艾青林 徐 冬 張立彬

浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗室，杭州，310014

基于阻抗特性的六足機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性

艾青林 徐 冬 張立彬

浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗室，杭州，310014

針對六足機(jī)器人在崎嶇路面行走時，易受到外力干撓發(fā)生傾覆失穩(wěn)的問題，提出一種考慮外力、重心位置、支撐面傾角、運(yùn)動特性以及機(jī)器人阻抗特性的動態(tài)穩(wěn)定性分析方法。建立機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)和重心求解理論模型，對機(jī)器人的實(shí)時重心與足端位置進(jìn)行求解，將機(jī)器人繞足端支撐邊界的傾翻動作等效為機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，在規(guī)范化能量穩(wěn)定裕度判定方法的基礎(chǔ)上，建立基于阻抗特性的機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型，分析不同因素對機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明，機(jī)器人阻抗特性極大地提高了機(jī)器人的動態(tài)穩(wěn)定性。

六足機(jī)器人；動態(tài)穩(wěn)定性；阻抗特性；能量穩(wěn)定裕度

0 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、衛(wèi)生、娛樂等方面得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。目前，機(jī)器人結(jié)構(gòu)主要包括串聯(lián)式、并聯(lián)式、串并混聯(lián)式[3]。多足機(jī)器人作為串并聯(lián)機(jī)器人，是一個強(qiáng)耦合冗余非線性系統(tǒng)[4]，在行走過程中，機(jī)器人自身穩(wěn)定性是評定機(jī)器人性能的一個重要指標(biāo)[5]。影響機(jī)器人穩(wěn)定性的因素，除了自身結(jié)構(gòu)以外，還包括機(jī)器人步行方式、運(yùn)行速度、外力干擾以及控制誤差等[6]。

多足機(jī)器人各條腿之間協(xié)調(diào)動作，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的步行運(yùn)動，而步態(tài)生成策略則取決于機(jī)器人的步行穩(wěn)定性[7]。目前針對六足機(jī)器人在崎嶇地面上的動態(tài)穩(wěn)定性，主要采用足力穩(wěn)定裕度(foot force stability margin,FFSM)[8-9]、零力矩(zero moment point,ZMP)來判定[10]，然而這些判定方法只考慮了機(jī)器人的足端反力，考慮因素過少，且不能反映機(jī)器人的抗干擾能力。文獻(xiàn)[11-12]采用了改善的規(guī)范化動態(tài)能量穩(wěn)定裕度(normalized dynamic energy stability margin,NDESM)方法，該方法考慮了機(jī)器人運(yùn)行過程中的慣性力、操作力等，但忽略了機(jī)器人的阻抗特性，不能準(zhǔn)確地反映機(jī)器人抵抗外力沖擊的能力。

為了準(zhǔn)確地評定機(jī)器人運(yùn)動穩(wěn)定性與抗干擾能力，本文提出一種考慮自身阻抗特性的六足機(jī)器人能量穩(wěn)定裕度分析方法，并建立了基于阻抗特性的機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型，分析不同因素對機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，解決了機(jī)器人穩(wěn)定性分析中因忽略外力、外力矩、斜面坡度、運(yùn)動特性及自身阻抗特性等因素而存在的穩(wěn)定性判斷失誤問題，為有效地實(shí)現(xiàn)機(jī)器人在復(fù)雜崎嶇地面上動態(tài)穩(wěn)定性控制提供了理論依據(jù)。

1 運(yùn)動學(xué)建模

1.1 實(shí)驗平臺

圖1所示為六足機(jī)器人實(shí)驗平臺，由機(jī)身、控制器、電池、傳感器以及6條腿組成。在機(jī)身上安裝了陀螺儀傳感器GS-12和紅外傳感器，可用于檢測機(jī)身角速度、傾斜程度以及與周圍環(huán)境距離等；每條腿由3個驅(qū)動關(guān)節(jié)組成，各關(guān)節(jié)采用高精密伺服舵機(jī)Dynamixel RX-24F驅(qū)動；機(jī)身為正六邊形，邊長為180 mm，基節(jié)長70 mm，股節(jié)長150 mm，脛節(jié)長135 mm，機(jī)器人重4 kg。

圖1 六足機(jī)器人實(shí)驗平臺Fig.1 The experiment platform of the six-legged robot

1.2 機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)

