王海清, 喬丹菊, 劉祥妹, 許小林

(1.中國石油大學機電工程學院,山東青島 266580; 2.中國石油獨山子石化公司,新疆獨山子 833699)

KooN表決結(jié)構(gòu)多階段馬爾可夫模型簡化算法

王海清1, 喬丹菊1, 劉祥妹1, 許小林2

(1.中國石油大學機電工程學院,山東青島 266580; 2.中國石油獨山子石化公司,新疆獨山子 833699)

針對傳統(tǒng)多階段馬爾可夫模型CMM(conventional multi-phase Markov)在建模過程中存在分析過程復雜、維數(shù)爆炸等問題,提出一種多階段馬爾可夫模型簡化算法SMM(simplified muti-phase Markov)。對該方法與CMM方法、IEC61508解析式方法中的計算負荷與精度進行數(shù)值分析。結(jié)果表明:采用SMM方法的計算結(jié)果與CMM方法的基本一致,在維持計算精度的同時避免了CMM方法中復雜的多階段馬爾可夫建模過程,極大地降低了計算量,使得安全儀表系統(tǒng)中失效概率計算更加快速且準確。

多階段馬爾可夫模型; 異型冗余設(shè)備; SMM方法; 失效順序

安全聯(lián)鎖系統(tǒng)是降低石化裝置風險的關(guān)鍵技術(shù)措施,其中異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的需求失效概率計算一直是難點問題。安全儀表系統(tǒng)(safety instrumented system, SIS)是在發(fā)生危險事件時通過執(zhí)行特定安全儀表功能避免或降低因事故造成的人員、設(shè)備、環(huán)境等損失的安全控制系統(tǒng)。馬爾可夫模型是安全儀表功能回路(safety instrumented function,SIF)可靠性建模的主流方法之一。工程實際中,由于子系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)會隨著階段測試發(fā)生改變,故對執(zhí)行多次測試的SIS系統(tǒng)行為進行建模時,傳統(tǒng)的馬爾可夫模型具有一定的局限性,通常需采用多階段馬爾可夫建模方法。目前,Markov建模方法研究大都不考慮異型冗余、在線局部測試、失效順序的影響,當分析較復雜的冗余結(jié)構(gòu)時,建模過程易出錯、計算也更為復雜而不可行。郭海濤等[1]提出用馬爾可夫模型計算安全儀表系統(tǒng)可靠性指標,通過對狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣預先迭代相乘降低計算量;Mechri等[2]通過使用轉(zhuǎn)換馬爾可夫鏈并考慮共因失效,非完全測試等因素建立更為全面的安全儀表系統(tǒng)不可用性模型;Innal等[3]提出受部分測試和全周期測試影響的多階段馬爾可夫模型。Brissaud等[4]基于簡化公式,考慮部分測試和全周期測試的影響,提出同型KooN結(jié)構(gòu)的失效概率計算公式;Jin等[5]對文獻中的公式做了擴展,融入了共因失效的影響;Zhang等[6]建立了異型設(shè)備構(gòu)成的2oo3結(jié)構(gòu)的馬爾可夫模型,但未推導出KooN結(jié)構(gòu)的Markov模型。鑒于此,筆者提出一種全新的簡化算法SMM,以連續(xù)多階段馬爾可夫模型[7]為框架,綜合考慮在線局部測試、異型冗余和失效順序等多個影響因素,創(chuàng)新推導出KooN異型冗余表決結(jié)構(gòu)的多階段馬爾可夫模型簡化算法,在避免復雜建模過程的同時維持計算精度。

1 異型冗余結(jié)構(gòu)的多階段馬爾可夫模型簡化算法

目前,SIS的現(xiàn)場檢驗測試一般分為在線局部測試和離線周期測試[3]。系統(tǒng)的未檢測危險失效由兩部分構(gòu)成,其中由在線局部測試檢測出的未檢測失效簡稱PT失效,另一部分由離線周期測試檢測出的未檢測失效簡稱FT失效。危險未檢測失效率為

λDU=λPT+λFT=θλDU+(1-θ)λDU.

