王佩飛 李海燕

1 引言

控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的參考輸出量和參考輸入量之間一般存在某種關(guān)系，這種關(guān)系我們可以稱之為參考軌跡。顯然，在參考輸入的作用下，控制系統(tǒng)的輸出軌跡中存在一個全局最優(yōu)極值點(diǎn)［1～2］。而在實(shí)際控制系統(tǒng)中，因?yàn)槲覀儾⒉荒軌驕?zhǔn)確知曉控制系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)以及每個參數(shù)都存在不準(zhǔn)確性，這就讓我們很難精確地了解系統(tǒng)參考軌跡的形式，這也給我們對未知參考軌跡進(jìn)行尋優(yōu)的過程帶來了很大的難度［3～4］。進(jìn)入 20世紀(jì)后，為了能夠找到未知參考軌跡的最優(yōu)值，人們孜孜不倦地探索研究，提出了如粒子群算法［5～6］、模擬退火算法［8］等多種最優(yōu)化方法，這些方法都能夠有效地實(shí)現(xiàn)極值搜索功能，但這些都是從數(shù)值計(jì)算的角度來對參考軌跡進(jìn)行尋優(yōu)的，而且還需要知道或者至少知道部分系統(tǒng)參考軌跡［9］。進(jìn)入21世紀(jì)后，針對不等式約束問題的研究逐漸增多，文獻(xiàn)［11］利用障礙罰函數(shù)構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)使?fàn)顟B(tài)避開不可行域，并利用基于激勵信號的極值搜索方法進(jìn)行仿真研究。文獻(xiàn)［12］針對嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的輸出約束問題，在反演控制器設(shè)計(jì)過程中引入重構(gòu)障礙型Lyapunov函數(shù)進(jìn)行虛擬控制量設(shè)計(jì)，再通過滑模控制方法確保系統(tǒng)穩(wěn)定。文獻(xiàn)［13］針對嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的狀態(tài)約束問題，利用障礙罰函數(shù)處理約束情況，利用自適應(yīng)反演控制器確保系統(tǒng)穩(wěn)定。截止目前，針對極值搜索系統(tǒng)的狀態(tài)可行域約束的研究仍然較少，需進(jìn)一步深入研究。

2 問題描述

考慮如下形式的單輸入極值搜索系統(tǒng)：其中，x=[x1，x2，…xn]T∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u∈R為系統(tǒng)輸入量，y∈R為系統(tǒng)輸出量；y=J(x1)為目標(biāo)函數(shù)；xˉi=[x1，x2，…，xi]T∈Ri為由系統(tǒng)狀態(tài) x1到系統(tǒng)狀態(tài)xi構(gòu)成的狀態(tài)向量，狀態(tài)量xi是可測的；函數(shù) fi(?)，gi(?)，?i(?)，(i ∈ [1 ， 2，…，n] )是連續(xù)有界的光滑函數(shù)。

控制目標(biāo)如下：設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制輸入u，使得系統(tǒng)（1）中的目標(biāo)函數(shù) y=J(x1)能夠搜索到其對應(yīng)的全局極值處，且保證閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號全局有界。

我們先做如下假設(shè)：

假設(shè)1：存在常數(shù) fi0＞0，使得 | fi(?)|＞fi0成立，(i∈[1 ， 2，…，n] )。

通過假設(shè)1的限制，可知 fi(?)始終是嚴(yán)格正或是嚴(yán)格負(fù)的，并且 fi(?)的絕對值始終為正，即系統(tǒng)（1）是狀態(tài)可控的。不失一般性地，本文設(shè)定fi(?)＞0。

假設(shè)2：當(dāng) x1=x1*時目標(biāo)函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)y=J*(x*)，目標(biāo)函數(shù)滿足

3 基于狀態(tài)可行域約束極值參考軌跡設(shè)計(jì)

針對如式（1）所示的極值搜索系統(tǒng)，是在x1∈(- ∞，+∞ )的范圍內(nèi)搜索目標(biāo)函數(shù)的極值，但在工程應(yīng)用中常常需要在S(x1)≤0所對應(yīng)的某個區(qū)間范圍內(nèi)搜索目標(biāo)函數(shù)的全局極值。因此針對狀態(tài)量x1的可行域進(jìn)行約束，我們構(gòu)造新的極值搜索系統(tǒng)

其中，各個變量和所有參數(shù)與如式（1）所示系統(tǒng)一致，且滿足假設(shè)1和假設(shè)2。本文的狀態(tài)量x1可行域約束是針對x1的穩(wěn)定狀態(tài)而言，此時使目標(biāo)函數(shù)最終能夠搜索到狀態(tài)量x1滿足可行域約束S()x1≤0時所對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的全局極值。

我們假設(shè)設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)量對極值參考軌跡的有效跟蹤，則對狀態(tài)量的可行域約束即是對極值參考軌跡的約束，故考慮對極值參考軌跡 x1，d滿足約束條件 S( )x1，d≤0 的情況進(jìn)行處理。設(shè)存在可行域約束時的狀態(tài)量x1的極值參考軌跡為x?

