鐘珍玖+朱炎林

思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要內(nèi)容之一，值得廣大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者進(jìn)行深入的研究.筆者經(jīng)歷了2017年無錫市數(shù)學(xué)中考命題工作，對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有了更深刻認(rèn)識.本文試圖結(jié)合試題命制談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，請同行斧正.

1關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)的理解

1.1關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法

對此，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家有諸多論述，大多傾向于從“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個角度進(jìn)行闡述，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的認(rèn)知，是從具體的數(shù)學(xué)概念、命題、方法等的認(rèn)識過程中概括出來的基本觀點(diǎn)和根本方法.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)學(xué)科區(qū)別其它學(xué)科的重要標(biāo)志之一，是內(nèi)隱的數(shù)學(xué)知識，對學(xué)生的思維的發(fā)展起到至關(guān)重要的作用.而數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等，是對數(shù)學(xué)問題所進(jìn)行的具體的操作.這些都是結(jié)合數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，基于哲學(xué)與方法論的抽象闡述.

1.2關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的理解

根據(jù)中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，課堂教學(xué)中，沒有可能也沒有必要對思想方法進(jìn)行理論研究，重要的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題探究活動過程，掌握數(shù)學(xué)問題解決策略，感悟數(shù)學(xué)思想方法，形成必要的數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)認(rèn)識策略.初中階段常見的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化和化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、建立數(shù)學(xué)模型思想、統(tǒng)計思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有：消元法、降次法、配方法、待定系數(shù)法、公式法、圖像法等，只有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力才能得以提高.

2中考命題視角下數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)思考

2.1重視命題對數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的導(dǎo)向作用

中考命題不僅是對學(xué)生學(xué)業(yè)水平的評價，更在于對區(qū)域內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向作用，引領(lǐng)區(qū)域內(nèi)教師教學(xué)的方向，對教師的教和學(xué)生的學(xué)產(chǎn)生廣泛而深遠(yuǎn)的影響.毋容置疑，對重要思想方法的考查是數(shù)學(xué)中考試題的重要內(nèi)容.教學(xué)中，教師要注重研究重要而常考的數(shù)學(xué)思想方法，并在教學(xué)中予以高度重視.

案例1（2016年無錫）如圖1，已知OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為.

圖1解連接AC，交OB于點(diǎn)D，因?yàn)镺ABC為平行四邊形，所以O(shè)D=BD，AD=CD，所以由中點(diǎn)公式可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)xD=25，xB=5，（也可由三角形全等或相似求點(diǎn)D、B的橫坐標(biāo)）

所以點(diǎn)B在x軸上時，OB最小值為5.

教學(xué)思考本題難點(diǎn)在于OABC的頂點(diǎn)有三個動點(diǎn)，對求角線OB長的最小值缺乏策略.如果數(shù)學(xué)思想認(rèn)識深刻，問題解決比較容易入手.點(diǎn)A、C雖然是動點(diǎn)，但運(yùn)動的軌跡在直線x=1和x=4上，而四邊形OABC的形狀是不變的，這樣就隱含了兩對角線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是25，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是定值5，容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B在x軸上時OB的最小值為5.線段的最值問題是教師教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)生的練習(xí)量比較大，但面對此題還是有很多學(xué)生束手無策.命題者會對學(xué)生平時的練習(xí)題作一些變化和變式，雖然問題呈現(xiàn)的形式變了，但是數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有變，所以教師的教學(xué)要以中考的評價為導(dǎo)向，把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)落實(shí)到每節(jié)課上，以不變應(yīng)萬變，學(xué)生面對中考的能力題才會游刃有余.

2.2重視數(shù)學(xué)問題對數(shù)學(xué)思想方法的“外顯”作用

數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思想方法的載體，所謂的“難題”就表現(xiàn)在含有豐富的數(shù)學(xué)思想，但是，數(shù)學(xué)思想方法一般都是內(nèi)隱的，這就造成學(xué)生的思維障礙.所以教學(xué)要在問題解決過程中揭示數(shù)學(xué)思想，讓內(nèi)隱的思想方法外顯化，以有利于學(xué)生的感悟與內(nèi)化，達(dá)到駕輕就熟的地步.

案例2（2016年無錫）如圖2，已知ABCD的三個頂點(diǎn)A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m>n>0），作ABCD關(guān)于直線AD的對稱圖形AB1C1D.圖2（1）若m=3，試求四邊形CC1B1B的面積S的最大值.