(1)

式中,λPT為在線局部測試檢測出的未檢測危險失效率;λFT為離線周期測試檢測出的未檢測危險失效率;θ為λPT占λDU的比率。

由于PT失效和FT失效的檢測周期不同,故系統(tǒng)失效順序會影響平均停止工作時間。在簡化多階段馬爾可夫模型時,應先確定不同失效順序?qū)牟煌骄Ｖ构ぷ鲿r間,然后計算每種失效順序的平均需求失效概率,并對所有失效順序的失效概率求和得到KooN結(jié)構(gòu)的失效概率,其算法流程見圖1。為了簡化計算,除最后一個失效元件考慮危險檢測失效外,其他之前已發(fā)生失效的元件的危險檢測失效均被忽略。KooN結(jié)構(gòu)的失效順序可以歸結(jié)為3類:

(1)首個元件發(fā)生PT失效。當?shù)谝粋€元件發(fā)生PT失效時,接下來無論失效序列為何種類型,失效一定發(fā)生在在線局部測試間隔TPT內(nèi),考慮維修的影響,則第i個發(fā)生未檢測失效(PT失效或 FT失效)元件的平均停止工作時間為

(2)

式中,MRTPT為PT失效的平均維修時間。

當首個元件發(fā)生PT失效時,異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的失效概率[8-10]為

(λDU,an-k+1tPT,n-k+1+λDD,an-k+1MTTR),n>k,

(3)

λDU,ax=λPT,ax+λFT,ax,

(4)

(5)

式中,在ax中x表示第x個失效元件,其中對任意x有ax∈[1,n],即第x個失效元件可以是元件1到n中任意一個;λDU,a1為第1個失效元件的在線局部測試檢測出的未檢測危險失效率;λDU,ax為第x個失效元件的未檢測危險失效率;λPT,ax為第x個失效元件的在線局部測試檢測出的未檢測危險失效率;λFT,ax為第x個失效元件的離線周期測試檢測出的未檢測危險失效率;λDD,an-k+1為第n-k+1個失效元件的已檢測危險失效率。

(2)所有元件均發(fā)生FT失效。所有失效均發(fā)生在離線周期測試間隔T1內(nèi),考慮維修的影響,則第i個FT失效元件的平均停止工作時間為

(6)

式中,MRTFT為FT失效的平均維修時間。

則當所有元件均發(fā)生FT失效時,異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的失效概率為

其中

(7)

式中,λPT,al為第l個失效元件的離線周期測試檢測出的未檢測危險失效率;tFT,l為第l個失效元件的離線周期測試檢測出的未檢測危險失效的平均停止工作時間;λFT,an-k+1為第n-k+1個失效元件的離線周期測試檢測出的未檢測危險失效率;λPT,an-k+1為第n-k+1個失效元件的在線局部測試檢測出的未檢測危險失效率。

(3)從首個失效元件開始連續(xù)發(fā)生s個FT失效,隨后發(fā)生1個PT失效。由于該PT失效元件與之前發(fā)生的s個FT失效的失效區(qū)間不一致,較前兩種情況分析復雜,假設(shè)離線周期測試時間間隔比在線局部測試時間間隔大很多,因此在計算該PT失效的平均停止工作時間時,忽略FT失效數(shù)量,均近似看作發(fā)生s=1個FT失效后發(fā)生PT失效的平均停止工作時間[9]。

假設(shè)在一個離線周期測試間隔內(nèi)執(zhí)行m次在線局部測試(T1=mTPT)且每個在線局部測試階段的開始時刻均初始化為0,故無論PT失效發(fā)生在任何階段,積分區(qū)間均為[0,TPT],而FT失效的失效時間則須累積增加t+jTPT(其中j=1,2,3,…,m-1),因此失效順序為FT-PT的平均失效概率為

(8)

概率密度函數(shù)為

(9)

發(fā)生1個FT失效,隨后發(fā)生一個PT失效,則此PT失效的平均停止工作時間為

(10)

該PT失效發(fā)生后,接下來元件的失效順序無論為何種類型,失效一定發(fā)生在部分測試間隔TPT內(nèi);與式(1)不同的是在計算第i個失效元件的平均停止工作時間時,其失效數(shù)應以發(fā)生第一個PT失效算起,即i-s,因此,第i個失效元件的平均停止工作時間為

(11)

則從首個失效元件開始連續(xù)發(fā)生s個FT失效,隨后發(fā)生1個PT失效時,異型設(shè)備構(gòu)成的KooN表決結(jié)構(gòu)的失效概率為

(12)

綜上所述,基于多階段馬爾可夫模型的異型冗余結(jié)構(gòu)PFD簡化計算公式[8-10]為

(13)

圖1 SMM算法流程Fig.1 Flow chart of SMM approach

整個導出的SMM的計算流程如圖1所示。首先計算出失效元件均為PT失效時的需求失效概率PFD3,然后依據(jù)n-k的值判斷計算首個元件發(fā)生PT失效時的計算式PFD1、PFD2,若n-k>1,則須進一步計算首個元件開始連續(xù)發(fā)生s個FT失效,隨后發(fā)生1個PT失效的失效概率PFD4,按照此流程最后得出異型冗余結(jié)構(gòu)的失效概率。

