張楠

摘 要：CT系統(tǒng)在誕生初期就因其實用性高，能在不破壞表面的情況下觀察物品的內(nèi)在結構，使其在醫(yī)學，工業(yè)，安檢等領域都發(fā)揮著極其重要的作用。首先，通過分析數(shù)據(jù)，得出只有29個探測器能接收到通過直徑為8mm的圓的信號，因此，相鄰探測器間距為0.2759mm。其次，根據(jù)探測器組在極限位置的偏轉角度以及收集的數(shù)據(jù)量可知，兩次數(shù)據(jù)收集之間探測器組旋轉了1度。然后，通過附件二中數(shù)據(jù)分析，找到在旋轉過程中的恒定量，通過求解經(jīng)過旋轉中心的兩條直線的函數(shù)，近似求得旋轉中心點的坐標為（-9.3584，5.5664）?；诰矸e反投射算法建立了圖像重建模型。首先，基于投射定理，將探測器接收數(shù)據(jù)轉化為探測器所在平面的投影數(shù)據(jù)，通過建立R- 動態(tài)坐標系，得到每個角度下的對應投影，把每個旋轉角度下得到的投影與濾波函數(shù)進行卷積運算，得出任意角度下的反投影，將每一點的反投影在 角度內(nèi)累加，得到重建圖像的吸收率。然后，利用MATLAB編程得到256*256的吸收率數(shù)據(jù)及重建后的圖像。最后，將所給10個點位置信息轉化為以問題一求解的旋轉中心為原點建立坐標系的坐標，得出相應位置的吸收率為：0、0、0、0.5867、04889、0.7236、0.6357、0、0、0。，建立吸收率模型。以問題一求解的旋轉中心為原點建立坐標系，基于X射線的基本原理，運用比爾定律，建立吸收率模型。將所選層面平分為256*256個若干體積相同的小立方體，并將512個探測數(shù)據(jù)中每相鄰2組數(shù)據(jù)求和，得到256組探測數(shù)據(jù)，將該數(shù)據(jù)帶入吸收率模型得到256*256的吸收率數(shù)據(jù)。將所給10個點位置信息轉化為上述坐標系的坐標，得出相應位置的吸收率為：0、0.5834、2.0424、0、0.6962、0、2.3984、0、2.3068、0。 通過對問題一參數(shù)標定的誤差分析與敏感性分析，構建了由長方形與正三角形組成的新模板。運用灰色關聯(lián)分析算法，對問題一所給模板與優(yōu)化所得的新模板進行分析比較，計算得到的兩種模板的關聯(lián)度。由r1

關鍵詞：影像醫(yī)學與核醫(yī)學；卷積反投射算法；圖像重建模型；吸收率模型；灰色關聯(lián)分析

0引言

計算機斷層成像（CT）可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進行斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的結構信息，是現(xiàn)代臨床醫(yī)學成像的重要手段，并且廣泛應用于工業(yè)檢測、安檢等諸多領域。圖像重建算法是CT的核心技術，因此一直都是該領域工程師與學者研究的熱點課題。最早的典型二維CT系統(tǒng)是通過平行入射X射線垂直于探測器平面，每個探測器單元都可以看做一個接收點，且等距排列[1]。X射線的發(fā)射器和探測器的相對位置固定不變，整個發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉中心逆時針旋轉180次。對每一個X射線方向，在具有512個等距單元的探測器上測量經(jīng)由位置固定不變的二維待檢測介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過增益等處理后可以接收得到180組信息。

CT系統(tǒng)安裝時往往存在著誤差，從而影響成像質(zhì)量，因此需要對安裝好的CT系統(tǒng)進行參數(shù)標定，即借助于已知結構的樣品標定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并根據(jù)此來對未知結構的樣品進行成像。

通過建立合理的模型和算法，解決了如下問題：

（1）通過兩個介質(zhì)均勻的標定模板幾何信息和其接收的信息，確定CT系統(tǒng)的旋轉中心和在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及CT系統(tǒng)使用的X射線的180個方向。

（2）根據(jù)未知介質(zhì)的接收信息，確定該未知介質(zhì)在正方形托盤中的未知幾何形狀和吸收率等信息。及所給10個位置的吸收率。

（3）利利用標定參數(shù)計算未知介質(zhì)的相關信息，及所給10個位置的吸收率。

（4）分析前文中參數(shù)標定的精度和穩(wěn)定性。再此基礎上自行設計新模板、建立對應的標定模型，以改進標定精度和穩(wěn)定性。

1 模型的建立與求解

1.1問題一的求解

1.1.1 探測器單元之間的距離

CT系統(tǒng)共有512個探測器，在旋轉過程中測定圓形標準件的探測器從任何方向測量的標準件長度均為定值，即圓形標準件直徑d=8mm，根據(jù)附件一中所給出的數(shù)據(jù)，確定在512個探測器中有n=29個探測器接收到通過圓形標準件的信號。因此可以將探測器單元看成一個接收點，且等距排列。所以每個探測單元之間的距離i為：

本文所涉及的CT系統(tǒng)共包含512個探測器單元，探測器組總長度為L=141.2608mm，長于CT系統(tǒng)底盤正方形邊長。

1.1.2 CT系統(tǒng)使用X射線的180個方向

由于CT系統(tǒng)的旋轉中心不位于橢圓中心，故不同位置的旋轉線速度并不相同，所以在本題的考慮過程中我們選擇角速度作為衡量標準。

Step 1 ：

通過對已知橢圓函數(shù)的求解，求得其在繞中心點旋轉θ角度的時刻橢圓在與X軸平行的直線上投影的長度如圖2所示：

通過函數(shù)模型的求解得到對應的旋轉角度θ與投影長度l的函數(shù)關系式，得到不同旋轉角度時，對應的投影長度：

為了簡化求解過程，我們將不同位置感應單元對信號的感知，簡化為旋轉不同角度時刻在感應單元組上的投影長度。附件二中給出的數(shù)據(jù)，在反映不同位置吸收率的同時也間接的反映了旋轉不同角度時的投影長度，通過對投影長度的求解并代入前文求函數(shù)關系。

2 結論

本文所建立的模型具有廣泛的適用性，雖然此模型的建立數(shù)據(jù)依賴于平行束X射線在接收端的信息，但是在后續(xù)開發(fā)的CT系統(tǒng)上仍具有一定的參考價值。

此模型不但在醫(yī)學領域有重要的實用價值并且可以在建材內(nèi)部斷紋分析，地質(zhì)分析，金屬冶煉過程分析等方面均有一定的適用性。

參考文獻 （References）

[1] 孫衛(wèi)紅. CT成像技術的發(fā)展及技術特點[J]. 醫(yī)療裝備，2007，（06）：19-20. [2017-09-17]

[2] 吳孟達.數(shù)學建模教程[M] .高等教育出版社.2011

[3] 寧寰宇.CT圖像重建中解析算法的改進及加速研究[D].蘭州交通大學，2014.

[4] 王琦. 多相流CT系統(tǒng)成像算法研究[D].天津大學，2009.