本刊記者 張方方

佩雷爾曼的數(shù)學(xué)邊界

本刊記者 張方方

佩雷爾曼

難倒世界的龐加萊猜想

1904年，法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學(xué)猜想：任何一個單連通的、閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。

一個“閉的三維流形”就是一個封閉的三維球面；“單連通”就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)收縮成一點。當(dāng)一個封閉的三維球面同時具有單連通的特點，將會意味著什么？打個比方，假如用一條橡皮帶去勒住一個充滿氣的氣球，既不能把橡皮帶扯斷，也不讓它離開氣球表面，慢慢地，這條橡皮帶會把氣球勒成葫蘆形狀，最終在這個“葫蘆”的中心位置勒成一個點。但同樣的狀況放到輪胎面上，在不扯斷橡皮帶或者輪胎面的情況下，不管從哪個角度下手，也沒辦法把它縮到一個點上。此時，氣球是單連通的，而輪胎不是。也就是說，如果曲面上所有的封閉曲線都能在這個曲面上逐漸縮成一個點，那么曲面必為拓撲球面。

這套邏輯沒毛病，但龐加萊猜想的證明過程向世界數(shù)學(xué)界宣告了它沒有那么簡單。除了龐加萊本人，英國數(shù)學(xué)家懷特海、希臘數(shù)學(xué)家帕帕奇拉克普羅斯……一跟頭栽到這個猜想上的數(shù)學(xué)家們實在太多了。直到上世紀(jì)60年代，美國數(shù)學(xué)家斯梅爾建議在更高維度上去解決龐加萊猜想，才使其證明進程前進了一大步。1966年，斯梅爾因?qū)嫾尤R猜想五維空間及五維以上的證明獲得菲爾茲獎；1986年，美國數(shù)學(xué)家福里德曼因證明了四維流形拓撲的龐加萊猜想獲得菲爾茲獎。但三維龐加萊猜想，沒有任何進展。

到這里為止，數(shù)學(xué)家們所采取的幾乎還都是拓撲學(xué)方法。對龐加萊猜想來說，一入拓撲深似海，隨時可能會“沉船”，且長期“打撈”不上來。為什么不換一個工具試試呢？其實是有的。美國數(shù)學(xué)家瑟斯頓就引入了幾何結(jié)構(gòu)對三維流形進行切割，并因此得到1983年菲爾茲獎的青睞。而另一位菲爾茲獎獲得者丘成桐，更看好瑞奇(Ricci)流在龐加萊猜想上的前景。然而，這些努力，也依然沒能取得實質(zhì)性的進展。

為什么這么多數(shù)學(xué)家前赴后繼地奔走在龐加萊猜想上？牛津大學(xué)教授馬庫斯·索托的話或者能夠說明一些問題。他認為，“這是一個重要的數(shù)學(xué)和物理難題，因為它探討的是宇宙應(yīng)該是什么形狀的”。沒有一個數(shù)學(xué)家能夠拒絕對這個宏大命題的好奇心。

2000年5月24日，美國克雷數(shù)學(xué)研究所發(fā)出一道“懸賞令”，以單項100萬美元的獎金懸賞7項“千年難題”。龐加萊猜想名列榜上，與P(多項式算法)問題對NP(非多項式算法)問題、霍奇猜想、黎曼假設(shè)、楊—米爾斯存在性和質(zhì)量缺口、納維葉—斯托克斯方程的存在性與光滑性、貝赫和斯維訥通—戴爾猜想一起，成為名揚世界的七大數(shù)學(xué)難題。沉醉于龐加萊猜想中的數(shù)學(xué)家們，也希望能有更多人投入到對猜想的證明中，以解決困擾了數(shù)學(xué)界近1個世紀(jì)的疑惑。

2002年11月到2003年7月，俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在一家專門刊登數(shù)學(xué)和物理論文的網(wǎng)站上連續(xù)貼出了3篇論文，聲稱已經(jīng)“勾勒了對這一猜想的綜合證明的框架”。

