[摘 要] 數(shù)學(xué)始于問題，終于問題。解題中的思維過程包括三個(gè)階段：思維定向、思維展開、思維控制。僅舉一例與大家交流。

[關(guān) 鍵 詞] 思維定向；思維展開；思維控制

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）19-0078-01

數(shù)學(xué)方法論認(rèn)為，數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)人素質(zhì)的養(yǎng)成，并不僅僅是掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是通過數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)能力，鍛煉思維，進(jìn)而通過思維的訓(xùn)練，提高解決問題的能力和創(chuàng)新能力，成為具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一員，為本職工作提供幫助。

在現(xiàn)今的高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)課不是專業(yè)課，加之學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，底子薄，所以許多數(shù)學(xué)教師就把數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)論直接灌輸給學(xué)生，要求他們記憶模仿做大量的練習(xí)，以期通過“題海戰(zhàn)術(shù)”來提高學(xué)生解決問題的能力，結(jié)果往往事與愿違。筆者認(rèn)為，要想從根本上提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，除了要讓學(xué)生掌握概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)外，還必須讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何利用這些概念、定理去解決問題，以及在解決問題過程中出現(xiàn)障礙時(shí)，如何控制和調(diào)節(jié)自己的思維，使問題得到有效解決。因此，剖析解題的思維過程，使思維在解題過程中得以有效展開，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，進(jìn)而提高解決問題的能力是非常必要的。

一、數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)思維

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Halmos）指出：數(shù)學(xué)定理、證明、概念、定義、理論、公式、方法中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟，只有問題是數(shù)學(xué)的心臟，解決問題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式。數(shù)學(xué)家波利亞的“怎樣解題表”給出了解題的四個(gè)步驟：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧。因此，不斷地提出問題、分析和解決問題成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的根本。

許多專家認(rèn)為，所謂數(shù)學(xué)問題主要是指對(duì)于解題者具有一定的接受性、障礙性和探究性的一些情形或問題。而解決數(shù)學(xué)問題可以看作是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)基本過程。由于解題重視的是1b766623ff1ce29c1c97c6c6fb3854d5使用信息和事實(shí)的能力，是解題的思維過程和思維策略，是構(gòu)造算法或模型的設(shè)計(jì)技巧，是把非常規(guī)題變換為常規(guī)題的轉(zhuǎn)化能力，因此數(shù)學(xué)思維貫穿于解題過程的始終。

二、解題過程的三個(gè)階段

數(shù)學(xué)思維理論指出，數(shù)學(xué)解題思維過程是主體以解決數(shù)學(xué)問題為目的，運(yùn)用有關(guān)思維方式或方法達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在的信息加工活動(dòng)。

（一）思維定向

所謂思維定向是指解題開始時(shí)的思維指向，是解題的起點(diǎn)，要求全面正確地理解題意。解題者往往根據(jù)以往的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，采取適當(dāng)?shù)牟呗?，?duì)問題中的各種量進(jìn)行分離和重組，并利用元認(rèn)知的知識(shí)對(duì)所采取的策略進(jìn)行評(píng)價(jià)和修改，從而找出各種量之間實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。

（二）思維展開

所謂思維展開是指在解題過程中，在思維定向的基礎(chǔ)上，選擇思維方式，并進(jìn)行組織和實(shí)施的過程。它的載體是數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)知識(shí)，借助外部操作逐步變換數(shù)學(xué)問題的狀態(tài)，從而獲得數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系。

（三）思維控制

由于思維展開的相對(duì)隨意性和問題答案的確定性有一定的矛盾，加上問題的復(fù)雜性或主體思維的缺陷等主客觀因素，思維展開的過程可能中斷或偏離正確的方向。因此，及時(shí)對(duì)思維定向、思維展開進(jìn)行控制和調(diào)節(jié)是非常必要的。

縱觀思維過程的三個(gè)階段可以看出：思維定向是基礎(chǔ)，思維展開是在定向的基礎(chǔ)上不斷摸索和嘗試的過程，而思維控制則對(duì)整個(gè)解題思維過程起調(diào)控作用，為順利解題提供保障。具體這三個(gè)方面是怎樣相互作用的呢？

三、舉例說明

■

思維展開：在上圖的坐標(biāo)系里設(shè)P1（a，b）、P2（c，d）是平面上不平行于坐標(biāo)軸的兩點(diǎn)，a≠c，b≠d。P（x，y）是直線上任一點(diǎn)，設(shè)■=m，m≠1由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得點(diǎn)坐標(biāo)為x=■，y=■，則OP=■

根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程，可得直線P1 P2的方程為：（b-d）x-（a-c）y+ad-bc=0

再由點(diǎn)到直線的距離公式可以計(jì)算出原點(diǎn)到直線的距離為h=■

思維控制：運(yùn)用直線外一點(diǎn)到直線的距離不大于該點(diǎn)和直線上任一點(diǎn)連線的距離，此不等式得證。

此題的證明過程反映出，思維過程的三個(gè)階段是密不可分的一個(gè)整體。通過思維定向，主體激活了原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與此問題有關(guān)的各種信息，如比較法、綜合法等不等式的證明方法，思維展開時(shí)發(fā)現(xiàn)用常規(guī)的方法不能解決問題。通過思維控制對(duì)問題重新定向，發(fā)現(xiàn)結(jié)論與距離公式、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式有密切聯(lián)系，由此構(gòu)造出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)概念，運(yùn)用常識(shí)使不等式得證。最后將答案有條理地整理出來，反思一下有沒有將此題推廣的可能，使思維向縱深方向發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]任章輝.數(shù)學(xué)思維理論[M].南寧：廣西教育出版社，2001.

[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.