喬霞， 藺富明

(四川理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 四川自貢643000)

一種計(jì)算金融風(fēng)險(xiǎn)在險(xiǎn)價(jià)值的新方法

喬霞， 藺富明

(四川理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 四川自貢643000)

如何計(jì)算金融風(fēng)險(xiǎn)度量的在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)和預(yù)期不足(ES)一直是業(yè)界、學(xué)術(shù)界關(guān)心的課題?；诜治粩?shù)的辦法計(jì)算在險(xiǎn)價(jià)值(簡(jiǎn)稱QVaR)直觀易于理解，但也有非常大的缺陷：QVaR度量只關(guān)注下方風(fēng)險(xiǎn)，即只給出一個(gè)損失的分位數(shù)，并未給出具體損失程度，而且對(duì)尾部極端風(fēng)險(xiǎn)不敏感。研究表明預(yù)期不足對(duì)尾部極端風(fēng)險(xiǎn)非常敏感而且給出了尾部損失的具體值，但預(yù)期不足不象在險(xiǎn)價(jià)值那么易于理解和便于業(yè)界使用。針對(duì)上述問(wèn)題，提出了一種基于2.5次冪期望分位數(shù)計(jì)算在險(xiǎn)價(jià)值的方法(簡(jiǎn)稱GEVaR)，核心是將非對(duì)稱最小二乘法的2次冪改為2.5次冪，其定義與傳統(tǒng)的期望分位數(shù)類似。研究表明一些情形下GEVaR對(duì)尾部極端風(fēng)險(xiǎn)的敏感性與ES相當(dāng)。

金融風(fēng)險(xiǎn)度量；VaR；ES；k次冪期望分位數(shù)