（2）若點(diǎn)B1恰好落在y軸上，試求nm的值.

解（1）如圖3，BB1交AD于點(diǎn)E，CC1交AD于點(diǎn)F因?yàn)锳B1∥DC1，AB∥DC，所以∠B1AB=∠B1AE+∠BAE=∠C1DA+∠CDA=∠C1DC，因?yàn)锳B1=DC1，AB=DC，所以△B1AB≌△C1DC.所以△B1AB的面積S1與△C1DC的面積S2相等.所以S=2S□ABCD=2×（3-n）×2n=-4n2+12n=-4（n-32）2+9.所以當(dāng)n=32時，S最大值為9.

圖3圖4（2）當(dāng)點(diǎn)B1在y軸上時，如圖4，則∠OAD=∠EAB，因?yàn)椤螦OD=∠AEB=90°，所以∠ODA=∠ABE，所以Rt△OAD∽Rt△OB1B，所以O(shè)DOA=OBOB1=2.所以O(shè)B1=m2.

因?yàn)樵赗t△OAB1中，OA2+OB21=AB21，AB1=AB=m-n，所以n2+（m2）2=（m-n）2，所以3m2=8mn，因?yàn)閙>0，所以nm=38.

教學(xué)思考首先，題目中含有兩個參數(shù)m、n，其共同決定了ABCD的形狀、大小和位置，第（1）題中m=3，四邊形CC1B1B的面積就可以用n表示，即用字母表示圖形面積的變化.第（2）問確定點(diǎn)B1的位置，即通過圖形的特殊位置來確定m、n之間蘊(yùn)含的關(guān)系，從確定圖形位置中發(fā)現(xiàn)包含的數(shù)量關(guān)系，通過相似和勾股定理構(gòu)造方程解決問題，將幾何問題代數(shù)化，體現(xiàn)了數(shù)與形的緊密聯(lián)系.其次，問題中蘊(yùn)含的“動”、“靜”關(guān)系也非常深刻，縱觀這道中考試題表面看來是靜止的，實(shí)際上A、D、B的坐標(biāo)都是用字母表示的，由于字母表示數(shù)的一般性，就蘊(yùn)含了動態(tài)的思想，△CDC1、△BAB1可以看作平移，這些也是“動”的，題目中給出了“ABCD沿直線AD翻折變化”是動態(tài)的過程.但D（0，2n），A（n，0）中隱含著OA︰OD=1︰2告訴我們∠ODA的度數(shù)不變，除此之外，AD垂直平分BB1，△ODA、△EBA、△OBB1、△EDB1（圖4中）是相似的直角三角形，△B1AB與△C1DC是全等的三角形，四邊形CC1B1B是矩形……這些都是不變的，發(fā)現(xiàn)“動”與“靜”的過程，是思維不斷走向深入的過程，也就可以找到解決問題的方法和途徑.發(fā)現(xiàn)四邊形CC1B1B是矩形可以直接求矩形CC1B1B的面積，發(fā)現(xiàn)△B1AB全等于△C1DC，可以用割補(bǔ)法求四邊形CC1B1B的面積.第（2）小問則化“動”為“靜”，找到運(yùn)動的特殊位置B1在y軸上，仍然是利用不變的關(guān)系，Rt△OAD與Rt△OB1B相似不變性來解決問題.在運(yùn)動中發(fā)現(xiàn)不變量是解決問題的關(guān)鍵，也是問題的本質(zhì)所在.這些隱含在問題中的思想需要教師在教學(xué)中不斷挖掘，給學(xué)生以示范，以期學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)有更深刻的認(rèn)識.endprint

2.3重視數(shù)學(xué)思想方法在解題策略形成中的指向作用

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵在于策略的選擇.影響解題策略形成的因素很多，但對于數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟是策略形成的“風(fēng)向標(biāo)”，也是解決數(shù)學(xué)問題的利器.

案例3（2017年無錫）在如圖5的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于.

圖5解連接EF、AE，則EF∥CD，所以∠BOD=∠AFE，因?yàn)镋F=2，AE=32，AF=25，所以EF2+AE2=AF2，所以∠AEF=90°，所以tan∠BOD=tan∠AFE=AEEF=3.

本題還可以通過平移線段AB構(gòu)造直角三角形，或者同時平移AB、CD構(gòu)造等腰三角形來解決問題，讀者可以自行嘗試.