這些文章在學(xué)術(shù)界引起了轟動，但沒有一個人敢斷定這些工作是千真萬確的。如何判斷并證實？看起來還有許多工作要去做，佩雷爾曼卻“任性”地退隱了，似乎解出了這道題之后，剩下的事就與他無關(guān)了?！拔乙呀?jīng)發(fā)表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了。”佩雷爾曼說。

鮮少有人能拒絕這枚來自菲爾茲獎的獎?wù)?/p>

“我從來沒有想成為唯一破解者”

佩雷爾曼在證明龐加萊猜想時，采用的也是Ricci流。

R i c c i流是以意大利數(shù)學(xué)家里奇（Gregorio Ricci）命名的一個方程，該理論由漢密爾頓在1982年建立。該理論認為，如果在流形上給定一個度量，再用Ricci流發(fā)展方程加以改進，流形的曲率也隨之伸展。丘成桐認為，利用這個結(jié)果可以完成一系列的拓撲手術(shù)，以構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形，從而解決三維龐加萊猜想。但是，在使用Ricci流進行空間變換時，總會出現(xiàn)無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關(guān)鍵。借鑒丘成桐、李偉光在非線性微分方程上的工作，1993年，漢密爾頓發(fā)表了一篇關(guān)于理解奇點的重要論文，并在隨后的幾年中逐漸提出一些關(guān)于證明龐加萊猜想的想法。

與此同時，身在俄國的佩雷爾曼也十分認同Ricci流在證明龐加萊猜想上的關(guān)鍵性作用。他認為，漢密爾頓的工作遇到了瓶頸，而他本人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了解決問題的出路。

2002年11月，佩雷爾曼在網(wǎng)站上張貼了他的第一篇文章，并將文章摘要以電郵發(fā)送給一些數(shù)學(xué)家，包括漢密爾頓、田剛和丘成桐等。2003年4月起，佩雷爾曼應(yīng)邀在美國進行巡回演講。到2003年7月，他的后兩篇文章在網(wǎng)上公布。證明龐加萊猜想，讓佩雷爾曼很快曝光于公眾視野，但他似乎并不喜歡與媒體打交道，即使是《自然》《科學(xué)》這樣聲名顯赫的雜志采訪，他也不為所動。2004年，他任職的斯杰克洛夫數(shù)學(xué)研究所推薦他當(dāng)選俄羅斯科學(xué)院院士，他拒絕了；2005年，他干脆辭掉了在斯杰克洛夫數(shù)學(xué)研究所的職位，退隱江湖，不知所蹤。期間，他不曾對自己的工作論證問題發(fā)表過意見，用他的話說，“人們需要時間去適應(yīng)這個有名的問題不再是猜想這樣一個事實”，而他不能去影響這個過程。

于是，大神揮手自茲去，只留下全世界的數(shù)學(xué)家們一字一句地梳理他的論文，填補細節(jié)，尋找漏洞，苦心孤詣地驗證這項工作正確與否，盡管這些驗證也關(guān)系到佩雷爾曼是否能夠拿到千禧年大獎的百萬美元獎金。最終，中山大學(xué)數(shù)學(xué)教授朱熹平和另一位華人數(shù)學(xué)家曹懷東第一次成功處理了猜想中“奇異點”的難題，給出了龐加萊猜想的完全證明。等到國際數(shù)學(xué)界終于就此達成共識，已經(jīng)是2006年。這一年，佩雷爾曼剛好40歲。

此前，曾經(jīng)有兩位數(shù)學(xué)家因為證明高維龐加萊猜想獲得菲爾茲獎。而三維龐加萊猜想是百余年來懸在國際數(shù)學(xué)界頭頂?shù)倪_摩克利斯之劍，它的封頂，讓佩雷爾曼成為2006年菲爾茲獎的最大熱門。作為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎，菲爾茲獎更注重獎勵年輕數(shù)學(xué)家。按照規(guī)定，這一屆的的獲獎人在2006年1月1日應(yīng)該未滿40歲。佩雷爾曼出生于1966年6月13日，恰巧在菲爾茲獎的年齡門檻上。

2006年8月22日，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會在西班牙首都馬德里舉行，國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會（IMU）公布了4位菲爾茲獎獲得者，佩雷爾曼果然名列其中。但是，當(dāng)西班牙國王卡洛斯一世在3000名世界一流的數(shù)學(xué)家面前，為獲獎?wù)哳C發(fā)獎?wù)聲r，佩雷爾曼缺席了。