引言

金融風(fēng)險(xiǎn)度量與管理一直是是金融管理機(jī)構(gòu)和金融企業(yè)非常關(guān)心的核心問(wèn)題。本文主要關(guān)注金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。較早的金融風(fēng)險(xiǎn)度量有靈敏度方法、波動(dòng)性方法等。J.P.Morgan的風(fēng)險(xiǎn)管理人員于1994年提出著名的VaR(在險(xiǎn)價(jià)值)方法，即度量處在一定風(fēng)險(xiǎn)下的資產(chǎn)價(jià)值，這一價(jià)值與一定的概率有關(guān)系。由于該方法直觀、易于理解和簡(jiǎn)便實(shí)用，在各種度量金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的方法中脫穎而出。美中不足的是VaR不能區(qū)分不同風(fēng)險(xiǎn)水平的資產(chǎn)組合。作為VaR的有益補(bǔ)充，ES(預(yù)期不足)定義為資產(chǎn)超出VaR的平均損失大小，它具有次可加性，因此是一致風(fēng)險(xiǎn)度量方法[]。張慧麗[2]比較了兩類風(fēng)險(xiǎn)度量方法。Maganelli s等人[3]將VaR和ES的計(jì)算方法總結(jié)為三類：參數(shù)方法、非參數(shù)方法和半?yún)?shù)方法。參數(shù)方法核心是假設(shè)了資產(chǎn)收益率的分布，如假設(shè)為正態(tài)分布或t分布。非參數(shù)方法直接從數(shù)據(jù)獲得經(jīng)驗(yàn)分布，用此分布計(jì)算VaR，如著名的歷史模擬法。作為半?yún)?shù)方法的代表分位數(shù)回歸方法用于計(jì)算VaR得天獨(dú)厚，但此時(shí)計(jì)算的VaR對(duì)極端損失的大小不敏感[4]。Kuan c m等人[4]提出使用期望分位數(shù)和謹(jǐn)慎指數(shù)來(lái)調(diào)整、計(jì)算VaR(簡(jiǎn)稱EVaR)，此時(shí)計(jì)算的VaR可以根據(jù)極端風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整顯著性水平來(lái)更好度量風(fēng)險(xiǎn)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)多采用Expectile回歸模型探討股票或指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，蘇辛等人[5]提出了改進(jìn)的條件自回歸Expectile(CARE)模型，將其運(yùn)用到基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)中。鐘山等人[6]以Expectile模型為基礎(chǔ)，結(jié)合CAViaR模型，構(gòu)建出條件自回歸期望分位數(shù)模型，并以此計(jì)算收益序列的VaR和RS，研究表明模型在ES度量方面有著明顯的優(yōu)勢(shì)。謝尚宇等人[7]擴(kuò)展了Kuan c m等人[4]的條件自回歸模型(CARE)使其可以處理具有異方差的數(shù)據(jù)，即引入ARCH效應(yīng)，提出了ARCH-Expectile模型。并應(yīng)用Expectile間接評(píng)估ES和VaR風(fēng)險(xiǎn)大小，提出兩步估計(jì)法估計(jì)參數(shù)，分析了股票收益的風(fēng)險(xiǎn)。呂偉偉[8]利用GARCH模型計(jì)算基于Expectile的VaR作為輸入變量，進(jìn)而分析各金融子行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)溢出效應(yīng)的大小和方向。劉曉倩等[9]提出了AR模型的加權(quán)復(fù)合Expectile回歸(WCER)估計(jì)，并探討估計(jì)的最優(yōu)權(quán)重，建立大樣本性質(zhì)，將模型應(yīng)用于恒生指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)進(jìn)行實(shí)證分析。肖火平[10]采用Kuan等[4]的EVaR分析行業(yè)下端風(fēng)險(xiǎn)的影響因素及大小，并對(duì)各行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行排序和分析說(shuō)明，同時(shí)也表明Expectile不僅可以應(yīng)用于金融界，在其它領(lǐng)域也可使用。Minjo k等人[11]使用非線性期望分位數(shù)回歸模型估計(jì)條件ES和VaR，并研究了非線性期望分位數(shù)回歸模型參數(shù)估計(jì)量的漸近正態(tài)性。但Kuan c m等人[4]的Expectile方法顯示其EVaR敏感性低于ES。本文受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā)，提出使用2.5次冪期望分位數(shù)回歸計(jì)算VaR，可以看作是EVaR方法的推廣，稱為GEVaR。隨機(jī)模擬和對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)，本文的方法對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)的敏感性大于EVaR方法，幾乎與ES相同。對(duì)喜好用ES度量風(fēng)險(xiǎn)的金融風(fēng)險(xiǎn)管理者，GEVaR是一個(gè)非常好的選擇。

1 k次冪期望分位數(shù)回歸方法概述

1.1 基本概念

k次冪期望分位數(shù)回歸方法建立在損失函數(shù)上，

(1)

Y是一個(gè)隨機(jī)變量，最小化E(Qτ,k(Y-m))得到最小值點(diǎn)m0為Y的k次冪期望分位數(shù)。X是另外一個(gè)隨機(jī)向量，β是參數(shù)向量，最小化E(Qτ,k(Y-X'β))得到的X'β0是Y的條件期望分位數(shù)。k=1，m0為分位數(shù)，k=2，m0為期望分位數(shù)。

1.2 k次冪期望分位數(shù)與分位數(shù)之間的關(guān)系

當(dāng)Y的分布函數(shù)為F，最小化E(Qτ,k(Y-m))得到的m0實(shí)際上是τ的函數(shù)，當(dāng)τ取值在(0,1)時(shí)，容易看出m0是某個(gè)分布函數(shù)的取值。但此時(shí)的分布不再是F。反之，對(duì)給定的θ可以找到合適的τ使得F的θ分位數(shù)與τ-k次冪期望分位數(shù)相等。

