陳 聰, 孫嘉慶, 危玉倩, 李定國

(海軍工程大學， 武漢 330031)

【航空和航海工程】

艦船靜態(tài)電場微分遞推換算法的泰勒展開優(yōu)化

陳 聰, 孫嘉慶, 危玉倩, 李定國

(海軍工程大學， 武漢 330031)

針對艦船靜態(tài)電場的微分遞推換算法在遞推換算過程中誤差不斷積累這一問題，提出運用泰勒展開定理對其優(yōu)化。推導出垂向二階偏導數與水平二階偏導數的關系，將其代入泰勒二階展開后的遞推公式，然后利用拉格朗日五點插值法，求得水平二階偏導數，實現對遞推公式的優(yōu)化。對改進前與改進后的微分遞推法的換算精度進行仿真比較，結果表明改進后的微分遞推換算法的換算精度更高，說明了泰勒展開法對其進行精度優(yōu)化可行。

艦船靜態(tài)電場；微分遞推；深度換算；泰勒展開

隨著艦船探測技術和隱身技術的發(fā)展，國內外對艦船靜態(tài)電場的研究也越來越多，在這其中，艦船電場的深度換算作為掌握艦船靜態(tài)電場分布的重要手段也越來越受到關注[1-3]。微分遞推法從艦船靜態(tài)電場換算問題中換算區(qū)域內無源無旋這一特征出發(fā)，通過尋找兩相鄰中間層之間的遞推關系，在逐步遞推中由一個測量平面上的電場分布特征得到一定深度平面上電場的分布特征，相比于電性模擬體法[4]和拉氏方程法[5]，微分遞推換算法[6]的計算過程簡單且同時適用于由遠及近與由近及遠兩類換算問題。但由于在遞推過程中，誤差的累積效應也越來越明顯，影響了換算結果的精度。泰勒公式作為一個重要的數學公式，廣泛應用于各類數學、物理問題的近似逼近處理當中[7-8]，本文首先從換算區(qū)域內的物理規(guī)律入手，推導了換算區(qū)域內電場強度三分量的水平二階偏導數與垂向二階偏導數的關系，然后運用泰勒公式對遞推公式進行泰勒展開，得到了改進后的遞推公式，并進行了仿真驗證，結果表明，經過泰勒展開改進后的遞推誤差要低于未修正的遞推誤差，從而說明了這一改進方法的可行性。

1 微分遞推法簡介

艦船靜態(tài)電場的深度換算問題分為兩類，一類是由近源平面向遠源平面換算稱為由近及遠換算，如圖1(a)所示；另一類則是由遠源平面向近源平面換算稱為由遠及近換算。如圖1(b)所示。以由近及遠換算中電場強度的x分量Ex的換算為例，根據牛頓萊布尼茨公式，兩中間層平面上的Ex值有如下關系：

(1)

圖1 換算示意圖

若遞推步長Δz足夠小則有：

(2)

又測量平面與目標平面之間的換算區(qū)域內靜態(tài)電場無源、無旋，所以：

(3)

也即：

(4)

得:

(5)

代入式(2)可得：

(6)

類似得可以得到：

(7)

(8)

這一方法運算簡單，實用性較強，但由于在逐步遞推的過程中，換算誤差的累積效應增大，降低了換算精度。

2 微分遞推法的改進

為了提高微分遞推法的換算精度，本文提出利用泰勒公式對遞推公式進行二階泰勒展開，來實現對算法的優(yōu)化。仍以由近及遠換算中電場強度的x分量Ex的換算為例,對式(2)進行二階泰勒展開即有：

(9)

同理可得Ey和Ez的換算公式:

(10)

(11)

將式(5)所得結果代入式(9)、(10)、(11)得到:

(12)

(13)

(14)

與一階導數相類似，只根據一個測量平面的測量值無法得到垂向二階偏導數的初始值，因此必須找到垂向二階偏導數與水平二階偏導數的關系。

對式(5)等式兩邊對z求偏導，分別得到Ex，Ey，Ez對z的二階偏導：

(15)

