王家璇，曹遠鵬，黃其柏

（1.華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢430074；2.湖北省專用汽車研究院，湖北 隨州441300）

計及框架參數(shù)的動力吸振器建模與優(yōu)化研究

王家璇1，曹遠鵬2，黃其柏1

（1.華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢430074；2.湖北省專用汽車研究院，湖北 隨州441300）

傳統(tǒng)的動力吸振器理論模型多為二自由度系統(tǒng)，由于在工程應用中，動力吸振器安裝框體質量、剛度對系統(tǒng)會產(chǎn)生影響，使其動力學模型更接近于三自由度。本文建立了三自由度動力吸振模型，比較了二、三自由度模型的差異。利用MATLAB中的遺傳算法模塊對模型中的兩個待定參數(shù)進行了編程優(yōu)化，得到了動力吸振器在最優(yōu)參數(shù)下的減振特性與效果。

動力吸振；三自由度；動力放大系數(shù)；遺傳算法

動力吸振器（Dynamic vibration absorber，DVA）是抑制結構或系統(tǒng)共振，降低周期性噪聲的有效手段，時至今日，國內(nèi)外對此進行了大量的研究[1-2]。傳統(tǒng)的動力吸振器通常采用二自由度系統(tǒng)，忽略了動力吸振器框架質量和剛度對系統(tǒng)特性的影響，致使動力吸振器在實際使用過程中設計的吸振頻率與實際中存在差異，特別是當被吸振體質量較輕或連續(xù)系統(tǒng)動力吸振時，其差異更為明顯。因此，研究考慮動力吸振器質量、剛度的三自由動力吸振系統(tǒng)模型，將更接近于實際情況。

本文將類比傳統(tǒng)的二自由度動力吸振模型，推導考慮框架等效質量和剛度的三自由度系統(tǒng)中動力吸振模型，分析在相同參數(shù)情況下兩種模型動力放大系數(shù)的差異。在此基礎上應用MATLAB的遺傳算法模塊進行編程，通過仿真計算與參數(shù)優(yōu)化，得到動力吸振的優(yōu)化特性，驗證優(yōu)化前后的動力吸振效果。

1 動力吸振器模型

1.1 傳統(tǒng)的兩自由度動力吸振模型

傳統(tǒng)DVA多采用二自由度模型，其結構如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)二自由度模型

其主系統(tǒng)M對于激振p(t)的動力放大系數(shù)公式為[3]

1.2 計及框架參數(shù)的動力吸振模型

當考慮DVA安裝框架的質量和剛度時，其動力吸振系統(tǒng)模型可表示為如圖2所示的三自由度系統(tǒng)，其中m2表示外框質量，k2則表示外框與主系統(tǒng)的連接剛度。由振動理論可得圖2所示系統(tǒng)的運動微分方程組為：

圖2 三自由度模型

因而其傳遞函數(shù)矩陣G（jω）的表達式為：

式中的Aij表示矩陣D（jω）第i行，第j列的代數(shù)余子式。因而通過化簡，可以得出質量塊m1的位移對于作用于其上的激勵力p(t)的傳遞函數(shù)表達式為：

1.3 兩種模型的比較分析

若動力吸振系統(tǒng)為兩自由度模型，其外框質量是直接加在被吸振體上的，即m2與m1合為一體，連接剛度k2趨于無窮大。為了分析兩自由度動力吸振模型與三自由度動力吸振模型的差異，比較框架連接剛度對吸振特性的影響，本節(jié)擬從外框剛度較大（f2=10）與較小（f2=1）兩種情況進行分析。

當動力吸振器外框剛度較?。╢2=1）時，兩自由度系統(tǒng)模型與三自由度系統(tǒng)模型的動力放大系數(shù)如圖3所示。由圖可知，采用三自由度系統(tǒng)，其動力放大系數(shù)有三個明顯的峰值，與兩自由度模型差異較大。

圖3 外框剛度較?。╢2=1）時對比圖

當外框剛度較大（f2=10）時，此時外框質量將接近于疊加于主振系上，此時三自由度系統(tǒng)逼近于兩自由度系統(tǒng)。為了驗證這種情況下二自由度吸振模型與三自由度吸振模型的差異，針對兩種模型，選取相同質量、剛度參數(shù)，其中二自由度模型將外框質量直接等效到主系統(tǒng)上。通過仿真計算可得其吸振系統(tǒng)動力放大系數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 外框剛度較大（f2=10）時對比圖