2 VaR和ES方法概述

2.1 VaR方法概述

VaR的定義為：在正常的市場(chǎng)條件下，在一定展望期(Δt)內(nèi)某一投資組合在給定置信水平α下，遭受的最大損失，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為Prob(Δr<-VaR)=1-α，其中，Prob表示概率，Δr=rt+Δt-r0表示組合在未來(lái)持有期Δt內(nèi)的損失，r0表示組合在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值。VaR方法現(xiàn)在主要用在度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)然在信用風(fēng)險(xiǎn)和操作性風(fēng)險(xiǎn)中也可以使用。VaR方法具有以下5個(gè)特點(diǎn)：(1)上述公式只有在市場(chǎng)處于正常波動(dòng)時(shí)才有效，若市場(chǎng)出現(xiàn)極端情形時(shí)不能準(zhǔn)確度量風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)一個(gè)可選擇的辦法是當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)極端情形時(shí)可以適當(dāng)增加顯著性水平使得VaR可以更準(zhǔn)確地度量風(fēng)險(xiǎn)。(2)VaR方法把各種市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素統(tǒng)一成一個(gè)單一的值，在展望期和置信水平固定的情形下，VaR值越大組合風(fēng)險(xiǎn)越大，故常利用風(fēng)險(xiǎn)管理者了解各種組合的風(fēng)險(xiǎn)暴露和分配準(zhǔn)備金。(3)在市場(chǎng)處于正常波動(dòng)的狀態(tài)下，時(shí)間跨度很短時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)有效性理論收益率接近正態(tài)分布，此時(shí)計(jì)算VaR的公式為σN-1(α)，其中σ為對(duì)應(yīng)展望期組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，N-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。(4)置信水平和展望期是影響VaR值的兩個(gè)基本參數(shù)。關(guān)于置信水平和展望期的選擇可以參考文獻(xiàn)[12-13]。(5)VaR不能描述風(fēng)險(xiǎn)的分散化特征。

2.2 ES方法概述

ES的數(shù)學(xué)定義為：ESα(X)=E(-X-X>VaRα)，詳細(xì)的論述可見(jiàn)文獻(xiàn)[14-15]。易見(jiàn)ES也是置信水平和展望期的函數(shù)。ES方法滿足Artzner等[1]給出的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度應(yīng)滿足的一致性，它是VaR方法的重要補(bǔ)充。

3 2.5次冪期望分位數(shù)和分位數(shù)

3.1 兩類分位數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

假設(shè)隨機(jī)變量X的累積分布函數(shù)為F(x)，X的τ-2.5次冪期望分位數(shù)為：

(2)

直接計(jì)算ν(τ)滿足

(3)

式(3)右邊的分子剛好是隨機(jī)變量X偏離ν(τ)的偏差在X小于ν(τ)的加權(quán)平均，分母為X偏離ν(τ)的偏差加權(quán)平均，兩者的權(quán)重均為X的分布。反應(yīng)出ν(τ)依賴尾部的平均取值情況和尾部概率，而分位數(shù)僅僅依賴于尾部概率。雖然ν(τ)的反函數(shù)ν-1(·)仍是分布函數(shù)，但一般情形下與F(x)不同，ν-1(·)與F(x)自變量相同時(shí)，函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表1。

表1不同分布下θ與τ的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3.2 2.5次冪期望分位數(shù)、期望分位數(shù)及其ES對(duì)尾事件的敏感性分析

圖12.5次冪期望分位數(shù)、期望分位數(shù)和 ES隨c的變化速率

4 使用2.5次冪期望分位數(shù)回歸計(jì)算VaR值

總之，GEVaR是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，在一個(gè)謹(jǐn)慎指數(shù)下，可以平衡潛在邊際損失和過(guò)度要求準(zhǔn)備金導(dǎo)致的機(jī)會(huì)成本。這一點(diǎn)與期貨市場(chǎng)清算中的主要任務(wù)是一致的[17-18]。根據(jù)(3)式，GEVaR的謹(jǐn)慎指數(shù)考慮了尾部概率和尾部收益率的大小，而且其靈敏度與ES相當(dāng)，而常用的QVaR僅考慮了尾部概率?；谄谕治粩?shù)的EVaR雖然也同時(shí)考慮了尾部概率和尾部收益率的大小，但其靈敏度低于GEVaR和ES。