根據(jù)圖1所示的六足機(jī)器人平臺建立圖2所示的六足機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖，其中，坐標(biāo)系ΣO為世界坐標(biāo)系，與地面固定，坐標(biāo)系OCxCyCzC與機(jī)身固定，坐標(biāo)原點(diǎn)OC位于機(jī)身中心處。

圖2 六足機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The structure diagram of the six-legged robot

式中，cα=cosα,sα=sinα,cβ、sβ、cγ、sγ依此類推；α、β、γ分別為機(jī)器人機(jī)身坐標(biāo)OC在坐標(biāo)系ΣO下的機(jī)身姿態(tài)。

圖3 機(jī)器人單腿D-H模型Fig.3 The D-H model of a leg

已知坐標(biāo)系原點(diǎn)OC在ΣO中的位置OPC為

式中,vx、vy、vz分別為坐標(biāo)系原點(diǎn)OC在坐標(biāo)系ΣO中x、y、z的坐標(biāo)。

求得兩坐標(biāo)之間的齊次變換矩陣:

(1)

同理可求得各相鄰坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣Mij，則機(jī)器人各部分在坐標(biāo)系ΣO位置坐標(biāo)可表示為

M0n=M01·M02·…·M(n-1)n

(2)

1.3 實(shí)時重心求解

由文獻(xiàn)[13]可知，機(jī)器人實(shí)時重心位置是影響機(jī)器人穩(wěn)定性的重要因素，因此當(dāng)腿部質(zhì)量所占比重較大時，進(jìn)行穩(wěn)定性分析需考慮腿部質(zhì)量的影響。為了簡便計算，近似求解機(jī)器人的實(shí)時重心CG，以下推導(dǎo)基于如下假設(shè)：機(jī)器人各部件均為勻質(zhì)材料，即各部件的重心均在其幾何中心上，如圖3所示。

結(jié)合式(1)、式(2)求得機(jī)器人重心CG_th在坐標(biāo)系ΣO中的位置坐標(biāo)：

式中，OCPcg_th為機(jī)身重心在坐標(biāo)系OC中的位置坐標(biāo)。

根據(jù)坐標(biāo)系之間的齊次變換與運(yùn)算方法，同理得出，各部件重心在坐標(biāo)系ΣO中的位置坐標(biāo)：

把上述各部分質(zhì)心坐標(biāo)代入式(3)求得機(jī)器人重心在坐標(biāo)系ΣO的實(shí)時位置：

(3)

式中，M為機(jī)器人總質(zhì)量；mcg_th為機(jī)身質(zhì)量；(xO,yO,zO)為機(jī)身質(zhì)點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的位置；mj、(xj,yj,zj)分別為把所有機(jī)器人所有腿共分成n部分時其中一部分的質(zhì)量，以及質(zhì)點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的位置。

在ADAMS中導(dǎo)入六足機(jī)器人的三維模型，應(yīng)用aggregate mass計算工具求得機(jī)器人的重心坐標(biāo)為CG(-1.6918×10-3，-43.2241，1.4772×10-3)mm，在MATLAB中使用式(3)求得機(jī)器人的重心坐標(biāo)為CG(-1.6989×10-3，-43.2242，1.4706×10-3)mm，兩者結(jié)果相近，驗證了式(3)的正確性。

2 機(jī)器人的穩(wěn)定性理論建模

2.1 機(jī)器人靜態(tài)穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型

機(jī)器人低速步行時，機(jī)器人慣性力、角速度等動能對穩(wěn)定性的影響比較小，為了計算方便，大多數(shù)研究一般忽略機(jī)器人動能對穩(wěn)定性的影響，通過采用機(jī)器人的靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)分析機(jī)器人的穩(wěn)定性。引用文獻(xiàn)[14]中所描述的規(guī)范化能量穩(wěn)定裕度NESM(normalized energy stability margin)方法，即機(jī)器人實(shí)時重心沿各相鄰支撐足所組成的支撐邊界旋轉(zhuǎn)到支撐邊界所在豎直面時重心高度的豎直位移，來分析機(jī)器人在斜面上的靜態(tài)穩(wěn)定性。該方法考慮了機(jī)器人重心位置、斜面坡度，以及支撐足位置對穩(wěn)定性的影響。根據(jù)此方法建立機(jī)器人在斜面上的分析圖，見圖4。