交換求偏導次序，結合式(5)得:

(16)

即得到了垂向二階偏導數與水平二階偏導數的關系，代入式(11)、(12)、(13)得到

(17)

(18)

(19)

根據二階導數的五點公式[12]，結合測量平面上電場三分量的測量值，可以求得水平二階偏導數的初始值，代入式(17)、(18)、(19)逐層遞推得即可到待求平面上電場強度三分量的數值。

3 對改進效果的評價

在艦船靜態(tài)電場的研究當中，國內外很多學者利用電偶極子模型對產生艦船靜態(tài)電場的場源進行等效[10-11]。本文以一個水平電偶極矩為1 A·m的水平直流電偶極子在三層海洋模型中產生的電場模擬艦船靜態(tài)電場，海水電導率設為4 S/m，海床電導率為0.4 S/m，選取大小為60 m×60 m的測量平面，按照圖1所示建立坐標系(以海水-空氣界面為xoy平面)，對改進后與改進前微分遞推算法對兩類換算問題的換算精度的改進效果進行研究。

3.1 對由近及遠換算的改進效果

設定參數如表1，對改進前后由近及遠換算的換算精度的變化進行研究。

表1 模擬參數設定

圖2為未進行改進的微分遞推法換算得到的待求平面上的電場強度的換算值與理論值在y=10 m處的曲線圖，由圖中可以看出，換算結果與理論值之間存在一定的誤差，Ey與Ex的換算誤差尤其明顯。

圖3為進行改進后的微分遞推法換算得到的待求平面上的電場強度的換算值與理論值在y=10 m處的曲線圖，由圖中可以看出，換算結果與理論值契合的較好，相較于圖2而言，換算值與理論值之間的差距大大減小。

圖2 y=10 m處改進前由近及遠換算時電場強度三分量換算值與理論值

圖3 y=10 m處改進后由近及遠換算時電場強度三分量換算值與理論值

采用相對均方根誤差對換算誤差進行量化得到表2，由表2可以看出改進后的換算誤差明顯小于改進前的誤差，這也說明了在當前換算參數條件下泰勒展開對微分遞推法改進的可行性。

表2 由近及遠換算中算法改進前后誤差

為了進一步考察由近及遠換算中泰勒展開改進后的遞推算法取不同遞推步長時的改進效果，保持表1中其他參數不變，分別取Δz為0.1 m、0.3 m、0.5 m、0.6 m、1.5 m、2 m、3 m，考察電場強度三分量的換算誤差在換算前后的變化，得到圖4。

由圖4可以看出，當Δz小于0.6 m時，改進后的電場三分量換算誤差大于改進之前;當Δz大于0.6 m時，改進后換算誤差小于改進之前，且改進后換算誤差維持在一個比較低的水平上。

這是由于用拉格朗日五點插值法所求的一階水平偏導數值和二階水平偏導數值與其理論值之間存在誤差，且這一誤差隨著水深z的增大而減小。由近及遠換算是由誤差較大的一階水平偏導數值和二階水平偏導數值向誤差較小的方向換算，一階水平偏導數值和二階水平偏導數值的誤差積累的較快，當Δz小于0.6 m時，遞推次數較多，由于改進算法引入了二階導數的誤差，遞推次數越多，二階導數的誤差逐步累積，故改進效果不明顯。但隨著遞推步長的增大，二階導數誤差的影響效果被弱化，換算精度得到改善，換算誤差維持在一個較低的水平。

3.2 對由遠及近換算的改進效果

設定測量平面位置為26 m，待求平面為20 m，Δz=-3(負號代表方向，以下均取其絕對值)維持3.1中其他參數設定不變，對泰勒展開優(yōu)化后的微分遞推算法的換算效果進行考察，得到圖5，圖6。

