四川 蔡勇全

源于教材 高于教材
——一道教材習(xí)題的改編之“旅”

四川 蔡勇全

縱觀近年來的高考數(shù)學(xué)試題，許多題目“取材于教材，但又不拘泥于教材”，教材中例題、習(xí)題的身上往往能找到它們的“基因”，它們是對教材原題的變形、改編與綜合.我們知道，教材中的例題、習(xí)題是編者精心構(gòu)思的典型題目，也是重要結(jié)論、命題、定理或數(shù)學(xué)思想的載體，它們的延伸、轉(zhuǎn)化和拓展呈現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)知識，因而教材是編擬各類試題的源泉.對教材原題的變式、挖掘、探究，既能抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，加深數(shù)學(xué)理解，又能提高解題能力，促成思維的廣闊性、深刻性和靈活性.本文以一道教材習(xí)題為例，力求體現(xiàn)改編探究的思維過程，供大家參考.

上述題目是人教A版必修5第91頁練習(xí)1中的第(2)題，屬于線性規(guī)劃范疇.線性規(guī)劃是近幾年來新課標(biāo)教材增添的內(nèi)容，其內(nèi)容本身就已經(jīng)頗具新穎性，而且線性規(guī)劃問題具有知識交融、解答靈活、應(yīng)用較廣等特點(diǎn)，各種數(shù)學(xué)思想方法也能較好地體現(xiàn)在其解答過程中，因而在歷年高考中?？疾凰?，久考仍新，以其為載體、與其它知識綜合融匯的題目無一不體現(xiàn)了一定的創(chuàng)新性.

為順利說明后續(xù)的編擬過程，有必要先簡解此題，根據(jù)約束條件，作出的可行域?yàn)橄聢D中的三角形ABC內(nèi)部區(qū)域(含邊界):

當(dāng)y=-2x+z過點(diǎn)B(0，2)時，zmin=2；當(dāng)y=-2x+z過點(diǎn)C(6，6)時，zmax=18.順便提一下，從可行域來看，顯而易見，x取得最大值6的同時y也取得最大值6，因此zmax=2×6+6=18，但這不影響后續(xù)題目的編擬.

下面從改編成題的渠道以及對設(shè)置問題的方式進(jìn)行創(chuàng)新的辦法來編擬相關(guān)的題目.

我們根據(jù)最大值與最小值的關(guān)系可以得到改編1:

改編1的新穎性肯定不夠，觀察改編1，不難發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)z=-2x-y=-(2x+y)，因此當(dāng)y=-2x-z過點(diǎn)B(0，2)時，zmax=-2；當(dāng)y=-2x-z過點(diǎn)C(6，6)時，zmin=-18，由此不免產(chǎn)生疑問:如果一開始并不知道“(2x+y)”之前的系數(shù)的正負(fù)，結(jié)果又將如何呢？由此得到改編2:

一改前兩個題目的封閉性，改編2成為了開放、發(fā)散的探索類題目，可以有效檢驗(yàn)學(xué)生思維的深刻性，已經(jīng)呈現(xiàn)一定的創(chuàng)新性了，為后續(xù)編擬的方便，現(xiàn)簡解如下:z=2ax+ay=a(2x+y)，若agt;0，z=2ax+ay過點(diǎn)B(0，2)時，zmin=2a，過點(diǎn)C(6，6)時，zmax=18a；若a=0，則z=0；若alt;0，z=2ax+ay過點(diǎn)C(6，6)時，zmin=18a，過點(diǎn)B(0，2)時，zmax=2a.