在圖4中，CG(XCG，YCG，ZCG)表示機(jī)器人的實(shí)時重心位置，并設(shè)A(xA，yA，zA)、B(xB，yB，zB)為機(jī)器人相鄰立足點(diǎn)，點(diǎn)O為CG在斜面S上的投影，P(xP，yP，zP)為CG向直線AB作垂線的交點(diǎn)，CG′為CG繞支撐邊界AB旋轉(zhuǎn)所能達(dá)到的最高點(diǎn)，δi為CG繞支撐邊界AB旋轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，φ為斜面坡度，θi為支撐邊界與水平面的夾角，E為重心CG向直線PCG′作垂線的交點(diǎn),fi為各足端所受豎直向上的支撐力。

圖4 六足機(jī)器人在斜面行走示意圖Fig.4 The diagram of the six-legged robot walking on the inclined plane

已知A、B的坐標(biāo)求得直線AB的表達(dá)式為

設(shè)

結(jié)合上述公式求得CG到直線AB的距離：

(4)

設(shè)Z方向的法向量nZ=(0,0,1)，求經(jīng)過直線AB豎直面ABCG′的法向量nABCG′為

nABCG′=(a,b,c)=lAB×nZ=

(5)

已知P、CG兩點(diǎn)坐標(biāo)，由式(4)、式(5)求得

(6)

因此結(jié)合式(4)、式(6)求得

D=Hi-hi=Hi-Hicosδi=Hi(1-cosδi)

(7)

式中，D為點(diǎn)E到點(diǎn)CG′的距離；Hi為重心到直線AB的垂直距離；hi為垂足點(diǎn)E到垂足點(diǎn)P的距離。

根據(jù)以上公式，同理求得直線AB與地面的夾角θi，且0≤θi≤φ。

結(jié)合式(4)，求得以AB為邊界的靜態(tài)穩(wěn)定程度：

ESNEi=Dcosθi=Hi(1-cosδi)cosθi

(8)

根據(jù)穩(wěn)定裕度的概念，取各相鄰支撐邊界的穩(wěn)定程度最小值，即穩(wěn)定裕度

(9)

當(dāng)ESNE>0時，機(jī)器人穩(wěn)定，且ESNE越大表示其抗外界干擾能力越強(qiáng)。

2.2 基于阻抗特性的動態(tài)穩(wěn)定數(shù)學(xué)模型

機(jī)器人本身作為一種機(jī)械裝置，在發(fā)生擺動或翻轉(zhuǎn)時受到一定的阻抗作用[15-16]，且該特性對機(jī)器人的穩(wěn)定性有一定影響，然而上述穩(wěn)定性分析方法只考慮了機(jī)器人的重心位置，不能完全反映各種干擾因素對機(jī)器人穩(wěn)定性的影響，因此根據(jù)上述問題，將六足機(jī)器人繞由足端構(gòu)成的支撐邊界的傾翻動作等效為圖5所示的機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。

圖5 六足機(jī)器人繞邊界等效的機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)示意圖Fig.5 The equivalent diagram of the six-legged robot rotating around the boundary

圖5中,KS、C、Ji分別為虛擬扭轉(zhuǎn)剛度的彈性系數(shù)、阻尼器的黏性阻尼系數(shù)與相對旋轉(zhuǎn)邊界的轉(zhuǎn)動慣量。MTi、ωi分別為重心點(diǎn)以支撐邊界為轉(zhuǎn)軸的合力矩與角速度,其表達(dá)式為

MTi=MTi·eiωi=wi·ei

式中,ei為單位向量，其方向沿支撐多邊形的逆時針方向。

(1)根據(jù)牛頓第二定律可列出機(jī)器人的動力學(xué)微分方程：

(10)

(2)結(jié)合圖4求解機(jī)器人繞邊界旋轉(zhuǎn)的實(shí)時重心處合力矩，即驅(qū)動力矩：

式中，MGi為實(shí)時重心處重力相對旋轉(zhuǎn)邊界產(chǎn)生的力矩；MI為實(shí)時重心處的等效慣性力矩；Mri為著地腳因支撐力產(chǎn)生的力矩；ri為各足端到旋轉(zhuǎn)邊界的距離。

(3)系數(shù)KS、C的測定，由式(10)整理得

(11)

式(11)兩邊進(jìn)行拉氏變換，求得其傳遞函數(shù)為

因此求得

(12)

(13)