教學(xué)思考求∠BOD的三角函數(shù)值的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，比如：從A、B、C、D四點(diǎn)作直線AB或CD的垂線，但由于垂足不在格點(diǎn)上，問題難以解決.故要另辟蹊徑，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”思想，將∠BOD用其他的角代替，這個角又恰好在某一個直角三角形中.考慮畫CD的平行線EF（如圖5），連接AE，這樣就構(gòu)造了直角△AEF進(jìn)而求出∠AFE的正切，從而求出tan∠BOD的值.這里抓住了等角轉(zhuǎn)換，問題在方向上就正確了，顯然“轉(zhuǎn)化”思想是形成解題策略的關(guān)鍵.另外，CD是5×5的網(wǎng)格圖正方形對角線，EF是1×1的網(wǎng)格圖正方形對角線，發(fā)現(xiàn)CD平行EF，構(gòu)造Rt△AEF也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.這個過程不僅是數(shù)學(xué)思想的妙用，更體現(xiàn)了思維創(chuàng)新.

2.4重視數(shù)學(xué)思想方法對思維品質(zhì)形成的促進(jìn)作用

數(shù)學(xué)教育的一個重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，數(shù)學(xué)學(xué)科對于培養(yǎng)學(xué)生思維敏捷性、嚴(yán)密性、深刻性有著其他學(xué)科無與倫比的優(yōu)勢.中考承擔(dān)了畢業(yè)和升學(xué)的雙重功能，對于學(xué)生的思維能力的考查自然是考試的重點(diǎn)之一，所以教師的教育要把培養(yǎng)學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)放在突出重要的位置，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)形成的必然選擇.由于數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)由數(shù)學(xué)概念原理和解決問題所反映的思想方法來體現(xiàn)，因此使學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法就是使思維品質(zhì)的形成落到實(shí)處.

案例4（2017年無錫）如圖6，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m.動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，在邊DA上以每秒1個單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，連接CP，作點(diǎn)D關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s）.

（1）若m=6，求當(dāng)P、E、B三點(diǎn)在同一直線上時對應(yīng)t的值.

（2）已知m滿足：在動點(diǎn)P從點(diǎn)D到A點(diǎn)的整個運(yùn)動過程中，有且只有一個時刻，使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3，求所有這樣的m的取值范圍.

圖6圖7（1）如圖7，由對稱可知，∠1=∠2，PE=PD=t，CE=CD=4，∠PDC=∠PEC=90°；

因AD∥BC，則∠2=∠BCP，所以BP=BC=6；在Rt△BEC中，BE=62–42=25；所以PD=PE=6–25，即t=6–25.

（2）①如圖8，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A，且E點(diǎn)落在到BC邊上方且到BC的距離等于3時，作EF⊥CB交CB的延長線于F，延長FE交DA的延長線于H.

在Rt△HEP中，由勾股定理可得：1+（7–t）2=t2，解方程得：t=477，即m=477.

②如圖9，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A，且E點(diǎn)落在BC邊下方且到BC的距離等于3時，作EF⊥DC交DC的延長線于F，延長FE交AB的延長線于M.

在Rt△PEM中有：（m–7）2+72=m2，解得m=47.當(dāng)0

圖8圖9教學(xué)思考本題的背景是矩形，一邊用參數(shù)來表示，其形狀是可以變化的.第（2）問需要一定的空間想象能力和較強(qiáng)的理解能力，特別是使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3，這樣的點(diǎn)在“平行于BC且距離等于3的兩條直線上”，進(jìn)而用分類討論的方法求出t的范圍，用動態(tài)的觀點(diǎn)找出有且只有一個時刻，使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3.很多考生反映不能理解題目的意思，造成漏解和誤解.問題的表述簡潔，但卻蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)思想，問題的解決需要考生具有縝密的思維能力，對數(shù)學(xué)問題有深刻的理解和對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟.

重要數(shù)學(xué)思想方法重點(diǎn)考查，以考查學(xué)生挖掘和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的能力，這是命題者的追求.在教學(xué)中，只有不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、運(yùn)用和內(nèi)化，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到真正的提升.

作者簡介鐘珍玖（1971—），男，教育碩士，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，無錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人.曾獲無錫市優(yōu)秀班主任、市優(yōu)秀教育工作者等榮譽(yù)稱號.發(fā)表論文30多篇，其中有3篇被人大資料復(fù)印中心全文轉(zhuǎn)載，參編《初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)》、《初中數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評價》等專著.