鄭婷

【摘要】在初中數(shù)學(xué)階段，“函數(shù)”對(duì)學(xué)生而言是抽象的，通過經(jīng)歷探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，由常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)過渡，體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；有效性；數(shù)學(xué)思維

一、初中函數(shù)教學(xué)的重要意義

（一）初中函數(shù)在數(shù)學(xué)課程中的地位

函數(shù)是數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一.它揭示了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量之間相互依存變化對(duì)應(yīng)的過程，是刻畫和研究客觀世界變化規(guī)律的重要模型.它研究變量，反映一個(gè)變化過程，由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)思維上的一次飛躍.

（二）初中函數(shù)的教學(xué)建議

1.立足函數(shù)概念核心，強(qiáng)化概念形成的生成過程

初中階段的函數(shù)概念是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)引入，緊扣“變量”來描述函數(shù)，主要明確兩層含義：第一，兩個(gè)變量是互相聯(lián)系的，一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量也發(fā)生變化；第二，函數(shù)與自變量之間是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的.

2.加強(qiáng)研究函數(shù)一般方法的指導(dǎo)

研究函數(shù)概念可以從五方面逐步滲透：① 概念的引入（從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入）；② 概念的形成（提供典型豐富的具體例證，概括其本質(zhì)屬性）；③ 概念的明確（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述概念的內(nèi)涵與外延）；④ 概念的表示（用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，這是數(shù)學(xué)概念的特色）；⑤ 概念的鞏固和應(yīng)用[以實(shí)例（正反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義，應(yīng)用概念作判斷].

因此，在教學(xué)過程中可以進(jìn)行問題導(dǎo)向，用類比的方法研究幾個(gè)函數(shù)概念（一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)），同時(shí)加強(qiáng)研究方法的引導(dǎo)，對(duì)于學(xué)生理解相關(guān)概念可以起到事半功倍的效果.

3.滲透函數(shù)思想，用函數(shù)觀點(diǎn)上串下聯(lián)知識(shí)體系

由于函數(shù)具有多樣性的表現(xiàn)和變化性的過程等特點(diǎn)，所以結(jié)合函數(shù)觀點(diǎn)可以開拓研究方程和不等式的思路.這對(duì)理解他們的本質(zhì)內(nèi)涵和解決有關(guān)問題都是有益的，還可以使學(xué)生重新組合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化知識(shí)系統(tǒng)從而進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí).

二、蘇科版八（上）第六章第一課時(shí)“函數(shù)（1）”的教學(xué)案例探究

（一）教材分析

在此之前，學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了變量之間的關(guān)系，這個(gè)基礎(chǔ)為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用.本節(jié)課內(nèi)容主要是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)常量、變量，理解函數(shù)的概念，是認(rèn)識(shí)函數(shù)的開始，為接下來學(xué)習(xí)一次函數(shù)和其他學(xué)科用圖像或者表格等內(nèi)容打好基礎(chǔ).

（二）學(xué)情分析

為了更深刻地認(rèn)識(shí)千變?nèi)f化的世界，人們歸納總結(jié)出一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具——函數(shù)，用它描述變化中的數(shù)量關(guān)系.函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛，學(xué)習(xí)掌握它很有必要.從本節(jié)課開始學(xué)習(xí)內(nèi)容都是綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)來解決問題，因此，這個(gè)學(xué)習(xí)過程有難度.所以筆者認(rèn)為要設(shè)計(jì)一些問題進(jìn)行鋪墊，降低難度，引導(dǎo)學(xué)生先易后難逐步深化，讓基礎(chǔ)薄弱一些的學(xué)生也能有所收獲.

（三）“6.1函數(shù)（1）”具體教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與能力

（1）通過簡(jiǎn)單實(shí)例，了解常量與變量的意義；

（2）通過實(shí)例讓學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)的意義，感受函數(shù)的多種表示形式；

（3）能說出一些函數(shù)的實(shí)例，并能判斷兩個(gè)變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

2.過程與方法

經(jīng)歷具體實(shí)例的抽象過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活的體驗(yàn)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的興趣，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的功能與價(jià)值，形成主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí).

【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)概念的建立，判斷兩個(gè)變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)概念中常量、變量的理解及其對(duì)應(yīng)關(guān)系探索.

【教學(xué)過程】

1.問題情境與思考

情境一：汽車加油視頻

問題1：同學(xué)們，有沒有看過在加油站給汽車加油的過程？請(qǐng)同學(xué)們觀看給汽車加油的視頻.

問題2：這個(gè)加油過程中共涉及幾個(gè)量？

生：金額、油量、單價(jià).

問題3：給汽車加油的過程中，對(duì)于這幾個(gè)量，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：?jiǎn)蝺r(jià)不變，金額和油量在不斷變化.

引出常量、變量的概念：在一個(gè)變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫作常量；可以取不同數(shù)值的量叫作變量.