式中，TC、TS分別為機(jī)器人受到一個脈沖力時，機(jī)械系統(tǒng)的振動周期與穩(wěn)定時間；ωn為無阻尼自振角頻率。

(4) 求解機(jī)器人考慮外力沖擊干擾和阻抗的能量穩(wěn)定裕度。結(jié)合式(8)求得機(jī)器人繞邊界旋轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)的勢能Ep變化為

設(shè)當(dāng)前時刻重心點(diǎn)以支撐邊界i為轉(zhuǎn)軸時的角速度為ωi0，機(jī)器人發(fā)生翻轉(zhuǎn)時重心點(diǎn)以支撐邊界i為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)的角速度為ωi1。當(dāng)ωi0為正時，機(jī)器人繞邊界旋轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)的動能Ek變化為

當(dāng)ωi0為負(fù)時

假設(shè)機(jī)器人繞邊界旋轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時ωi1=0，則機(jī)器人在當(dāng)前位置因外界干擾而不發(fā)生完全側(cè)翻所能抵抗的能量為

Ei=Epi-Ep0+Eki-Ek0

求得

(14)

定義能量穩(wěn)定裕度ESm：

(15)

根據(jù)能量穩(wěn)定裕度的概念可知，ESm越大，表示機(jī)器人抗外界干擾能力越強(qiáng)。當(dāng)ESm>0時，機(jī)器人穩(wěn)定。

3 機(jī)器人穩(wěn)定性分析

為了分析干擾因素對機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性的影響，在ADAMS中建立圖6a所示的六足機(jī)器人三維模型。初始化條件如下：按機(jī)器人實(shí)驗平臺設(shè)置各零件尺寸及材料屬性，足端與地面之間的靜摩擦因數(shù)為0.6，動摩擦因數(shù)為0.5，機(jī)身離地面高度為220 mm，并在關(guān)節(jié)上添加相應(yīng)的固定約束與旋轉(zhuǎn)驅(qū)動。文中采用典型的三角步態(tài)分析機(jī)器人的穩(wěn)定性，三角步態(tài)是指將機(jī)器人的六條腿分成兩組交替使用的步行模式。各關(guān)節(jié)驅(qū)動的初始方向與初始位置設(shè)置如圖6b所示。圖6中，Li(i=1,2,…,6)代表相應(yīng)的步行腿，Δ135為L1、L3、L5作為支撐腿時，L1、L3、L5足端所形成的支撐面，Δ246為L2、L4、L6作為支撐腿時，L2、L4、L6所形成的支撐面，v為機(jī)器人行走方向，圖6b中弧形黑色箭頭表示旋轉(zhuǎn)驅(qū)動的方向。

(a)機(jī)器人ADAMS三維模型

(b)機(jī)器人驅(qū)動初始方向與關(guān)節(jié)初始位置圖6 機(jī)器人三角步態(tài)模型Fig.6 Tripod gait model of the robot

3.1 阻尼系數(shù)C、剛度KS的測定

圖7所示為機(jī)器人模型分別保持三足支撐、四足支撐、五足支撐與六足支撐時支撐足端位置分布。圖8為機(jī)器人保持上述不同支撐狀態(tài)下，施加一個脈沖力時，機(jī)器人重心在X方向上的振動曲線，由此得到當(dāng)機(jī)器人支撐足數(shù)不同時的振動周期TC和穩(wěn)定時間TS結(jié)果如表1所示。

圖7 支撐腿足端位置分布Fig.7 Arrangement of supporting legs

從表1中可知，當(dāng)機(jī)器人支撐足數(shù)不同時，機(jī)器人的振動周期與穩(wěn)定時間發(fā)生改變，即相應(yīng)的阻尼系數(shù)與剛度系數(shù)發(fā)生變化，因此當(dāng)機(jī)器人采用不同行走步態(tài)時需采用相應(yīng)的阻抗系數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定分析。

(a)三足支撐 (b)四足支撐

(c)五足支撐 (d)六足支撐圖8 機(jī)器人在X方向的振蕩曲線Fig.8 The curve of the oscillation of the robot in the X direction