2 在線局部測試與元件失效順序的影響對比

以IEC61508為指導,考慮在線局部測試對PFD計算的影響,推導出異型冗余系統(tǒng)PFD計算模型為

(14)

由式(14)可知,當TPT=T1時,無在線局部測試,系統(tǒng)僅執(zhí)行離線周期測試;當T1=mTPT(m>1)時，即一次離線周期測試間隔內(nèi)執(zhí)行m次在線局部測試?？梢?m越大(在線局部測試間隔越小),系統(tǒng)的失效概率也逐漸減小。目前,由于很多企業(yè)也通過采用在線局部測試策略以延長離線周期測試周期，為了準確評估系統(tǒng)的失效概率有必要在推導簡化算法時考慮在線局部測試的影響。

此外,IEC61508標準中給出的簡化公式忽略了失效順序?qū)γ總€失效元件的平均停止工作時間的影響,則其第i個發(fā)生失效的通道ai的平均停止工作時間[11]為

(15)

實際應用中,系統(tǒng)每個失效元件的平均停止工作時間會受到元件失效順序的影響。為方便說明,以同型1oo2結(jié)構(gòu)為例,采用IEC61508方法,求得的1oo2結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效的平均停止工作時間為

(16)

假設(shè)所有元件失效率均相同,采用SMM方法,求得1oo2結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的平均停止工作時間為

(17)

根據(jù)以上分析可知,在線局部測試和元件失效順序均是失效概率計算不可忽略的重要影響因素。

3 SMM模型計算負荷與精度的數(shù)值分析

為了研究CMM、SMM、IEC61508三種方法的計算負荷,推導出3種方法計算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所需浮點次數(shù)(floating-point operations per second,FLOPS)公式[12]。

IEC61508計算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時所需浮點次數(shù)SIEC為

(18)

由于一個N×N的矩陣相乘一次需要2N3次浮點運算,而且采用CMM方法時,計算t小時的失效概率時矩陣需相乘t次,因此,計算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時所需浮點次數(shù)SCMM為

(19)

SMM模型中計算KooN結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時所需浮點次數(shù)SSMM為

(20)

幾種常見結(jié)構(gòu)在不同方法下計算失效概率時所需浮點次數(shù)見表1。如表1所示IEC61508和SMM方法的計算效率遠高于CMM方法的。

表1 浮點次數(shù)計算結(jié)果對比

除了要保證計算負荷外,計算精度也是工程實際應用中備受關(guān)注的問題。假設(shè)所有元件失效率均相同,λDU=2×10-6,λDD=3×10-6,θ=0.6,MTTR=MRTPT=MRTFT=8 h,TPT=2 190 h,T1=17 520 h,利用SMM、CMM、IEC61508計算幾種不同結(jié)構(gòu)的失效概率,并求出不同方法之間的相對誤差,對比結(jié)果見圖2。由圖2可知,采用SMM的相對誤差明顯小于IEC61508,計算結(jié)果更加準確。

圖2 幾種KooN結(jié)構(gòu)不同方法之間的相對誤差Fig.2 Relative error of different approaches for several KooN architectures

4 實例分析

某化學反應器的高溫/高壓保護系統(tǒng)如圖3所示。該系統(tǒng)由1oo2表決結(jié)構(gòu)的壓力傳感器、2oo3表決結(jié)構(gòu)的溫度傳感器、1oo2表決結(jié)構(gòu)的邏輯運算器和1oo3表決結(jié)構(gòu)的閥門子系統(tǒng)構(gòu)成,相應的設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)見表2,其中θ=0.6,MTTR=MRTPT=MRTFT=8 h,離線周期測試T1=17 520 h(該SIF結(jié)構(gòu)也可以理解為兩個獨立SIF結(jié)構(gòu)的串級觸發(fā),后續(xù)將另文分析其量化差別)。當反應儲罐中的壓力或溫度超過限值時,傳感器組(壓力和溫度傳感器)將通過邏輯運算器發(fā)送關(guān)斷信號給閥門子系統(tǒng),避免造成反應失控。圖4為該保護系統(tǒng)的可靠性框圖。

圖3 化學反應高溫高壓保護系統(tǒng)Fig.3 HT/HP protection system of chemical reactor(CRPS)