【設(shè)計(jì)意圖】從生活實(shí)例出發(fā)結(jié)合加油視頻，展現(xiàn)幾個(gè)量的變化情況，設(shè)計(jì)明確的問題導(dǎo)向引發(fā)學(xué)生的不斷思考，激發(fā)學(xué)生的興趣，加深學(xué)生對(duì)這幾個(gè)量的認(rèn)識(shí).通過這個(gè)問題情境，一方面，引出常量與變量概念，另一方面，有意識(shí)滲透“在某一變化過程中”這個(gè)建立函數(shù)概念的前提條件，為分析變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系做準(zhǔn)備.

問題4：在給汽車加油的過程中，有哪些變量？

生：金額和油量.

問題5：觀察一下：這兩個(gè)變量是如何變化的？

生：?jiǎn)蝺r(jià)不變，油量變多，金額也變多了.

問題6：你能用一段話來描述這兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？

總結(jié)出兩個(gè)變量之間的關(guān)系：油量在變化、金額也在變化；油量確定時(shí)，金額有唯一值與它對(duì)應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】通過明確的多個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解加油過程中兩個(gè)變量之間的一定關(guān)系.問題4讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到我們研究的兩個(gè)對(duì)象是某一變化過程中兩個(gè)變量；通過小組討論問題5引導(dǎo)學(xué)生理解兩個(gè)變量之間的關(guān)系；問題6引導(dǎo)學(xué)生用自己的話來總結(jié)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，三個(gè)問題的環(huán)環(huán)相扣給學(xué)生研究變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有了一個(gè)初步的感受和體驗(yàn).

情境二：蘇州某日氣溫變化圖

問題1：在蘇州某日氣溫變化圖中，有哪兩個(gè)變量？

生：時(shí)間和氣溫.endprint

問題2：請(qǐng)描述在氣溫變化過程中，時(shí)間和氣溫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

生：時(shí)間在變化、氣溫也在變化；時(shí)間確定時(shí)，氣溫有唯一值與它對(duì)應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察氣溫變化圖，再一次明確變化過程中的兩個(gè)變量，并能仿照加油過程兩個(gè)變量的變化過程自己準(zhǔn)確描述天氣變化過程中兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生感受圖像能清晰地刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系，為后續(xù)函數(shù)三種表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

情境三：觀察水庫(kù)的水位變化與水庫(kù)蓄水量變化圖

問題1：在水庫(kù)蓄水量變化過程中，有哪兩個(gè)變量？

生：水位和蓄水量.

問題2：請(qǐng)描述在水庫(kù)蓄水量變化過程中，水位和蓄水量這兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

生：水位在變化、蓄水量也在變化；水位確定時(shí)，蓄水量有唯一值與它對(duì)應(yīng).

問題3：表格中未出現(xiàn)125 h/m的水位，那它有對(duì)應(yīng)的蓄水量嗎？

生：有.

問題4：對(duì)應(yīng)的蓄水量唯一嗎？

生：唯一.

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察水庫(kù)蓄水量變化過程，認(rèn)識(shí)蓄水量變化過程中的兩個(gè)變量，并描述這一變化過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，理解和感受變化過程中兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生感受表格清晰地揭示了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，為后續(xù)函數(shù)三種表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).顯然，學(xué)生表述的時(shí)候越來越整齊，也越來越自信.

情境四：搭小魚的游戲

問題1：在搭小魚的游戲過程中，有哪兩個(gè)變量？

生：小魚的條數(shù)和火柴根數(shù).

問題2：請(qǐng)描述在搭小魚的游戲過程中，小魚的條數(shù)和火柴根數(shù)這兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

生：小魚條數(shù)在變化、火柴根數(shù)也在變化；小魚條數(shù)確定時(shí)，火柴根數(shù)有唯一值與它對(duì)應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察搭小魚的游戲過程，認(rèn)識(shí)小魚的條數(shù)和火柴根數(shù)這兩個(gè)變量，并描述這一變化過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，理解和感受變化過程中兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)表達(dá)式清晰地刻畫了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，為后續(xù)函數(shù)三種表現(xiàn)形式的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

2.建立數(shù)學(xué)模型

問題1：對(duì)于四個(gè)生活情境，你發(fā)現(xiàn)有哪些共同點(diǎn)？

生：在變化過程中都有兩個(gè)變量，這兩個(gè)變量之間有對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

問題2：那么同一情境中的兩個(gè)變量之間有什么聯(lián)系？

生：一個(gè)變量在變化、另一個(gè)變量也隨之在變化；當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí)，另一個(gè)變量有唯一值與它對(duì)應(yīng).

問題3：誰(shuí)能說一說函數(shù)的概念？

引入函數(shù)概念：如果在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于變量x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

問題4：我們對(duì)函數(shù)的概念有了一定的認(rèn)識(shí)，誰(shuí)能說一說在我們的生活中有關(guān)函數(shù)的例子？

生：比如，買香蕉……

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課基于四個(gè)生活情境，筆者通過問題導(dǎo)向引導(dǎo)學(xué)生不斷充分感受和理解一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐步讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上歸納出函數(shù)的概念.在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的回答往往不準(zhǔn)確甚至錯(cuò)誤百出，經(jīng)過不斷地糾正，最終能形成最準(zhǔn)確的表述.學(xué)生只有經(jīng)歷了函數(shù)概念的生成過程，有了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，這樣的學(xué)習(xí)才會(huì)真正發(fā)生，才能激發(fā)出學(xué)習(xí)的潛力.筆者對(duì)于本節(jié)課采用的教學(xué)方法是實(shí)例引入、自主探究方式，根據(jù)學(xué)生的理解能力和生理特征，一方面，運(yùn)用直觀形象的實(shí)例引起學(xué)生的興趣，使他們的注意力能始終集中在課堂中，另一方面，筆者通過問題串的形式創(chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生小組交流合作，最大限度發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，鍛煉學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.反饋運(yùn)用

（1）用一根長(zhǎng)2 m的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形.