三足支撐四足支撐五足支撐六足支撐振動周期TC0.260.240.210.17穩(wěn)定時間TS1.561.241.050.71

以三足支撐為例，通過MATLAB求解機(jī)器人三角支撐面Δ135、Δ246的邊界為轉(zhuǎn)軸時所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量：J13=0.213 kg·m2，J15=0.532 kg·m2，J35=0.213 kg·m2；J24=0.532 kg·m2，J26=0.213 kg·m2，J46=0.213 kg·m2。因此據(jù)式(12)和式(13)求得：阻尼系數(shù)C13=C35=C26=C46=1.0923 N·s/rad，C15=C24=2.7282 N·s/rad，剛度系數(shù)KS13=KS35=KS26=KS46=3.1509 N/rad，KS15=KS24=7.8698 N·s/rad。其中Jik、Cik、KSik的下標(biāo)代表第Li和第Lk支撐足。同理可求機(jī)器人處于其他多足支撐時，其支撐邊界所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量、阻尼系數(shù)與剛度系數(shù)。

3.2 穩(wěn)定性影響因素

以下六足機(jī)器人穩(wěn)定性分析都采用同一三角步態(tài)，仿真時間設(shè)為13 s，步行時各關(guān)節(jié)角度的時序圖見圖9，機(jī)器人步態(tài)時序圖見圖10，黑色方框代表支撐時間。

(a)所有腿的偏航關(guān)節(jié)角度時序圖

(b)腿L1、L3、L5的俯仰關(guān)節(jié)角度時序圖

(c)腿L2、L4、L6的俯仰關(guān)節(jié)角度時序圖圖9 各關(guān)節(jié)隨時間的角度變化Fig.9 The variation of each joint angle over time

圖10 步態(tài)時序圖Fig.10 The sequence chart of gait

3.2.1足端邊界對穩(wěn)定性的影響

機(jī)器人在水平面采用上述步態(tài)運(yùn)動時，支撐面作為支撐相驅(qū)動機(jī)器人向前運(yùn)動的過程中，支撐邊界相對支撐面不移動，而重心在支撐面的投影隨機(jī)器人一起前移，即式(8)中對應(yīng)的δi角發(fā)生變化。根據(jù)式(8)，機(jī)器人各支撐邊界的靜態(tài)穩(wěn)定程度曲線如圖11所示，圖中，ESNEik表示由支撐足Li和支撐足Lk組成的支撐邊界所對應(yīng)的靜態(tài)穩(wěn)定程度。由圖可見，ESNE15和ESNE24遠(yuǎn)大于ESNE13、ESNE35、ESNE26和ESNE46，即機(jī)器人在水平面抵抗同側(cè)邊界偏倒的穩(wěn)定程度遠(yuǎn)大于對角邊界偏倒的穩(wěn)定程度。其中，機(jī)器人足端組成的同側(cè)邊界穩(wěn)定程度平均值比對角邊界穩(wěn)定程度平均值大503.02%。

圖11 水平面各足端邊界的靜態(tài)穩(wěn)定程度(坡度0°)Fig.11 The static stable quantity of boundary of each foot end in the horizontal plane with the gradient of 0°

3.2.2阻抗特性與運(yùn)動特性對穩(wěn)定性的影響

當(dāng)機(jī)器人在水平面上行走時，只考慮阻尼和剛度，而忽略實(shí)時重心處角速度、力矩及機(jī)器人相對支撐邊界的轉(zhuǎn)動慣量，則

(16)

忽略阻尼和剛度，而考慮實(shí)時重心處角速度、力矩及機(jī)器人相對支撐邊界的轉(zhuǎn)動慣量,則

(17)

根據(jù)式(9)、式(16)與式(17)，分別得出機(jī)器人不同時刻的靜態(tài)能量穩(wěn)定裕度曲線ESNE(點(diǎn)劃線)、動態(tài)能量穩(wěn)定裕度曲線ESm1(虛線)和動態(tài)能量穩(wěn)定裕度曲線ESm2(實(shí)線)，如圖12所示。從圖12中可以看出，當(dāng)機(jī)器人整體穩(wěn)定性只考慮受到剛度和阻尼的影響時，機(jī)器人能量穩(wěn)定裕度值ESm1比靜態(tài)能量穩(wěn)定裕度值ESNE大很多，ESm1最小值相比ESNE增大116%，證明機(jī)器人的阻抗特性有益于提高機(jī)器人的穩(wěn)定性。

從圖12中也可以看出，當(dāng)不考慮阻尼和剛度時，曲線ESm2在0.2 s、0.8 s、1.2 s、2.3 s等時刻點(diǎn)附近發(fā)生明顯跳躍， 由于此時剛好為偏航關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)驅(qū)動的啟動或制動時間點(diǎn)，同時騰空足向上運(yùn)動，導(dǎo)致機(jī)器人慣性力矩突然變化，致使機(jī)器人穩(wěn)定性急劇變化。并且ESm2最小值相對靜態(tài)能量穩(wěn)定裕度最小值降低了49.57%。

