案二所需費(fèi)用的平均數(shù)為

比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件.

評(píng)析上例三問(wèn)中,包含的文字信息容量巨大,變量較多(如費(fèi)用y,頻數(shù)n,需更換的易損零件數(shù)x),而且分段復(fù)雜(分兩次購(gòu)買(mǎi),兩種價(jià)格),學(xué)生不一定全面辨別清楚.倘若教師能引導(dǎo)學(xué)生逐步把每種情況文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖表信息,發(fā)現(xiàn)所需的費(fèi)用分x≤19和x≥20兩種情況;借助表3學(xué)生也會(huì)從圖表視覺(jué)中容易清楚購(gòu)買(mǎi)零件的費(fèi)用所包括的兩個(gè)方面:一是購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的零件所需費(fèi)用,按每個(gè)200元計(jì)算;二是備用零件不足時(shí)另外購(gòu)買(mǎi)的零件,按每個(gè)500元計(jì)算.在此基礎(chǔ)上,分別計(jì)算n=19與n=20兩種情況下各自所需費(fèi)用的平均值比較它們的大小,就可以做出正確的決策.

2 列表法解題的基本步驟

2.1 找.題目結(jié)構(gòu)表格化,找出題中所有的數(shù)量關(guān)系.

(1)仔細(xì)讀題,找出題目所涉及的分析對(duì)象、影響每個(gè)對(duì)象的基本對(duì)應(yīng)量.

(2)把題目中已知的、未知的;同類的,不同類的;變化的、不變的數(shù)量,歸類、匯集,并列表記錄.

(3)將已知量的數(shù)值填入表中,未知量用“?”表示.

(4)簡(jiǎn)寫(xiě)“縱”、“橫”關(guān)系.把數(shù)量間內(nèi)在規(guī)律的固有關(guān)系即(同一分析對(duì)象不同對(duì)應(yīng)量間的關(guān)系)基本數(shù)量關(guān)系作為“橫”的關(guān)系;把借助草圖、線段圖發(fā)掘題目中的條件,破譯“要語(yǔ)”、“關(guān)鍵詞”以及它們賦予的數(shù)量關(guān)系(不同對(duì)象間同一對(duì)應(yīng)量間的關(guān)系)作為“縱”的關(guān)系.

題目結(jié)構(gòu)表

2.2 設(shè).選設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù).

2.3 表.據(jù)部分?jǐn)?shù)量關(guān)系,用已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式表示表格中的“?”.

2.4 建.根據(jù)2.3中尚未利用的數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型.

2.5 解.選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法,求解數(shù)學(xué)模型.

2.6 答.檢驗(yàn)并依題意選擇合理的答案.

總的來(lái)說(shuō),列表法是建立數(shù)學(xué)關(guān)系于實(shí)際應(yīng)用的一種好方法.它便于分析比較、提示規(guī)律,形象理解.通過(guò)表格有助于分析比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系,有助于揭示概念之間的聯(lián)系,有助于系統(tǒng)掌握知識(shí),是值得采用的一種教學(xué)方模式和解題方法.

*本文系廣州市越秀區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題—基于視覺(jué)化表征高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)研究(課題批準(zhǔn)號(hào):越學(xué)科類[2016]08)和廣州市越秀區(qū)科技工業(yè)和信息化局立項(xiàng)課題—基于視覺(jué)化表征高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)研究(課題批準(zhǔn)號(hào):軟科學(xué)研究計(jì)劃2016-JY-012)階段性研究成果.