傳說，國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟主席John Ball曾秘密拜訪佩雷爾曼，他唯一的目的就是說服佩雷爾曼接受將在8月份國際數(shù)學(xué)家大會上頒發(fā)的菲爾茲獎。誰都知道這是數(shù)學(xué)界的最高榮譽，此前共有44位數(shù)學(xué)家獲此殊榮，沒有人拒絕過接受這個榮譽。然而面對Ball的勸說，佩雷爾曼的回答只是“我拒絕”。他解釋說：“如果我的證明是正確的，別種方式的承認是不必要的?！?/p>

同年年底，《科學(xué)》雜志為龐加萊猜想蓋棺定論，將之選入“2006年十大科學(xué)進展”，并指出：“俄羅斯人佩雷爾曼給出的龐加萊猜想證明至少是10年內(nèi)最大的突破。而其他人卻花了這10年中相當(dāng)多的時間來證明他的結(jié)論。佩雷爾曼解決了數(shù)學(xué)界最令人肅然起敬的問題之一?！?/p>

之后，輪到克雷數(shù)學(xué)研究所糾結(jié)了。按理說，龐加萊猜想得到證明，證明人獲得百萬美元的懸賞獎金，是一件自然而然的事?？捎龅脚謇谞柭?，偏偏就出了岔子。按照千禧年數(shù)學(xué)大獎的立項規(guī)定，獲獎?wù)弑仨氃跈?quán)威數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表論文，但顯然，佩雷爾曼認為在網(wǎng)站上公而告之以后就大功告成了，甚至連獲得菲爾茲獎的消息都不能把他吸引出來。哪怕有人提醒他，在網(wǎng)上隨便發(fā)表如此重要的問題解答論文可能會帶來風(fēng)險，假如證明過程有紕漏也許會令他蒙羞，甚至被他人糾正而失去成果的優(yōu)先權(quán)?！叭绻义e了而有人利用我的工作給出正確的證明，我會很高興。我從來沒有想成為龐加萊猜想的唯一破解者。”

無論如何，2010年3月18日，克雷數(shù)學(xué)研究所還是對外公布，千禧年數(shù)學(xué)大獎有了第一位獲獎人——佩雷爾曼。十余名世界級的數(shù)學(xué)家在巴黎為佩雷爾曼頒發(fā)千禧數(shù)學(xué)獎，他們中的多數(shù)人從未與佩雷爾曼謀面或是有任何接觸。更重要的是，佩雷爾曼本人依然沒有到場。

大獎于他如浮云

“NO先生”佩雷爾曼

佩雷爾曼不是從龐加萊猜想開始說“NO”的。

早在1982年，16歲的佩雷爾曼就在國際代數(shù)和幾何奧林匹克競賽中拿到了金獎，甚至創(chuàng)造了有史以來的最高分——42分，這項比賽的滿分。獲獎1個月后，美國耶魯大學(xué)向他遞出了橄欖枝，他們看好這位數(shù)學(xué)神童的潛力，為他提供了豐厚的獎學(xué)金，但佩雷爾曼表示對赴美深造沒有什么興趣。

1993年，佩雷爾曼解決了數(shù)學(xué)上一個長期存在的問題——“靈魂猜想”。靈魂猜想是美國紐約大學(xué)庫朗數(shù)學(xué)研究所的杰夫·齊杰教授與另一位數(shù)學(xué)家共同提出的，他們在研究非緊非負曲率的黎曼流形中發(fā)現(xiàn)，所有的拓撲信息都包含在一個緊集合上，這個集合被命名為soul（靈魂）。靈魂猜想認為，如果上述流形在某一點的曲率是嚴(yán)格的，那么此時的流形同胚于歐氏空間。20年來，很多人寫了長篇大論來分析這一問題，但僅僅只能做出部分證明。佩雷爾曼則做了一個能夠讓所有人驚訝不已的完整證明——而且，他只用了4頁紙！這讓佩雷爾曼一舉成為數(shù)學(xué)界的年輕明星。這一年，他才27歲。