圖12 水平面考慮不同因素時的能量穩(wěn)定裕度(坡度0°)Fig.12 The energy stability margin considering different factors in the horizontal plane with the gradient of 0°

3.2.3斜面坡度對穩(wěn)定性的影響

根據(jù)式(9)和式(15)，分別得出機(jī)器人在傾斜角為0°、5°、10°、15°和20°的斜坡上步行時的能量穩(wěn)定裕度變化曲線如圖13所示。

(a)坡度為0°的能量穩(wěn)定裕度

(b)坡度為5°的能量穩(wěn)定裕度

(c)坡度為10°的能量穩(wěn)定裕度

(d)坡度為15°的能量穩(wěn)定裕度

(e)坡度為20°的能量穩(wěn)定裕度圖13 機(jī)器人在不同坡度時的能量穩(wěn)定裕度Fig.13 Energy stability margin with the different angle of gradient

從圖13中可以看出，機(jī)器人在步行過程中，機(jī)器人能量穩(wěn)定裕度在一個支撐相周期內(nèi)波形隨坡度改變。取支撐面Δ246為分析對象，令邊界26與邊界46對應(yīng)的δi角分別為δ26(t)和δ46(t)，設(shè)δ26(t0)和δ46(t0)為支撐相周期起始位置的δi角。由于機(jī)器人機(jī)身始終與斜面保持平行，因此δ46(t0)隨著斜面傾角增大而減?。沪?6(t0) 隨著斜面傾角增大而增大，如圖14所示。

從圖13中可以看出，ESm最小值相對ESNE最小值在傾斜角為0°、5°、10°和15°的斜坡上步行時分別增大了90.60%、89.21%、83.27%和41.64%。并且隨著坡度的變化，機(jī)器人步行時能量穩(wěn)定裕度發(fā)生明顯變化；坡度越大時，機(jī)器人能量穩(wěn)定裕度越小。坡度為5°與坡度為0°的ESm最小值相比減小了39.81%；坡度為10°與坡度為0°的ESm最小值相比減小了74.89%；坡度為15°與坡度為0°的ESm最小值相比減小了94.77%。

從圖13e中也可以看出，當(dāng)機(jī)器人處于傾斜角為20°的斜坡上步行時，由靜態(tài)穩(wěn)定裕度計算得出，ESNE最小值接近于0，表明機(jī)器人處于ESNE臨界穩(wěn)定狀態(tài)；而由動態(tài)穩(wěn)定裕度計算得出，在一些時間段內(nèi)ESm小于0，表明機(jī)器人處于失穩(wěn)狀態(tài)，易發(fā)生傾覆。而機(jī)器人在ADAMS中仿真的結(jié)果表明，機(jī)器人在20°斜坡上步行時，已經(jīng)發(fā)生了傾覆，如圖15所示。因此，證明機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定裕度(ESm)計算方法作為機(jī)器人穩(wěn)定性判據(jù)的準(zhǔn)確性優(yōu)于常規(guī)靜態(tài)穩(wěn)定裕度(ESNE)計算方法。

圖15 當(dāng)ESm<0時，機(jī)器人發(fā)生傾覆動作Fig.15 The tilting action of the robot happened when ESm<0

4 試驗與仿真對比

圖16為仿真得出的機(jī)器人在傾斜角為18.5°的斜坡上步行時的動態(tài)能量穩(wěn)定裕度ESm曲線，可以看出機(jī)器人在一些時間段內(nèi)ESm接近0，說明此時機(jī)器人處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

圖16 坡度為18.5°時的臨界穩(wěn)定狀態(tài)Fig.16 The critical stable state at the gradient of 18.5°

為了進(jìn)一步驗證機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性評定方法的準(zhǔn)確性，對六足機(jī)器人進(jìn)行試驗驗證。試驗中將機(jī)器人放在傾斜角度可調(diào)的平板上，測試不同坡度對六足機(jī)器人運(yùn)行穩(wěn)定性的影響。

