田立敏++司志本

解決數學問題，尤其是解決日常生活中的一些數學問題，一定要注意理論聯系實際，否則就會出現錯誤.本文將通過對三個相關問題的討論，來說明“理論聯系實際”的重要性.

問題1在1—150這150個整數中：

（1）是3的倍數的數有幾個？

（2）是5的倍數的數有幾個？

（3）既是3的倍數又是5的倍數的數有幾個？

（4）是3的倍數或是5的倍數的數有幾個？

分析前三個小問題都比較簡單.通過簡單計算就可以知道：在1—150這150個整數中，是3的倍數的數有50個；是5的倍數的數有30個；既是3的倍數又是5的倍數，也就是15的倍數，有10個.

那么“是3的倍數或是5的倍數”的數有幾個呢？是50+30=80個嗎？顯然不是！我們把“是3的倍數或是5的倍數”這個條件分拆一下，它包括三類數：是3的倍數但不是5的倍數的數；是5的倍數但不是3的倍數的數；既是3的倍數又是5的倍數的數.因為既是3的倍數又是5的倍數的數有10個，所以，是3的倍數但不是5的倍數的數有50-10=40個；是5的倍數但不是3的倍數的數有30-10=20個.所以，是3的倍數或是5的倍數的數有40+20+10=70個.

問題2在1—150這150個整數中，既不是3的倍數又不是5的倍數的數有幾個？

分析從問題的敘述來看，問題2比問題1中的（3）只多一個“不”字.我們可以這樣來討論問題2：

因為在在1—150這150個整數中，是3的倍數的數有50個，所以，不是3的倍數的數就有150-50=100個，在不是3的倍數的這100個數中，是5的倍數的數有20個（注意不是30個，因為有10個15的倍數已經包括在3的倍數當中），所以，既不是3的倍數又不是5的倍數的數有100-20=80個.

問題2也可以這樣來分析：它與問題1的（4）是向對立的.即在這150個整數中，除了“是3的倍數或是5的倍數”以外，就是“既不是3的倍數又不是5的倍數”，而是3的倍數或是5的倍數的數有70個，所以，既不是3的倍數又不是5的倍數的數就有150-70=80個.

問題3150盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制，按順序編號為1，2，3，…，150.將編號為3的倍數的燈的拉線各拉一下，再將編號為5的倍數的燈的拉線各拉一下，拉完后亮著的燈數為幾盞？

問題3是2011年第九屆“走進美妙的數學花園”解題技能大賽中的一道試題.這道題與前面的問題1和問題2屬于同一個類型的問題.我們先看下面的兩種分析方法：

分析1與前面問題1中的（4）進行比較，不難知道，將編號為3的倍數的燈的拉線各拉一下，共拉滅了50盞燈；再將編號為5的倍數的燈的拉線各拉一下，共拉30下.因為既是3的倍數，又是5的倍數的燈被拉了兩次，所以，在拉5的倍數的燈的拉線時，只拉滅了20盞燈.由此可知，兩次一共拉滅了70盞燈.所以，問題3的答案是150-70=80（盞）.

分析2與前面的問題2進行比較，沒有拉到拉線的燈的盞數，就是問題2中既不是3的倍數又不是5的倍數的數的個數，所以，拉完兩次拉線后仍然亮著的燈有150-70=80（盞）.

讀者朋友，你認同前面這兩種分析方法嗎？如果你對這兩種分析方法持懷疑態(tài)度的話，那么請你注意這樣兩個事實：第一，上面的兩種分析方法得出的結果是一致的，都是80盞；第二，2011年第九屆“走進美妙的數學花園”解題技能大賽組委會提供的標準答案也是80盞.你還懷疑這兩種分析結果的正確性嗎？

實際上，你應該堅持你的懷疑態(tài)度！因為上面的兩種分析方法所得出的結果是錯誤的！當然，2011年第九屆“走進美妙的數學花園”解題技能大賽組委會提供的標準答案也是錯誤的！

現在我們來看下面的分析3.

分析3我們還是與前面問題1中的（4）進行比較.將編號為3的倍數的燈的拉線各拉一下，共拉滅了50盞燈，這一點是沒有問題的；但是，在將編號為5的倍數的燈的拉線各拉一下時，一共拉30下.在這30下中，有20下拉滅了20盞燈（編號是5的倍數，但不是3的倍數的燈），另外10下把第一次已經拉滅的10盞燈（編號既是3的倍數，又是5的倍數的燈）又拉亮了.這樣一來，兩次一共拉滅了（50-10）+20=60盞燈.所以，拉完兩次拉線開關以后，仍然亮著的燈有150-60=90盞.

如果你對上面的分析3還不太清楚的話，那么你可以把燈的數量減少.例如，只考慮15盞燈的情況，結果就會一目了然.

就問題3本身來講，并不是一道難題.但是，這樣一道并不困難的問題，為什么那么多人，包括大學數學系的高材生，當然也包括2011年第九屆“走進美妙的數學花園”解題技能大賽命題專家都做錯了呢？其主要原因就是沒有把理論知識與生活實際結合起來.所以我們說，在解決與生活實際關系比較密切的一些數學問題時，一定要注意理論聯系實際，否則就會出現錯誤.

作者簡介司志本（1959—），男，河北興隆人，教授.主要從事數學教學和研究工作.曾被授予河北省優(yōu)秀教師、獲國家曾憲梓教育基金會教師獎；發(fā)表論文160余篇，主編或參編了9部數學及相關書籍.

《中學數學雜志》（初中）2017年總目錄endprint