為了分析計算效率的影響,根據(jù)式(18)～(20),以1oo3結(jié)構(gòu)為例求取不同方法計算失效概率時所需的浮點運算次數(shù),如圖5所示。用IEC61508方法計算所需浮點運算次數(shù)為179次,用SMM方法計算為254次,且兩種方法浮點運算次數(shù)不受時間變化的影響。而CMM方法計算系統(tǒng)運行1 a時的失效概率運算次數(shù)已達到1.914×1010次,且隨著時間增加呈線性增長。此外,在多階段馬爾可夫模型中,當系統(tǒng)單元數(shù)量較多時,其轉(zhuǎn)移矩陣維數(shù)會成指數(shù)性增長,如圖6所示。當單元數(shù)量為7時,轉(zhuǎn)移矩陣的維數(shù)為1.386×106達到了百萬級。采用本文中提出的SMM方法可以顯著地提高計算效率,減小計算負荷。

表2 HT/HP保護系統(tǒng)設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)Table 2 Data on HT/HP protection system equipment reliability

圖4 HT/HP保護系統(tǒng)的可靠性框圖Fig.4 Reliability block diagram of HT/HP protection system

圖5 不同方法計算所需浮點次數(shù)的變化趨勢Fig.5 Different trends of FLOPS using different approaches

圖6 系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣維數(shù)隨系統(tǒng)單元數(shù)的變化Fig.6 System transfer matrix dimension with number of system units

分別利用CMM方法、SMM方法和IEC61508方法計算出傳感器組、執(zhí)行機構(gòu)的需求失效概率,計算結(jié)果見表3。對于1oo2結(jié)構(gòu),當TPT=8 760 h時,SMM與CMM的相對誤差為2.1%,IEC61508與CMM的相對誤差為11.38%,后者約為前者的5倍;當TPT=730 h時,二者的相對誤差最小,SMM與CMM的相對誤差為1.4%,IEC61508與CMM的相對誤差為4.87%,后者仍為前者的3倍多。IEC 61508與CMM方法之間的相對誤差明顯高于SMM與CMM之間的相對誤差,盡管隨著測試間隔的減小,二者相對誤差均有減小的趨勢,但差異仍然很大。綜合計算負荷和計算精度兩方面考慮,采用SMM方法可以在保證計算負荷最小的前提下得到較高的計算精度,而且采用SMM方法求得的需求失效概率比CMM方法的略大,非常適合實際工程應用中兼顧計算負荷和風險保守的需求。

表3 三種不同模型的需求失效概率計算結(jié)果對比

5 結(jié) 論

(1)綜合考慮在線局部測試間隔、異型冗余等影響可靠性的諸多因素,構(gòu)建的SMM計算模型在不損失計算精度的前提下,大大減少了計算量,提高了計算速度。而且SMM方法比CMM方法結(jié)果略大,從風險控制的角度更趨保守和安全。

(2)系統(tǒng)的在線局部測試間隔與SMM和CMM方法之間的相對誤差成正比,縮短在線局部測試間隔,不僅可以提高SMM方法的精確度,且可以在不改變硬件的條件下提高系統(tǒng)的可靠性,延長功能測試周期,提高經(jīng)濟效益。

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Asimplifiedmulti-phaseMarkovmodelwithKooNstructure

WANG Haiqing1, QIAO Danju1, LIU Xiangmei1, XU Xiaolin2

(1.CollegeofMechanicalandElectronicEngineeringinChinaUniversityofPetroleum,Qingdao266580,China;2.PetroChinaDushanziPetrochemicalCompany,Dushanzi833699,China)

As the analysis process for the conventional multi-phase Markov (CMM) model is complicated and the dimension explosion may occur, a simplified multi-phase Markov(SMM) approach is proposed in the present study. The numerical analysis is performed to analyze the computational efficiency and accuracy based on this new method, CMM method and IEC61508 analytical formula. The results show that the calculation results by SMM are in good agreement with those of CMM, the former method maintains the calculation accuracy without complicated multi-phase Markov modeling procedure, making the failure probability calculation more quick and accurate.

multi-phase Markov model； non-identical redundant components； SMM approach； failure sequence

2017-01-28

山東省自然科學基金項目(ZR201702160283);國家重大科技專項(D719-ZGSY-555)

王海清(1974-),男,教授,博士,研究方向為安全儀表系統(tǒng)、工藝災害分析、報警管理和可靠性RAM分析等。E-mail:wanghaiqing@upc.edu.cn。

1673-5005(2017)06-0147-07

10.3969/j.issn.1673-5005.2017.06.018

X 924.4

A

王海清,喬丹菊,劉祥妹,等. KooN表決結(jié)構(gòu)多階段馬爾可夫模型簡化算法[J]. 中國石油大學學報(自然科學版), 2017,41(6):147-153.

WANG Haiqing, QIAO Danju, LIU Xiangmei, et al.A simplified multi-phase Markov model with KooN structure[J]. Journal of China University of Petroleum (Edition of Natural Science), 2017,41(6):147-153.

(編輯 沈玉英)