3年后，因為包括靈魂猜想在內(nèi)的一系列漂亮的工作，歐洲數(shù)學(xué)協(xié)會決定授予佩雷爾曼杰出青年數(shù)學(xué)家獎。該獎項四年一度，只頒發(fā)給32歲以下的數(shù)學(xué)家，是歐洲的頂級數(shù)學(xué)獎。但當(dāng)杰出青年數(shù)學(xué)家獎?wù)业脚謇谞柭鼤r，他只是輕描淡寫地回復(fù)“我暫時不需要這些”。至今，佩雷爾曼還是該獎項史上唯一一個拒絕領(lǐng)獎的獲獎?wù)摺?/p>

事實上，佩雷爾曼不感興趣的不只是飛來的榮譽和橫財。上世紀(jì)90年代初，因?qū)懗隽藥灼浅Ｓ性瓌?chuàng)性的論文，佩雷爾曼受邀在國際數(shù)學(xué)家大會作報告。他的成就引起了美國數(shù)學(xué)界的關(guān)注。隨即，加州大學(xué)伯克利分校、斯坦福大學(xué)、麻省理工學(xué)院、普林斯頓大學(xué)等一批著名學(xué)府都對他發(fā)出了高薪任教邀請，但他選擇了在1995年夏天回到圣彼得堡。從此悄然隱身，直到8年后，突然在互聯(lián)網(wǎng)上張貼出龐加萊猜想的證明。

而2003年發(fā)表龐加萊猜想的證明，并不意味著佩雷爾曼重出江湖，相反他再次從人們視野中消失了。據(jù)說，他和母親一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且這個猶太人家庭很少對外開放。除了定時光顧離家不遠的一個副食商店外，他基本不離開自己的家。

這家副食商店商品檢驗員奧麗加·明茨和塔季揚娜·波里亞科娃在接受采訪時曾詳細描述過佩雷爾曼的狀態(tài)——多年來，佩雷爾曼總是在同一個時間來商店，穿一身黑色的衣服，留著長長的頭發(fā)和長長的指甲，他買的東西也基本沒有改變過：一個黑面包，一包通心粉，比菲多克牌和比菲來弗牌酸奶。水果部那邊他幾乎都不過去，進口蘋果和橙子他似乎買不起。他也不買酒水和其他多余的東西?？傊?，“只買那些很便宜又好做的簡單食品”。

那么，是因為付不起路費才不去領(lǐng)獎嗎？外界不知道的是，數(shù)學(xué)家大會組委會其實會為他支付一切相關(guān)費用，不需要他去考慮“成本”。不管怎樣，一再拒絕領(lǐng)獎和數(shù)年的隱居生活，圍繞著佩雷爾曼產(chǎn)生了不少的流言，這一名聲甚至超越了他的數(shù)學(xué)成就。埃及《金字塔周刊》中一篇題為“佩雷爾曼：最聰明的數(shù)學(xué)家”的文章居然認為，只有金字塔設(shè)計者的后裔，才有可能破解龐加萊猜想這一百年謎題。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)界，佩雷爾曼依然是最受尊敬的人物。如同英國廣播公司（BBC）評價的，他破解了龐加萊猜想，“是數(shù)學(xué)發(fā)展，也是人類思想發(fā)展的里程碑”。英國曾經(jīng)評選出十位數(shù)學(xué)天才，認為他們的革命性發(fā)現(xiàn)改變著我們的世界，佩雷爾曼榜上有名。

數(shù)學(xué)家的邊界

《可能與不可能的邊界：P/N P問題趣史》中寫到過心理學(xué)家對數(shù)學(xué)家做的一個實驗。實驗開始時，心理學(xué)家把一個數(shù)學(xué)家關(guān)進了一個小木屋里，地上放一些引火物、一張桌子，桌子上有一桶水。然后心理學(xué)家點著了地上的引火物。數(shù)學(xué)家提起桌上的水桶把火撲滅了。