在改編2的基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步思考，如果從形式方面下設(shè)置問題的方式進(jìn)行創(chuàng)新，即把問題的條件與結(jié)論交換位置，使之成為逆向條件探索性問題，題目又將呈現(xiàn)怎樣的變化呢？于是可以得到改編3:

有了上述改編2的簡解作為基礎(chǔ)，改編3是容易突破的，只可能是agt;0，18a=54，則a=3.當(dāng)然，改編3仍較好地檢測了分類與整合的數(shù)學(xué)思想.改編2的簡解實(shí)際上告訴我們，目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值均與實(shí)數(shù)a的符號相同，因此，如果對條件中的最值“動手術(shù)”，還可產(chǎn)生如下逆向條件探索創(chuàng)新型題目:

改編3，4，5，6的最值均不為0，說明a≠0.另外，改編3，4，5，6的局限性在于等式右邊的參數(shù)僅有a，如果x與y前面的參數(shù)不相同，那么題目也不可能再要求把兩個參數(shù)同時求出，勢必改變探索目標(biāo)，于是得到改編7:

一方面，對于改編7，我們需要思考，目標(biāo)代數(shù)式是否還有其它類型，答案是肯定的，諸如:

同樣針對改編7，若a，b同為負(fù)數(shù)，則題目中最值的表述一定會完全相反，因此又可得到改編10:

類似由改編7向改編8，9的過渡，對于改編10，一方面，改變目標(biāo)代數(shù)式，可以得到:

改編7，9，10，12突出體現(xiàn)了線性規(guī)劃與基本不等式知識的交匯性.另外，受改編2，3，4，5，6的啟發(fā)，我們不免想到，如果最初的目標(biāo)函數(shù)不是線性的，而是其他類型，但同樣要設(shè)計(jì)成逆向條件探索性問題，又當(dāng)如何呢？于是可以進(jìn)一步得到改編13這一創(chuàng)新型題目:

另外，在改編13的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考:既然最值問題往往與不等式恒成立問題掛鉤，那何不把不等式恒成立問題融入改編13中，這樣一來，借助不等式恒成立問題的特點(diǎn)，既可以有效檢測思維的邏輯性，也可由不等式恒成立問題解法的靈活與多樣，檢測思維的創(chuàng)造性，因此順理成章就產(chǎn)生了改編14:

改編14的創(chuàng)新之處體現(xiàn)于線性規(guī)劃與不等式恒成立問題的交匯，綜合檢測線性規(guī)劃、不等式變形、最值、不等式恒成立、分類整合數(shù)學(xué)思想等知識，難度較大.另外，根據(jù)可行域可知，改編14中恒成立不等式的分母2x+4恒為正，因此去分母后進(jìn)一步得到難度稍大的改編15:

改編14與改編15皆屬于線性規(guī)劃與不等式恒成立問題的交匯性創(chuàng)新題，從中可以看到，創(chuàng)新型題目的命制仍然不要忘記貫徹“對支撐學(xué)科知識體系的主干知識要重點(diǎn)考查”這一核心理念.

接下來，我們應(yīng)該思考，本案例的改編還有哪些視角呢？改編過程還可以持續(xù)下去嗎？比如，同樣是線性規(guī)劃與不等式恒成立結(jié)合的創(chuàng)新型問題，能否就約束條件進(jìn)行改編呢？于是，經(jīng)過一番斟酌思考，得到改編16:

存在與任意猶如一對“孿生兄弟”，它們往往聚在一起為大家所研究，因此，能否把改編16這一“恒成立”問題演變?yōu)椤澳艹闪ⅰ眴栴}呢？答案是肯定的，比如下面的改編17:

事實(shí)上，改編17的本質(zhì)是求當(dāng)直線2x-y=6經(jīng)過可行域時實(shí)數(shù)λ的取值范圍，進(jìn)一步思考，同樣是“能成立”問題，題目中的“能成立”等式能否改為“能成立”不等式呢？于是得到:

這里點(diǎn)M(m，n)的個數(shù)是1個、無數(shù)個還是任意一個呢？經(jīng)過慎重思考，還應(yīng)有如下情形:

對比改編21與改編16，雖然同屬不等式恒成立問題，但絕妙之處在于改編16把參數(shù)放在了約束條件中，而改編21把參數(shù)放在了恒成立不等式中.