1，d，引入經(jīng)典對數(shù)型罰函數(shù)對 x?1，d滿足≤0進(jìn)行處理。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)含唯一極大值時采用的對數(shù)型罰函數(shù)為

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)含唯一極小值時采用的對數(shù)型罰函數(shù)為

通過引入如式（4）和式（5）所示的罰函數(shù)，構(gòu)造存在可行域約束時新的目標(biāo)函數(shù)為

通過新目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造，將狀態(tài)約束S(x1)≤0時搜索目標(biāo)函數(shù)Jθ)最值的問題變?yōu)樗阉餍履繕?biāo)函數(shù)最值的問題。因此，我們現(xiàn)在只需針對入式（6）設(shè)計(jì)極值參考軌跡即可。考慮因 滿足S(?≤0而可能引起的可行域包含若干無交集區(qū)間的問題，現(xiàn)做補(bǔ)充假設(shè)：?

1，d考慮到引入的對數(shù)型罰函數(shù)（4）和（5）可知需滿足 S()≠0，同時考慮到極值參考軌跡 設(shè)計(jì)需對罰函數(shù)進(jìn)行求微分處理，故針對可行域約束函數(shù)做補(bǔ)充假設(shè)：

假設(shè)4：約束函數(shù)S(x1)在滿足S(x1(0 ) )＜0的定義域內(nèi)是有界連續(xù)光滑函數(shù)。

控制目標(biāo)為：使得系統(tǒng)（3）搜索到如式（6）所示的新目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的較小有界鄰域內(nèi)，且閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號有界。

不失一般性的，以目標(biāo)函數(shù)含唯一極大值情況為例，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)（6）與狀態(tài)量x1和極值參考軌跡x? 的Lyapunov函數(shù)

由式（8）可得狀態(tài)量x1的參考軌跡應(yīng)滿足

其中，kd∈R+為設(shè)計(jì)常數(shù)。

將式（9）代入式（8）可得

由式（7）可得VJS≥0，由式（10）可得當(dāng)極值參考軌跡 x? 如式（9）所示時，≤0 。當(dāng)狀態(tài)量 x1，dJS1沿著極值參考軌跡x? 向 lim =0 的方向趨近1，dt→+∞JS時，最終可到達(dá)對應(yīng)的最大值點(diǎn)x1*處，此時新目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)定在對應(yīng)區(qū)間最值的較小有界鄰域內(nèi)。由假設(shè)4可知，極值參考軌跡（9）是可行的，且極值參考軌跡及其高階導(dǎo)數(shù)t)，(i ∈ [1 ， 2，…，n]) 是有界光滑的。

下面分類討論一下當(dāng)狀態(tài)量x1存在可行域約束S(x1)≤0時的極值搜索問題。不失一般性的，我們假設(shè)目標(biāo)函數(shù)J(x)存在唯一的極大值J*(x*)，此時對應(yīng)的狀態(tài)滿足x1*∈(a3，+∞ )，假設(shè)狀態(tài)量 x1存在的可行域約束范圍為x1∈[a1，a2] ∪ [a3， +∞ )，其中a1＜a2＜a3。采用本文方法，狀態(tài)量x1的初始值不受可行域約束的限制，即x1(0)∈(- ∞，+∞ )，而極值參考軌跡的初始值受可行域約束的限制，需滿足(0)∈(a ，a)∪ (a ，+∞ )。下面，以此為例123討論目標(biāo)函數(shù)搜索到最優(yōu)值的過程：

情況二、當(dāng) (0)∈(a3，+∞ ) 時，x1將沿著極值參考軌跡?收斂至處，此時目標(biāo)函數(shù)達(dá)到可行域約束范圍(a3，+∞ ) 內(nèi)唯一極大值)，即新目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)定在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的最大值處。