圖4 改進后前后由近及遠換算時電場強度三分量換算值與理論值

圖5 y=10 m處改進前由遠及近換算時電場強度三分量換算值與理論值

圖6 y=10 m處改進后由遠及近換算時電場強度三分量換算值與理論值

圖7 改進前后由遠及近換算時電場強度三分量換算值與理論值

對比圖5、6，可以看出，在由遠及近換算中，改進后的微分遞推算算法的換算出的換算值與理論值的契合程度要優(yōu)于改進之前。用相對均方根誤差對換算誤差進行量化，得到表3所得結果。

以相對均方根誤差超過50%時的換算深度為極限換算深度，改進后由遠及近換算的極限換算深度由改進前的40 m提升到49 m。進一步考察遞推步長為0.1 m、0.3 m、0.5 m、0.6 m、1 m、1.5 m、2 m、3 m時泰勒展開對微分遞推算法的優(yōu)化效果，得到圖7。由圖7可以看出，由遠及近換算時，改進后的微分遞推法的換算誤差始終小于改進前算法的換算誤差。這是因為，與由近及遠換算相比，由遠及近換算是由誤差較小的一階水平偏導數值和二階水平偏導數值得到誤差較大的一階水平偏導數值和二階水平偏導數值，因此誤差積累的較慢，二階導數誤差的引入對換算的影響較小。

表3 由遠及近換算中算法改進前后誤差

4 結論

依據泰勒公式對微分遞推法中離散化的遞推公式進行泰勒展開，在理論上推導出水平二階偏導數與垂向偏導數的關系，得到了改進后的遞推公式，弱化微分遞推法中誤差的累積效應。仿真分析表明，改進后的微分遞推算法用于艦船靜態(tài)電場的深度換算時，換算精度更高，尤其是應用于由遠及近的換算當中。但也可以發(fā)現，泰勒展開優(yōu)化引入了二階偏導數，而通過五點插值法求得的二階偏導數值存在一定的誤差，這使得泰勒展開法在解決誤差累積效應問題中展現出了一定的局限性。為解決這一問題，今后的研究中，可以嘗試采用理查德森外推法對五點插值法求導過程進行優(yōu)化處理，以求獲得更高的換算精度，從而弱化引入的二階偏導誤差的影響，提高其優(yōu)化效果。

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TaylorExpansionOptimizationofDifferentialRecursiveAlgorithmforStaticElectricFieldofShips

CHEN Cong， SUN Jiaqing， WEI Yuqian， LI Dingguo

(Naval university of engineering, Wuhan, Hubei 330031, China)

In order to solve the problem of constant accumulation of errors in the recursive conversion algorithm for static electric field of ships, a Taylor expansion theorem was proposed to optimize the algorithm.The recursive formula of recursive conversion algorithm was put forward based on a second-order expansion of Taylor theorem,and the vertical second-order partial derivatives in the formula was converted to horizontal second-order partial derivatives which could be calculated by using the Lagrange five point interpolation method.In comparison of the improved recursive algorithm and the unimproved recursive algorithm,the simulation calculation was done, and result showed that the conversion accuracy of the improved recursive algorithm is higher than the unimproved one which showed the feasibility of the Taylor expansion method.

static electric field of ship; differential recursion; depth conversion; Taylor expansion

2017-09-05；

2017-09-30

國家自然科學基金資助項目(51109215)；學?？蒲邪l(fā)展基金自主立項(425517k101)

陳聰(1971—),女，博士，教授，主要從事水下軍用目標特性及信息融合研究。

孫嘉慶(1993—)，男，碩士研究生，主要從事艦船水下電場目標特性研究。

10.11809/scbgxb2017.12.049

本文引用格式：陳聰, 孫嘉慶, 危玉倩, 等.艦船靜態(tài)電場微分遞推換算法的泰勒展開優(yōu)化[J].兵器裝備工程學報，2017(12):221-226.

formatCHEN Cong，SUN Jiaqing，WEI Yuqian，et al.Taylor Expansion Optimization of Differential Recursive Algorithm for Static Electric Field of Ships[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(12):221-226.

TJ6

A

2096-2304(2017)12-0221-06

(責任編輯楊繼森)