回到改編16，進(jìn)一步思考，既然約束條件改編成了含參形式，那么題目最終的目的一定是探求參數(shù)的取值或取值范圍，因此還必須給出一定的輔助條件，從而題目自然而然就演變成為了逆向條件探索創(chuàng)新型題目，那么其它應(yīng)給出的條件還有哪些形式呢？這一點(diǎn)不難想到，比如區(qū)域的面積，目標(biāo)函數(shù)的最值等，于是得到如下改編22，23，24，25:

類似于前文改編3，4，5，6那樣的逆向條件探索性問題向改編7，8，9，10，11，12這樣的給出相關(guān)最值條件而另求最值的問題的演進(jìn)，改編25可進(jìn)一步改編為:

前面的一系列改編注重從條件本質(zhì)的增刪或改換來實(shí)現(xiàn)，那么既然改編了這么多，現(xiàn)在不妨回過頭來反思，回到原點(diǎn)，回到問題的本來面目，即如果不改初衷，維持教材原型的中心任務(wù)，但用其他知識來創(chuàng)新地襯托目標(biāo)函數(shù)，是否可行呢？反復(fù)思考，有了下面的改編27:

用平面向量的數(shù)量積來體現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)，新穎別致，但不可否認(rèn)的是，這種給出目標(biāo)函數(shù)的方式略顯直接，事實(shí)上，目標(biāo)函數(shù)的給出還可再隱晦一些，比如:

如此設(shè)計(jì)，學(xué)生找到目標(biāo)函數(shù)就成為了解題任務(wù)之一，這不正是學(xué)科內(nèi)知識的交匯與綜合的絕佳體現(xiàn)嗎？既然提到知識的交匯，那么不得不說與線性規(guī)劃聯(lián)系緊密的同宗同源的其它解析幾何知識，比如兩點(diǎn)間的距離，因此可得到如下改編29:

如果題目中的距離隱含化，那么改編29可進(jìn)一步演變?yōu)楦木?0:

對比改編30與前文改編23，不難發(fā)現(xiàn)二者的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩個方面:改編23的約束條件在變化，而且其中含有參數(shù)，改編30的約束條件很明確，其中不含參數(shù)；改編23屬于逆向條件探索創(chuàng)新型題目，即已知目標(biāo)函數(shù)的最值，探求參數(shù)的取值，而改編30是在具體約束條件下探求具體目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.

事實(shí)上，無論是平面向量還是兩點(diǎn)間的距離，與線性規(guī)劃的關(guān)系并不算遙遠(yuǎn)，因?yàn)樗鼈兌加小靶巍钡囊幻?，那么與線性規(guī)劃的關(guān)系遙遠(yuǎn)的知識內(nèi)容能否與線性規(guī)劃交匯呢？顯然是可以的，比如把線性規(guī)劃與概率交匯起來得到改編31:

行文至此，筆者想到“從問題解答方面進(jìn)行創(chuàng)新”“妙解型”中曾提到過借用“行列式”“矩陣”等概念來編制創(chuàng)新型題目的方法，并給出了具體的命題范例，那么，是否可以移植到此處呢？

最后，為了增強(qiáng)題目的可讀性、趣味性，讓題目更生活化、更接地氣，我們能否可以考慮采用現(xiàn)實(shí)生活背景來承載線性規(guī)劃問題呢？這顯然是可行的.幾經(jīng)醞釀，筆者考慮以當(dāng)下轟轟烈烈的“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”社會背景來編擬，于是有了改編33，不僅以此結(jié)束本案例的編擬，同時也與教材原型遙相呼應(yīng).

改編33的創(chuàng)新之處不僅體現(xiàn)在線性規(guī)劃在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用這一外在表象上，而且還體現(xiàn)在不同于以往的慣例上——目標(biāo)函數(shù)需要自己尋找.

四川省資陽市外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校)