① 當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為0.1 m時(shí)，長(zhǎng)為多少？

② 當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為0.2 m時(shí)，長(zhǎng)為多少？

③ 當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為a cm時(shí)，長(zhǎng)為多少？

④ 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的函數(shù)嗎？為什么？

（2）下表中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？

x12345

y±1±2±3±4±5

【設(shè)計(jì)意圖】這兩題主要鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解.對(duì)學(xué)生來說判斷兩個(gè)量之間是否具有函數(shù)關(guān)系需要把握三點(diǎn)：一個(gè)變化過程、兩個(gè)變量、一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

4.課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的收獲是什么？你的疑惑是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】在獨(dú)立思考和合作交流中引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課在知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法方面的收獲，在總結(jié)的同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)收獲知識(shí)的快樂.

5.教學(xué)反思

新課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)了概念教學(xué)的形成過程應(yīng)由學(xué)生感悟自主生成，這就必然要求教師在教學(xué)過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念生成的合理性，在學(xué)習(xí)過程中突出學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想，不斷積累內(nèi)化數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).筆者選擇的四個(gè)問題情境都來源于生活，方便學(xué)生抽象出常量和變量的概念，有的情境以表格形式展現(xiàn)，有的情境以圖像形式展現(xiàn)，有的情境得出表達(dá)式，并且四個(gè)情境的整個(gè)變化過程中只有兩個(gè)變量，通過兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生逐步歸納本節(jié)課的重點(diǎn)函數(shù)的概念.整堂課下來筆者設(shè)計(jì)的每一個(gè)環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了突出學(xué)生主體地位的意識(shí)，進(jìn)而幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的思想認(rèn)識(shí)事物運(yùn)動(dòng)變化的過程.同時(shí)，教師在整個(gè)教學(xué)過程中注意問題的導(dǎo)向性，及時(shí)糾錯(cuò)，及時(shí)提煉與總結(jié)，在很大程度上發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和問題意識(shí).然而，在教學(xué)過程中也有一些設(shè)計(jì)得不夠合理的地方，如：

（1）所提到的水位變化過程，情境的創(chuàng)設(shè)不夠直觀，給學(xué)生形象感知函數(shù)的變化關(guān)系增加了難度.

（2）汽車加油情境中對(duì)于兩個(gè)變量（油量和金額）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生一開始無(wú)法表述清楚甚至于準(zhǔn)確，筆者應(yīng)該再增加小組討論的時(shí)間，讓每名學(xué)生都有自己的想法并且表達(dá)出來，只有通過不斷的磨合糾正，學(xué)生才能真正理解為什么應(yīng)該這樣表述“油量在變化、金額也在變化；油量確定時(shí)，金額有唯一值與它對(duì)應(yīng)”，尤其是為什么能想到關(guān)鍵詞“確定”“唯一”，最后慢慢過渡到函數(shù)概念的關(guān)鍵詞“每一個(gè)值”“唯一”.

（3）在火柴棒搭小魚的情境中里面滲透已經(jīng)學(xué)過的用字母表示數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，但是學(xué)生花費(fèi)的時(shí)間偏長(zhǎng).隨后學(xué)生揭示出函數(shù)的概念，筆者要求學(xué)生再舉一些生活中的例子，可以把水波紋的問題插入這個(gè)環(huán)節(jié)，加深對(duì)概念的理解，使得教學(xué)環(huán)節(jié)更加緊湊豐滿.

（4）在反饋運(yùn)用環(huán)節(jié)中，第一個(gè)練習(xí)學(xué)生能夠通過算式或者函數(shù)表達(dá)式提出了2個(gè)變量之間的相互制約關(guān)系，然而對(duì)于概念中的“唯一確定”，學(xué)生理解得不徹底.對(duì)于練習(xí)2正是為了彌補(bǔ)這個(gè)思維漏洞，通過表格的形式讓學(xué)生感知當(dāng)x確定時(shí)，y卻有兩個(gè)值與它相對(duì)應(yīng)，這里和“唯一”有了矛盾，那么此時(shí)它是函數(shù)關(guān)系嗎？筆者應(yīng)該在這個(gè)問題上停一停，多讓學(xué)生對(duì)此問題進(jìn)行分析，從而幫助學(xué)生加深對(duì)概念中“唯一確定”的理解.顯然正面引導(dǎo)與反面警示相結(jié)合，必能事半功倍，起到畫龍點(diǎn)睛的作用.

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