由圖4可知，兩自由度系統(tǒng)和三自由度系統(tǒng)均只顯示了兩個主要峰值，但三自由度系統(tǒng)的兩個主要峰值頻率比兩自由度系統(tǒng)要低，三自由度系統(tǒng)的第三個峰值出現(xiàn)的頻率偏高，峰值較小。

圖5所示為f2取值逐漸增大時的曲線變化趨勢圖。對于三自由度模型，隨著k2值的增大，其動力放大系數(shù)曲線與兩自由度的峰值逼近。

圖5 不同取值下的動力放大系數(shù)對比

由上述分析可知，當剛度較小時，三自由系統(tǒng)具備明顯的三個峰值，與二自由度的二個峰值存在較大的差異。當剛度較大時，盡管兩自由度模型和三自由度模型二者曲線走勢基本一致，但在頻率大小上仍存在一定的差異，這種頻率的偏移是由于外框質量以不同程度等效到主系統(tǒng)上引起的系統(tǒng)動力學特性改變所致。因此，選取三自由度動力吸振模型將更符合工程實際。

2 優(yōu)化與仿真

2.1 參數(shù)優(yōu)化

使用MATLAB的遺傳工具箱對上一節(jié)中所得到的吸振系統(tǒng)動力放大系數(shù)公式中的及進行優(yōu)化計算，從而得出最優(yōu)的DVA參數(shù)。

由于MATLAB遺傳算法工具箱完整地集成了許多函數(shù)，其編程的難度[4]可得到了較大的簡化。在優(yōu)化過程中，可通過確定 μ2，μ3，f2與 ζ的值來優(yōu)化出最優(yōu)參數(shù) ζ3opt及 f3opt.此處取 μ2=0.1，μ3=0.05，f2=1 或10，ζ3=0.05.首先構建目標函數(shù)，本文中的目標函數(shù)為式（9）對于自變量g的最大值，優(yōu)化目標為求解最優(yōu)ζ3與f3來使得這個最大值最小。遺傳算法當中，采用輪盤賭選擇方式，遺傳代數(shù)為40代，變量的維數(shù)為2，初代種群的個數(shù)為40個。編碼方式采用二進制編碼，交叉采用交叉率為0.7的單點交叉方式，變異方式則為離散變異。

對于外框剛度較小（f2=1）的情況，將前四個確定參數(shù)（其中f2=1）代入遺傳算法當中，通過遺傳算法 優(yōu)化 得到 最 優(yōu)參 數(shù) ζ3opt與 f3opt，結 果 為 ζ3opt=0.316 4，f3opt=0.646 3，min_maxA（g，ζ3，f3）=3.06.

當外框剛度較大（f2=10）時，可得結果為ζ3opt=0.137 4，f3opt=0.897 5，min_maxA（g，ζ3，f3）=4.3156.

遺傳算法性能追蹤圖如圖6所示，從圖中可以看到該遺傳算法所計算出來的最優(yōu)解具有相當?shù)闹眯哦龋瑢?yōu)化出來的數(shù)值代入原公式，同時取未經(jīng)優(yōu)化的參數(shù)數(shù)值代入原公式，畫出動力放大系數(shù)對比圖如圖7所示，未經(jīng)優(yōu)化的動力放大系數(shù)曲線圖的峰值為 7.314（7.691） 遠大于優(yōu)化之后的 3.06（4.316）。從圖中我們不難發(fā)現(xiàn)，兩種情況下，經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化之后曲線峰值會明顯降低，且主要峰值為兩個等高峰值。對比傳統(tǒng)的二自由度動力吸振放大系數(shù)的PQ兩點優(yōu)化定理[5]，此處具有相同的規(guī)律，即當一個峰值降低時，另外一個會升高，當峰值相等時，模型為最優(yōu)解。所以，在此情況下三自由度模型及其優(yōu)化算法是正確的。

圖6 遺傳算法性能跟蹤圖

圖7 優(yōu)化前后的吸振特性圖

本文優(yōu)化過程中，只考慮了吸振器的剛度和阻尼，由于論文所采用的是多自由度遺傳算法，當需要優(yōu)化更多的參數(shù)時，只需改變程序中的變量維數(shù)即可。