試驗中機(jī)器人的初始狀態(tài)和驅(qū)動參數(shù)與仿真實(shí)驗相同，通過試驗觀察可知，當(dāng)機(jī)器人在18°斜坡上步行時，在0～1 s時間段內(nèi)，機(jī)器人運(yùn)行穩(wěn)定，如圖17a、圖17b、圖17c所示，而運(yùn)行到1.5 s時，L1、L3、L5作為支撐腿，但此時L1發(fā)生騰空，機(jī)器人發(fā)生傾覆現(xiàn)象，如圖17d所示。由此可知，試驗結(jié)果與仿真結(jié)果非常接近，證明了動態(tài)穩(wěn)定裕度(ESm)作為機(jī)器人穩(wěn)定性判據(jù)的有效性。

5 結(jié)論

(1)以六足機(jī)器人平臺作為研究對象，建立了基于阻抗特性的機(jī)器人動態(tài)穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型，全面地考慮了阻抗、重心位置、外力、慣性力等因素對穩(wěn)定性的影響。

(a)t=0 (b)t=0.5 s

(c)t=1 s (d)t=1.5 s圖17 坡度為18°時的步行試驗Fig.17 The walking experiment at the gradient of 18°

(2)機(jī)器人在水平面行走過程中，通過對比分析機(jī)器人不同支撐邊界的穩(wěn)定程度，得出由足端組成的同側(cè)邊界穩(wěn)定程度遠(yuǎn)大于對角邊界穩(wěn)定程度。其中，機(jī)器人足端組成的同側(cè)邊界穩(wěn)定程度平均值比對角邊界穩(wěn)定程度平均值大503.02%。

(3)建立了基于阻抗特性的能量穩(wěn)定裕度方程，對機(jī)器人進(jìn)行步行穩(wěn)定性分析得知，機(jī)器人在水平面上考慮基于阻抗特性的能量穩(wěn)定裕度(ESm)最小值與靜態(tài)能量穩(wěn)定裕度(ESNE)最小值相比增大了116%，即機(jī)器人自身阻抗有益于改善機(jī)器人的穩(wěn)定性。

(4)對比分析了不同斜面上機(jī)器人的動態(tài)能量穩(wěn)定裕度(ESm)，當(dāng)斜面坡度為5°、10°、15°時，ESm相對水平面時的ESm分別減小了39.81%、74.89%、94.77%，說明坡度越大，機(jī)器人運(yùn)動穩(wěn)定性越差，機(jī)器人穩(wěn)定性降低得越快。最后通過試驗與仿真對比分析，證明了動態(tài)穩(wěn)定裕度(ESm)作為機(jī)器人穩(wěn)定性判據(jù)的有效性。

在本文中，對機(jī)器人的穩(wěn)定性進(jìn)行分析時，未分析非平坦地形、非結(jié)構(gòu)化地形、地面摩擦等因素對穩(wěn)定性的影響，在后續(xù)研究中將分析這些因素對穩(wěn)定性的影響，優(yōu)化機(jī)器人的行走穩(wěn)定性。

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HexapodRobotDynamicStabilityBasedonImpedanceCharacteristics

AI Qinglin XU Dong ZHANG Libin

Key Laboratory of E&M,Ministry of Education & Zhejiang Province,Zhejiang University of Technology,Hangzhou,310014

The hexapod robot might be instability when acted by an external force walking on the rough roads. To overcome this problem, a dynamic stability analysis method considering the external forces, the positions of the center of gravity, the dip angles of the bearing surfaces and the impedance characteristics of the robot were introduced. The theoretical model of the forward kinematics and the gravity of the robot were made to calculate the timely gravity centers of the robot and the positions of the footend. In order to simplify the calculation processes, the tip-over motion around the supported line was equivalent to mechanical rotation system. On the basis of the normalized energy stability margin, based on the impedance characteristics the dynamic stability model of the robots was presented to analyze the effect law of the different elements on the dynamic stability of the robots. The results show that the impedance characteristics of the robots improve the dynamic stability of the robots tremendously.

hexapod robot; dynamic stability; impedance characteristic; energy stability margin

2016-12-30

NSFC-浙江兩化融合聯(lián)合基金資助項目(U1509212)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51275470)；浙江省高等學(xué)校中青年學(xué)科帶頭人學(xué)術(shù)攀登項目(pd2013019)

TP242

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.014

(編輯王艷麗)

艾青林，男，1976年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向為多足機(jī)器人控制技術(shù)、鋼帶并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)、建筑鋼結(jié)構(gòu)探傷機(jī)器人技術(shù)等。發(fā)表論文50余篇。授權(quán)專利30余項。E-mail：aqlaql@163.com。徐冬，男，1990年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。張立彬，男，1955年生。浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。