好，一切正常。當(dāng)心理學(xué)家進行二次實驗時，做了一個改變，把桌上的水桶放到了靠近引火物的地上。這一次，當(dāng)心理學(xué)家點火后，數(shù)學(xué)家的舉動令人瞠目張舌，他提起水桶，放回到桌上，等待。實驗的結(jié)局是，心理學(xué)家和同事們好不容易才把數(shù)學(xué)家從即將燒塌的小木屋里救出來。

“為什么不像上次一樣把火撲滅？”面對心理學(xué)家的發(fā)問，數(shù)學(xué)家回答：“我已把問題歸結(jié)到1個之前解決過的情形?！?/p>

這個回答，也是佩雷爾曼的邊界。在他的生活里，只分為已經(jīng)被證明過和未被證明過的數(shù)學(xué)題，而他只對后者全力以赴。

2003年春季，佩雷爾曼應(yīng)邀在紐約大學(xué)柯朗研究所演講時，報告廳里擠滿了記者和慕名而來的非專業(yè)聽眾。這讓佩雷爾曼演講的熱情大打折扣，他拒絕回答記者提出的“有何應(yīng)用”的問題，并大聲制止為他拍照的企圖，他敏感地認為自己說的任何事情都不可能引起公眾一絲一毫的興趣，而他們有興趣的問題，他又不想說?！拔也辉敢庹f是因為我很看重自己的隱私，或者說我就是想隱瞞我做的任何事情。這里沒有頂級機密，我只不過認為公眾對我沒有興趣?！迸謇谞柭f。

佩雷爾曼這種看起來“孤僻”的性格來源于他的成長環(huán)境。他的父親雅科夫·佩雷爾曼曾著有《趣味物理》叢書，母親是一位數(shù)學(xué)家。耳濡目染之下，佩雷爾曼從考入列寧格勒第239中學(xué)開始，就已經(jīng)可以稱得上是個數(shù)學(xué)家了，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為了他的生活方式。他沉默寡言、彬彬有禮，幾乎沒有朋友，因為如果想與他交朋友，首先要能夠聽明白他要和你討論什么，這對其他學(xué)生而言相當(dāng)有難度。而后，他免試進入了列寧格勒國立大學(xué)數(shù)學(xué)和力學(xué)系，成為學(xué)校中的天才優(yōu)等生，并且拿到了列寧獎學(xué)金。大學(xué)畢業(yè)后，他考入斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所列寧格勒分部的研究生班，師從著名的亞力山德羅夫院士。故事到這里，可能還只是一個天才數(shù)學(xué)少年在成長道路上“曲高人和寡”。真正的轉(zhuǎn)折在于，隨著前蘇聯(lián)的解體，大批在俄羅斯的猶太人遷往以色列，佩雷爾曼的父親固執(zhí)地選擇要離開，而母親卻堅決選擇留下，同樣留下來的還有佩雷爾曼。家庭的分崩離析對佩雷爾曼造成了巨大的影響，從此他的世界越發(fā)只有數(shù)學(xué)。這種性格或許讓他看起來不像是生活在這個世界的人，但也讓他保持了一顆純粹的赤子之心。

因為純粹，他拒絕炫耀浮華和過度崇拜，并將這一點發(fā)揮到極致。牛津大學(xué)數(shù)學(xué)歷史學(xué)家杰里米·格雷說：“我從未見過他出席某個頒獎禮，然后在加長轎車上向觀眾揮動著支票。這不是他的性格?！?/p>

或者正如同行們感受到的，大獎只是數(shù)學(xué)界檢驗他理論的工具，還是一個他本人不甚在意的工具，他需要的從來不是獎賞、職位和金錢，而是數(shù)學(xué)。學(xué)術(shù)界甚至流傳著各種版本的玩笑，有人說也許在圣彼得堡擁有100萬美元是件很危險的事情，也有人說他寧可在圣彼得堡附近的森林里找蘑菇。

美國《紐約時報》的一篇報道，開頭就是“佩雷爾曼，你在哪里？”佩雷爾曼本人也許根本看不到這篇報道。在這位疏離于數(shù)學(xué)界的數(shù)學(xué)家邊界里，除了解決數(shù)學(xué)問題，其他的一切都是膚淺的。等到他再次引起轟動時，也許又一項難題被解決了。