2.2 吸振效果的性能仿真

吸振系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化后，其實際吸振效果如何，可利用MATLAB中Simulink模塊進行驗證。圖8為所建立的動力吸振性能Simulink仿真模型圖，其外界激勵力為正弦信號輸入模塊，其中主系統(tǒng)響應視窗表示m1的位移波形圖。

圖8 Simulink仿真圖

由優(yōu)化后曲線的分析可知，峰值在g=1左右，本文中列舉的參數(shù)中主系統(tǒng)固有頻率為10 Hz，因此系統(tǒng)對10 Hz左右的激勵響應最大。因而若在給定頻率為10 Hz的正弦激勵信號時系統(tǒng)具備吸振效果，則該三自由度系統(tǒng)動力吸振器具備良好的寬帶吸振效果。取與上一節(jié)中優(yōu)化前后相同的參數(shù)進行仿真以驗證優(yōu)化前后的效果。加裝優(yōu)化前后動力吸振器的主系統(tǒng)振動曲線如圖9所示。圖中左邊為f2=1時優(yōu)化前后主系統(tǒng)振動對比圖，右邊則是在f2=10時優(yōu)化前后主系統(tǒng)振動對比圖。由圖對比可知，安裝最優(yōu)參數(shù)動力吸振器后的主系統(tǒng)在受到穩(wěn)態(tài)激勵力作用時，其振動幅值有明顯降低，故而該動力吸振器具備良好的吸振特性，而且，外框剛度值較小時，有利于提高其吸振效果。

圖9 參數(shù)優(yōu)化前后的主系統(tǒng)振動曲線對比

3 結束語

通過本文的研究，可得以下幾點結論：

（1）建立了考慮外框質量與剛度參數(shù)的三自由度動力吸振模型，推導了其動力放大系數(shù)，比較了三自由度系統(tǒng)與傳統(tǒng)二自由度系統(tǒng)的差異。

（2）應用遺傳算法對三自由度動力吸振系統(tǒng)進行了參數(shù)優(yōu)化，給出了其兩個待定參數(shù)優(yōu)化的遺傳算法，并列舉了優(yōu)化案例。

（3）通過MATLAB仿真，比較了主系統(tǒng)在DVA安裝前后以及DVA參數(shù)優(yōu)化前后的振動特性，其研究結果對利用動力吸振器進行吸振控制具有參考作用。

[1]Shen Y，Chen L，Yang X，et al.Improved design of dynam ic vibration absorber by using the inerter and its application in vehicle suspension[J]，Journal of Sound&Vibration，2015（361）：148-158.

[2]Silva A D G，Jr A A C，Jr V S.Fuzzy Robust Design of Dy namic Vibration Absorbers[J].Shock&Vibration，2016（1）：1-10.

[3]丁文鏡.減振理論[M].北京：清華大學出版社，2014.

[4]龔 純.精通MATLAB最優(yōu)化計算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2014.

[5]Ormondroyd，J.and Den Hartog，J.P.，The Theory of the Dynamic Vibration Absorber[J].Trans ASME，1928（50）：7.

Modeling and Optimization of Dynamic Vibration with Considered Parameters of Frame

WANG Jia-xuan1，CAO Yuan-peng2，HUANG Qi-bai1
（1.School of Mechanical Science&Engineering of HUST，Wuhan Hubei 430074，China；2.Hubei Institute of Specialty Vehicle，Suizhou Hubei 441300，China）

Most of the traditional theoretical models of dynamic vibration absorber are two degree of freedom system.However，in engineering application the mass and stiffness of frame may has a certain impact on the system，which makes the dynamic model similar to three degrees of freedom system.In order to prove that，a three degree of freedom model has been established.After that the differences between two degree of freedom and three degree of freedom model was drawn according to a series of comparison.Furthermore，the genetic algorithm toolbox in MATLAB was used to calculate the optimal two parameters of the amplification coefficient formula，which verified that the DVA have a better vibration damping effect under the optimal parameters.

dynamic vibration absorber；three degree of freedom model；amplification formula；genetic algorithm for optimization

TB535.2

A

1672-545X（2017）10-0021-05

2017-07-27

王家璇（1994-），男，湖北仙桃人，碩士研究生，主要研究方向：機械系統(tǒng)動力學，振動與噪聲控制。