以此類推，狀態(tài)量x1存在可行域約束S(x1)＜0、S(x1)≥0、S(x1)＞0時可以根據(jù)以上的討論情況進(jìn)行分析。同時，需要特別強(qiáng)調(diào)的是，本文涉及到的狀態(tài)量x1的可行域可以是單個連續(xù)的區(qū)間，也可以是若干個沒有交集的連續(xù)區(qū)間的并集。狀態(tài)量x1滿足的可行域約束的實(shí)質(zhì)，是求取(0)所在的可行域約束范圍內(nèi)的某個區(qū)間的對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，而狀態(tài)量x1初始值x1(0)可以是全局的，但最終將在自適應(yīng)控制器作用下收斂到狀態(tài)量x1滿足S(x1)≤0的可行域的某個區(qū)間中可使目標(biāo)函數(shù)取得區(qū)間內(nèi)最值所對應(yīng)的狀態(tài)量。本文引入了經(jīng)典對數(shù)罰函數(shù)，故目標(biāo)函數(shù)可能達(dá)到真實(shí)的最值的極小鄰域內(nèi)，這取決于控制參數(shù)和罰因子δ等因素的影響。

4 仿真驗(yàn)證

現(xiàn)選取幅值和頻率都為1的正弦信號作為激勵信號進(jìn)行仿真。采用圖1中的算法結(jié)構(gòu)，選取目標(biāo)函數(shù)為

可行域約束為

目標(biāo)函數(shù)h()z軌跡如圖2所示。由圖2可知，h()

z在z=-5處存在局部極大值91.7，在z=-2處存在極小值-25.3，在z=3處存在全局極大值433。

引入的經(jīng)典對數(shù)型罰函數(shù)為

構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)為

狀態(tài)量z的可行區(qū)間為(- ∞，-4 ]∪[0 ，+∞ ) ，當(dāng)z?(0 )滿足 z?(0)∈(- ∞，-4)時采用本文設(shè)計(jì)方dd法可使z最終穩(wěn)定在z=-5處，此時目標(biāo)函數(shù)無限趨近于狀態(tài)在區(qū)間(- ∞，-4)內(nèi)對應(yīng)的最大值h*(z*)=91.7的較小有界鄰域內(nèi)；當(dāng) z?d(0)滿足z?(0)∈(0 ，+∞ )時采用本文設(shè)計(jì)方法可使z最終穩(wěn)d定在z=3處，此時目標(biāo)函數(shù)取得狀態(tài)在區(qū)間內(nèi)對應(yīng)的最大值h*(z*)=433。

設(shè)計(jì)極值參考軌跡z?為(0 ，+∞)d

選取 δ=0.01，kd=1，k=0.1，r=12，ωh=1，ωl=0.1，對系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖3～圖6所示： ?

當(dāng) 初 始 值 zd(0)=-5.2時 ， 可 知?(0)∈(- ∞，-4 )，仿真結(jié)果如圖3，可得z將沿著極值參考軌跡z?d收斂至tl→im+∞z=z*=-5處的較小鄰域內(nèi)，此時目標(biāo)函數(shù)達(dá)到可行域約束范圍(- ∞，-4)內(nèi)唯一極大值91.7，即新型目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)定在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的最大值處。

當(dāng)初始值 z?(0)=2 時，可知 z?(0)∈(0 ，+∞ )，dd仿真結(jié)果如圖5，可見z將沿著極值參考軌跡zd收斂至tl→im+∞z=z*=3 處，此時目標(biāo)函數(shù)達(dá)到可行域約束范圍(0 ，+∞ )內(nèi)唯一極大值433，即新型目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)定在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的最大值處。

由圖4和圖6可知：目標(biāo)函數(shù)分別收斂至局部最大值h*(z)=91.7和h*(z)=433處；由圖3和圖5可知：狀態(tài)量z能夠有效跟蹤極值參考軌跡z?最d終收斂至z*=-5處和z*=3的較小有界鄰域內(nèi)。通過仿真分析可知：本文設(shè)計(jì)的存在狀態(tài)可行域約束下的極值參考軌跡和自適應(yīng)控制方法可以實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，并能取得較好效果。

5 結(jié)語

針對單輸入極值搜索系統(tǒng)的控制問題，在狀態(tài)量存在可行域約束的情況設(shè)計(jì)極值參考軌跡，選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)進(jìn)行極值參考軌跡設(shè)計(jì)，并結(jié)合幅值自適應(yīng)控制，使系統(tǒng)搜索到目標(biāo)函數(shù)的極值處且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方法的有效性。

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