從GEVaR和QVaR的關(guān)系分析，GEVaR可看作一個(gè)可以根據(jù)潛在分布變化的QVaR。眾所周知，實(shí)際數(shù)據(jù)很多情況下只是局部平穩(wěn)，收益率的分布極有可能由薄尾(厚尾)分布變?yōu)楹裎?薄尾)分布。在薄尾(厚尾)分布下對(duì)某一指定的概率θ計(jì)算QVaR，如果收益率的分布演變?yōu)楹裎?薄尾)，那么要用之前薄尾(厚尾)的QVaR來(lái)預(yù)測(cè)此時(shí)的QVaR，理想的做法是θ應(yīng)變小(大)來(lái)得到對(duì)厚尾(薄尾)收益率的QVaR。實(shí)際分布是未知的，很難實(shí)現(xiàn)這樣的調(diào)整。QVaR中的概率θ一般是由風(fēng)險(xiǎn)管理者或監(jiān)管部門設(shè)定。當(dāng)分布發(fā)生變化時(shí)，QVaR不能及時(shí)的調(diào)整θ以度量真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)。相反，在給定的τ下，2.5次冪期望分位數(shù)在不同的分布下，對(duì)應(yīng)于不同概率θ的分位數(shù)(表1)。因此，可以在給定的謹(jǐn)慎指數(shù)τ下，計(jì)算GEVaR，根據(jù)表1，得出此時(shí)分位數(shù)的θ的變化，這樣數(shù)據(jù)的變化可以反映出真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)的變化。

5 結(jié)論與展望

本文給出了一種新方法計(jì)算金融風(fēng)險(xiǎn)在險(xiǎn)價(jià)值，即基于2.5次冪期望分位數(shù)的方法。隨機(jī)模擬研究發(fā)現(xiàn)該方法不僅對(duì)尾部概率和尾部收益率敏感，而且在某些情形下其敏感性與ES相當(dāng)?；诒疚牡姆椒?，還可以進(jìn)一步考慮其它模型，如加風(fēng)險(xiǎn)因子思考2.5次冪期望分位數(shù)回歸，甚至考慮某種動(dòng)力模型，這將是以后研究的方向。

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A New Method to Calculate VaR of Financial Risk

QIAOXia,LINFuming

(School of Mathematics and Statistics, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China)

How to calculate the value-at-risk (VaR) and expected shortfall (ES) in financial risk measurement has always been an interesting issue for people in academia and industry. Calculation of value at risk based on quantile methods (hereinafter referred to as QVaR) is intuitive and easy to understand, while there is a very big flaw: QVaR only focuses on downside risk, which provided a quantile of the loss, but did not give a loss rate; QVaR is also not sensitive to the tail extreme risk. Some studies showed that ES is sensitive to the tail extreme risk and gives the specific value of the tail loss, but ES is not as easy to understand as VaR and does not facilitate the industry use. According to the above problem, a method for calculating VaR based on 2.5-th power Expectiles (hereinafter referred to as GEVaR) has been put forward. Replacing twice power with 2.5 times power in the asymmetric least squares, its definition is similar to that of existing expectile. The random simulation study shows that GEVaR is as sensitive to tail extreme risk as ES in some cases.

financial risk measurement; VaR; ES; k-th power expectile

1673-1549(2017)06-0093-05

10.11863/j.suse.2017.06.17

2017-09-17

四川理工學(xué)院研究生創(chuàng)新基金(y2016026)；四川理工學(xué)院教材研究專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)(B11704001)

喬 霞(1992-)，女，甘肅文縣人，碩士生，主要從事金融統(tǒng)計(jì)方面的研究，(E-mail)1156784002@qq.com

藺富明(1980-)，男，山西大同人，副教授，博士，主要從事極值理論、統(tǒng)計(jì)建摸方面的研究，(E-mail)linfuming20062015@163.com

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